图算法之拓扑排序（Topological Sort）详细解读

拓扑排序（Topological Sort）是针对有向无环图（DAG，Directed Acyclic Graph）的一种线性排序方式，它将图中的所有顶点按顺序排列，使得对于每条有向边 (u, v)，顶点 u 必须排在顶点 v 之前。拓扑排序广泛应用于任务调度、编译器语法分析、依赖管理等场景中。

拓扑排序的定义与特性

• 有向无环图（DAG）：拓扑排序仅适用于有向无环图。DAG 是一种特殊的有向图，其中不存在从某个顶点沿边可以返回该顶点的环，即不存在循环依赖。
• 线性排序：拓扑排序为图中的顶点提供了一种线性排列方式，使得每个有向边的起点都排在终点的前面。

拓扑排序的应用

• 任务调度问题：如果某些任务必须在其他任务之前完成，拓扑排序可以用于确定任务的执行顺序。
• 编译器中的依赖管理：编译时，某些模块必须先于其他模块编译，拓扑排序可以确定模块的编译顺序。
• 课程安排问题：在有前置课程要求的学习计划中，拓扑排序能够找到一个合法的课程安排顺序。

拓扑排序的两种实现方法

1. Kahn's 算法（基于入度的广度优先搜索 BFS）
2. 基于深度优先搜索（DFS）

1. Kahn's 算法（基于入度的 BFS）

Kahn's 算法是一种基于节点入度的算法，通过逐步移除入度为 0 的节点来生成拓扑排序。入度为 0 的节点意味着没有其他节点依赖它，因此可以将其放入排序序列中。

算法步骤

1. 计算每个顶点的入度：

   • 入度是指指向该顶点的边的数量。对于每个顶点，计算它的入度。

2. 初始化入度为 0 的顶点队列：

   • 将所有入度为 0 的顶点加入一个队列。

3. 广度优先遍历：

   • 从队列中取出一个入度为 0 的顶点，将其添加到拓扑排序的结果中。
   • 对于该顶点的每个邻居，将它们的入度减 1。如果某个邻居的入度减为 0，将其加入队列。
   • 重复此过程直到队列为空。

4. 检查是否存在环：

   • 如果最终排序中的顶点数量少于图中的顶点数量，说明图中存在环，无法进行拓扑排序。

Kahn's 算法的伪代码

function KahnTopologicalSort(Graph):
    in_degree = [0] * V  // 初始化所有顶点的入度为 0
    
    // 计算每个顶点的入度
    for each edge (u, v) in Graph:
        in_degree[v] += 1
    
    // 将所有入度为 0 的顶点加入队列
    queue = []
    for i = 0 to V-1:
        if in_degree[i] == 0:
            queue.append(i)
    
    topological_order = []
    
    // 广度优先遍历
    while queue is not empty:
        u = queue.pop(0)
        topological_order.append(u)
        
        // 对 u 的所有邻居进行处理
        for each neighbor v of u:
            in_degree[v] -= 1
            if in_degree[v] == 0:
                queue.append(v)
    
    // 检查是否存在环
    if len(topological_order) != V:
        return "Graph has a cycle"
    
    return topological_order

2. 基于深度优先搜索（DFS）的拓扑排序

DFS 方法通过递归访问每个顶点及其邻居，并在完成对邻居的递归访问后，将顶点加入到排序结果中。因此，深度优先搜索方法的拓扑排序是“后序遍历”的一种变形。

算法步骤

1. 标记节点：

   • 使用一个布尔数组 visited[] 来记录每个节点是否已经被访问。

2. DFS 遍历：

   • 对每个未被访问的节点调用 DFS，递归访问其邻居。当某个顶点的所有邻居都被处理完时，将该顶点放入结果栈中。

3. 栈中的节点顺序：

   • 由于在处理完一个节点的所有邻居后才将其放入栈，因此栈中的顺序即为拓扑排序的顺序。

DFS 拓扑排序的伪代码

function DFSTopologicalSort(Graph):
    visited = [False] * V  // 初始化所有顶点为未访问
    stack = []
    
    for each vertex v in Graph:
        if visited[v] == False:
            DFS(Graph, v, visited, stack)
    
    // 返回栈中节点的顺序即为拓扑排序的结果
    return stack[::-1]  // 将栈逆序输出

function DFS(Graph, v, visited, stack):
    visited[v] = True  // 标记当前节点已访问
    
    // 递归访问所有邻居
    for each neighbor u of v:
        if visited[u] == False:
            DFS(Graph, u, visited, stack)
    
    // 当前节点处理完，放入栈中
    stack.append(v)

Java 实现

Kahn's 算法的 Java 实现

import java.util.*;

public class TopologicalSortKahn {
    // Kahn 算法实现拓扑排序
    public static List<Integer> topologicalSort(int V, List<List<Integer>> adj) {
        int[] inDegree = new int[V];
        List<Integer> topOrder = new ArrayList<>();
        Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();

        // 计算每个节点的入度
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            for (int neighbor : adj.get(i)) {
                inDegree[neighbor]++;
            }
        }

        // 将所有入度为 0 的节点加入队列
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            if (inDegree[i] == 0) {
                queue.add(i);
            }
        }

        // 执行拓扑排序
        while (!queue.isEmpty()) {
            int node = queue.poll();
            topOrder.add(node);

            // 对邻居的入度进行减 1 操作
            for (int neighbor : adj.get(node)) {
                inDegree[neighbor]--;
                if (inDegree[neighbor] == 0) {
                    queue.add(neighbor);
                }
            }
        }

        // 检查是否存在环
        if (topOrder.size() != V) {
            System.out.println("Graph contains a cycle");
            return new ArrayList<>();
        }

        return topOrder;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int V = 6;
        List<List<Integer>> adj = new ArrayList<>(V);
        
        // 初始化邻接表
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            adj.add(new ArrayList<>());
        }

        // 添加有向边
        adj.get(5).add(2);
        adj.get(5).add(0);
        adj.get(4).add(0);
        adj.get(4).add(1);
        adj.get(2).add(3);
        adj.get(3).add(1);

        // 执行拓扑排序
        List<Integer> result = topologicalSort(V, adj);

        // 输出结果
        if (!result.isEmpty()) {
            System.out.println("拓扑排序结果: " + result);
        }
    }
}

DFS 方法的 Java 实现

import java.util.*;

public class TopologicalSortDFS {
    // DFS 实现拓扑排序
    public static List<Integer> topologicalSort(int V, List<List<Integer>> adj) {
        boolean[] visited = new boolean[V];
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();

        // 对每个节点执行 DFS
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            if (!visited[i]) {
                dfs(i, visited, stack, adj);
            }
        }

        // 输出栈中的内容即为拓扑排序结果
        List<Integer> topOrder = new ArrayList<>();
        while (!stack.isEmpty()) {
            topOrder.add(stack.pop());
        }

        return topOrder;
    }

    private static void dfs(int node, boolean[] visited, Stack<Integer> stack, List<List<Integer>> adj) {
        visited[node] = true;

        // 访问所有邻居
        for (int neighbor : adj.get(node)) {
            if (!visited[neighbor]) {
                dfs(neighbor, visited, stack, adj);
            }
        }

        // 将当前节点加入栈中
        stack.push(node);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int V = 6;
        List<List<Integer>> adj = new ArrayList<>(V);
        
        // 初始化邻接表
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            adj.add(new ArrayList<>());
        }

        // 添加有向边
        adj.get(5).add(2);
        adj.get(5).add(0);
        adj.get(4).add(0);
        adj.get(4).add(1);
        adj.get(2).add(3);
        adj.get(3).add(1);

        // 执行拓扑排序
        List<Integer> result = topologicalSort(V, adj);

        // 输出结果
        System.out.println("拓扑排序结果: " + result);
    }
}

算法比较

拓扑排序总结

• Kahn's 算法：使用入度来逐步选出可以放入排序中的节点，适合广度优先遍历。
• DFS 方法：递归访问图中的节点，后序遍历得到排序，适合深度优先遍历。
• 有向无环图是拓扑排序的前提，如果图中存在环，则无法生成拓扑排序。