随机需求下的库存控制

在确定性的模型中，我们把需求看成是固定不变的已知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一个随机变量。

报童模型（Newsvendor Model）

报童模型是运筹学和库存管理中的一个经典模型，用于解决单周期库存问题（需求为随机变量的单一周期存储模型）。该模型适用于那些需求具有不确定性且只能在销售周期开始前进行一次性订购的商品，如报纸、鲜花、季节性商品等。报童模型的目标是确定最佳订购量，以最大化预期利润或最小化预期成本。

报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，根据以往的经验，每日售出x份报纸的概率P(x)是已知的。报童每售出一份报纸赚 k 元，如果报纸未能售出，每份赔 h 元，问报童每日最好准备多少报纸Q，才能使损失的期望值最小呢？

若供大于求（Q>r），则报纸没卖完的损失：
$$\sum _{r=0}^{Q}h(Q-r)p(r)$$
若供小于求，则因为缺货少赚钱的成本：
$$\sum _{r=Q+1}^{\infty }k(r-Q)p(r)$$
因此期望损失为：
$$\min C(Q)=\sum _{r=0}^{Q}h(Q-r)p(r)+\sum _{r=Q+1}^{\infty }k(r-Q)p(r)$$

设最优订货量为$Q^{\ast }$，则有
$$\{\begin{array}{l}C(Q^{\ast })\le C(Q^{\ast }+1)\\ C(Q^{\ast })\le C(Q^{\ast }-1)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& C(Q^{\ast })\le C(Q^{\ast }+1)\\ ⟺& \sum _{r=0}^{Q^{\ast }}h(Q^{\ast }-r)p(r)+\sum _{r=Q^{\ast }+1}^{\infty }k(r-Q^{\ast })p(r)\le \sum _{r=0}^{Q^{\ast }+1}h(Q^{\ast }+1-r)p(r)+\sum _{r=Q^{\ast }+2}^{\infty }k(r-Q^{\ast }-1)p(r)\\ ⟺& \sum _{r=0}^{Q^{\ast }}p(r)\ge \frac{k}{k+h}\\ & \\ & C(Q^{\ast })\le C(Q^{\ast }-1)\\ ⟺& \sum _{r=0}^{Q^{\ast }-1}p(r)\le \frac{k}{k+h}\end{array}$$

故最佳订货量$Q^{\ast }$满足不等式：
$$\sum _{r=0}^{Q^{\ast }-1}p(r)\le \frac{k}{k+h}\le \sum _{r=0}^{Q^{\ast }}p(r)$$
可以把上式改为：
$$P(X<Q^{\ast }-1)\le \frac{k}{k+h}\le P(X\le Q^{\ast })$$

示例

某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利15元，如果当天不能售出，每一百张赔20元。每日售出该报纸份数的概率P(d )根据以往经验如下表所示。试问报亭每日订购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大。

解：要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销售机会的损失的期望值之和为最小。已知 k = 15，h = 20，则有
$$\frac{k}{k+h}=\frac{15}{15+20}=0.4286$$
另有
$$\sum _{x=0}^{7}P(x)=P(5)+P(6)+P(7)=0.35$$
$$\sum _{x=0}^{8}P(x)=P(5)+P(6)+P(7)+P(8)=0.55$$
故$Q=8$时，不等式
$$\sum _{x=0}^{7}p(x)\le \frac{k}{k+h}\le \sum _{r=0}^{8}p(x)$$
成立，因此最优订货量为800张。