6-4 填充和步幅

在前面的例子 图6.2.1中，输入的高度和宽度都为$3$，卷积核的高度和宽度都为$2$，生成的输出表征的维数为$2\times 2$。 正如我们在 6-2节中所概括的那样，假设输入形状为$n_h\times n_w$，卷积核形状为$k_h\times k_w$，那么输出形状将是$(n_h-k_h+1)\times (n_w-k_w+1)$。 因此，卷积的输出形状取决于输入形状和卷积核的形状。

还有什么因素会影响输出的大小呢？本节我们将介绍填充（padding）和步幅（stride）。假设以下情景：

• 有时，在应用了连续的卷积之后，我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于$1$所导致的。比如，一个$240\times 240$像素的图像，经过$10$层$5\times 5$的卷积后，将减少到$200\times 200$像素。如此一来，原始图像的边界丢失了许多有用信息。而填充是解决此问题最有效的方法；
• 有时，我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如，如果我们发现原始的输入分辨率十分冗余。步幅则可以在这类情况下提供帮助。

填充

如上所述，在应用多层卷积时，我们常常丢失边缘像素。 由于我们通常使用小卷积核，因此对于任何单个卷积，我们可能只会丢失几个像素。 但随着我们应用许多连续卷积层，累积丢失的像素数就多了。
解决这个问题的简单方法即为填充（padding）：在输入图像的边界填充元素（通常填充元素是$0$）。 例如，在 图6.3.1中，我们将$3\times 3$输入填充到$5\times 5$，那么它的输出就增加为$4\times 4$。阴影部分是第一个输出元素以及用于输出计算的输入和核张量元素： $0\times 0+0\times 1+0\times 2+0\times 3=0$。

通常，如果我们添加$p_h$行填充（大约一半在顶部，一半在底部）和$p_w$列填充（左侧大约一半，右侧一半），则输出形状将为：
$$(n_h-k_h+p_h+1)\times (n_w-k_w+p_w+1)$$
这意味着输出的高度和宽度将分别增加$p_h$和$p_w$。
在许多情况下，我们需要设置$p_h=k_h-1$和$p_w=k_w-1$，使输入和输出具有相同的高度和宽度。 这样可以在构建网络时更容易地预测每个图层的输出形状。假设$k_h$是奇数，我们将在高度的两侧填充$p_h/2$行。 如果$k_h$是偶数，则一种可能性是在输入顶部填充$\lceil p_h/2\rceil$行，在底部填充$\lfloor p_h/2\rfloor$行。同理，我们填充宽度的两侧。

卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数，例如1、3、5或7。 选择奇数的好处是，保持空间维度的同时，我们可以在顶部和底部填充相同数量的行，在左侧和右侧填充相同数量的列。

此外，使用奇数的核大小和填充大小也提供了书写上的便利。
对于任何二维张量$X$，当满足：

1. 卷积核的大小是奇数；
2. 所有边的填充行数和列数相同；
3. 输出与输入具有相同高度和宽度

则可以得出：输出$Y[i,j]$是通过以输入$X[i,j]$为中心，与卷积核进行互相关计算得到的。

比如，在下面的例子中，我们创建一个高度和宽度为$3$的二维卷积层，并在所有侧边填充$1$个像素。给定高度和宽度为$8$的输入，则输出的高度和宽度也是$8$。

在卷积神经网络中，如果你创建了一个高度和宽度都为$3$的二维卷积层，并在所有侧边填充$1$个像素，然后用这个卷积层处理一个高度和宽度都为$8$的输入，输出的高度和宽度仍然是$8$。下面是为什么这样设置可以达到这个效果的解释：

卷积核尺寸：在这个例子中，卷积核（filter）的高度和宽度$k_h=k_w=3$。这意味着每个卷积核覆盖了输入数据的$3\times 3$区域。

填充大小：为了确保输出尺寸与输入尺寸相同，我们使用了填充。填充是在输入张量的边界添加额外的行和列，这里填充的尺寸$p_h=p_w=2$。这意味着在输入的每一边（顶部、底部、左侧和右侧）都加上了一个像素的填充。

输出尺寸的计算： 通常输出尺寸的公式是 $(n_h-k_h+p_h+1)\times (n_w-k_w+p_w+1)$。 在这个例子中，输入尺寸$n_h=n_w=8$，卷积核尺寸$k_h=k_w=3$，填充$p_h=p_w=2$。 代入公式得到输出尺寸为 $(8 - 3 + 2 + 1) \times (8 - 3 + 2 +

1. = 8 \times 8$。
   保持尺寸相同：通过添加等量的填充，卷积操作可以在不改变数据的高度和宽度的情况下进行。这样做的好处是简化了网络结构的设计，因为你可以确保无论添加多少这种类型的层，输入与输出的尺寸都保持一致，这使得每层的输出都可以明确计算和预见。

因此，通过在高度和宽度为$3$的卷积层周围加上$1$像素的填充(这里说的填充，是加在输入张量上的，周围加1，即为共加了$2$行，加了$2$列)，并处理高度和宽度为$8$的输入，可以确保输出仍然保持$8\times 8$的尺寸，这有助于在设计深层网络时维持结构的一致性。

import torch
from torch import nn

# 为了方便起见，我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重，并对输入和输出提高和缩减相应的维数
# 接受两个参数：conv2d（一个卷积层对象）和 X（输入数据张量）
def comp_conv2d(conv2d, X):
    # 这里的（1，1）表示批量大小和通道数都是1
    X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
    # 将输入张量 X 的形状重塑为 (1, 1, height, width)
    # 这里的 (1, 1) 分别表示批量大小和通道数都是 1
    # PyTorch 的卷积层通常期望输入的形状为 (batch_size, channels, height, width)。
    Y = conv2d(X)
    # conv2d 对象被应用于已调整形状的输入 X
    # conv2d 是一个卷积层，它执行卷积运算并输出结果 Y。
    
    return Y.reshape(Y.shape[2:]) # 省略前两个维度：批量大小和通道
    # 去除 Y 的前两个维度（批量大小和通道数），只保留高度和宽度，这样输出就是卷积结果的空间维度。

# 请注意，这里每边都填充了1行或1列，因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
# 创建了一个 Conv2d 卷积层，具有 1 个输入通道和 1 个输出通道，卷积核大小为 3（3x3），并且在所有边界上填充了 1 个像素（这样做可以保持输入和输出的空间尺寸相同）。
# padding=1意思是在上下左右各填充一行！

X = torch.rand(size=(8, 8))
# 生成一个形状为 (8, 8) 的张量，填充了 0 到 1 之间的随机数，代表一个 8x8 的图像数据。
comp_conv2d(conv2d, X).shape
# 使用定义好的 comp_conv2d 函数来计算卷积，并输出处理后的数据的形状。
# 由于卷积层使用了填充，输入和输出的形状应该是相同的，即 (8, 8)。

当卷积核的高度和宽度不同时，我们可以填充不同的高度和宽度，使输出和输入具有相同的高度和宽度。在如下示例中，我们使用高度为5，宽度为3的卷积核，高度和宽度两边的填充分别为2和1。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

这个例子其实也说明了，$p_h$和$p_w$在实际使用的时候可以分别设置不一样的。

巧记

• $p_h=k_h-1$和$p_w=k_w-1$
  $p_h$是指在高度上，在原始输入的上部和下部，一共添加了多少行
  $p_w$是指在宽度上，在原始输入的左边和右边，一共添加了多少行

• nn.Conv2d中的padding=(x,y)，这里的(x,y)指的是，在上部和下部分别添加x行，在左边和右边分别添加y列，padding参数的值是$p_h$和$p_w$的一半。

• 输出形状计算公式：$(n_h-k_h+p_h+1)\times (n_w-k_w+p_w+1)$

• 卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数

步幅

在计算互相关时，卷积窗口从输入张量的左上角开始，向下、向右滑动。 在前面的例子中，我们默认每次滑动一个元素。 但是，有时候为了高效计算或是缩减采样次数，卷积窗口可以跳过中间位置，每次滑动多个元素。

我们将每次滑动元素的数量称为步幅（stride）。到目前为止，我们只使用过高度或宽度为$1$的步幅，那么如何使用较大的步幅呢？ 图6.3.2是垂直步幅为$3$，水平步幅为$2$的二维互相关运算。 着色部分是输出元素以及用于输出计算的输入和内核张量元素：$0\times 0+0\times 1+1\times 2+2\times 3=8$、$0\times 0+6\times 1+0\times 2+0\times 3=6$。

可以看到，为了计算输出中第一列的第二个元素和第一行的第二个元素，卷积窗口分别向下滑动三行和向右滑动两列。但是，当卷积窗口继续向右滑动两列时，没有输出，因为输入元素无法填充窗口（除非我们添加另一列填充）。

通常，当垂直步幅为$s_h$、水平步幅为$s_w$时，输出形状为:


下面，我们将高度和宽度的步幅设置为$2$，从而将输出的高度和宽度减半。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape

接下来，看一个稍微复杂的例子。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

为了简洁起见，当输入高度和宽度两侧的填充数量分别为$p_h$和$p_w$时，我们称之为填充$(p_h,p_w)$。当$p_h=p_w=p$时，填充是$p$。
同理，当高度和宽度上的步幅分别为$s_h$和$s_w$时，我们称之为步幅$(s_h,s_w)$。特别地，当$s_h=s_w=s$时，我们称步幅为$s$。
默认情况下，填充为$0$，步幅为$1$。
在实践中，我们很少使用不一致的步幅或填充，也就是说，我们通常有$p_h=p_w$和$s_h=s_w$。

小结

• 填充可以增加输出的高度和宽度。这常用来使输出与输入具有相同的高和宽。

• 步幅可以减小输出的高和宽，例如输出的高和宽仅为输入的高和宽的$1/n$
  （$n$是一个大于$1$的整数）。

• 填充和步幅可用于有效地调整数据的维度。

可以通过统筹选择设置填充和步幅，来将矩形的输入张量，转换为指定高宽比的输出张量。

小trick

• 一般来说，填充的目的是让输入张量和输出张量的形状一致。
• 通常来讲，步幅等于$1$是最好的，如果不选步幅为$1$，一般是我们觉得计算量太大了，需要很多很多层才会使得我这个图片变得越来越小，我不想真的用很多层去做这个事情。通常来说步幅是取$2$，每一次减半。步幅取多少，一般看我想把模型复杂度控制在什么程度。
• 步幅、填充、核大小和通道数，都是一个神经网络架构的一部分，是我整个网络怎么设计的一部分。
• 在实际情况中，我们一定是参照经典的网络结构做设计。