10.14学习笔记-EW帮帮网

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矩阵

1.矩阵定义

1.1 矩阵的定义

矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示，例如 A、B等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。

一个 m×n的矩阵 A 可以表示为：

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}$

其中 $a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

1.2 矩阵的维度

矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n，其中 m是行数，n 是列数，m不一定与n相等。

例如，一个 3×2 的矩阵有 3 行和 2 列。

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}$

1.3 矩阵和行列式的区别

	矩阵	行列式
符号	()或[]	\| \|
形状	方阵或非方阵	方阵
本质	数表	数
属性	A	\|A\|是A诸多属性中的一种

2 同型矩阵

设矩阵 A 和 B 分别为：

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ & & \vdots & \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{pmatrix}$

如果 A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n 矩阵，那么A 和 B 就是同型矩阵。

矩阵相等

如果A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n矩阵，并且对于所有 i 和 j，都有 $a_{ij}$ = $b_{ij}$ ，那么我们称矩阵 A 和 B 相等，记作 A=B。

矩阵相等的条件

维度相同：两个矩阵的行数和列数必须相同。
对应元素相等：所有对应位置的元素必须相等。

3 特殊类型的矩阵

1.3.1 方阵

一个 n×n 的方阵 A 可以表示为：矩阵的行数=列数

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}$

其中 $a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

方阵有主对角线和副对角线，非方阵没有主对角线和副对角线。

1.3.2 特殊的方阵

1.3.2.1 单位矩阵

主对角线上的元素都是 1，其余元素都是 0 的方阵，记作 I 或 E。例如，3 阶单位矩阵为：

$E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

1.3.2.2 对角矩阵

主对角线上的元素可以是任意值，其余元素都是 0 的方阵。例如：

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}\end{pmatrix}$

1.3.2.3 上三角矩阵

主对角线及其上方的元素可以是任意值，主对角线下方的元素都是 0 的方阵。例如：

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33}\end{pmatrix}$

1.3.2.4 下三角矩阵

主对角线及其下方的元素可以是任意值，主对角线上方的元素都是 0 的方阵。例如：

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$

1.3.2 零矩阵

一个 m×n的零矩阵 O 可以表示为：

$O=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}$

其中所有元素都是零。零矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n。

1.3.3 行矩阵

行矩阵（Row Matrix），也称为行向量（Row Vector），是线性代数中的一种特殊矩阵，它只有一行，但可以有多列。具体来说，一个1×n 的矩阵称为行矩阵或行向量。行矩阵的维度是 1×n，其中 n 是列数。

一个 1×n的行矩阵 R 可以表示为：

$R=\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & \ldots & r_{1n} \end{pmatrix}$

其中 $r_{1j}$ 表示行矩阵R 中第 1 行第 j 列的元素。

1.3.4 列矩阵

列矩阵（Column Matrix），也称为列向量（Column Vector），是线性代数中的一种特殊矩阵，它只有一列，但可以有多行。具体来说，一个 m×1 的矩阵称为列矩阵或列向量。列矩阵的维度是 m×1，其中 m 是行数。

一个 m×1 的列矩阵 C 可以表示为：

$C=\begin{pmatrix} c_{11} \\ c_{21} \\ \vdots \\ c_{n1} \end{pmatrix}$

其中 $c_{i1}$ 表示列矩阵 C 中第 i 行第 1 列的元素。

4.矩阵的加法

矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是

m×n矩阵，那么它们的和 C=A+B也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 $c_{ij}$ 是 A 和 B 对应位置元素的和，即 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ 。

设矩阵 A和 B 分别为：

如果 A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n 矩阵，那么它们的和 C=A+B 也是一个 m×n 矩阵，即：

$C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ & & \vdots & \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn} \end{pmatrix}$

其中：

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

矩阵加法的性质

交换律：矩阵加法满足交换律，即 A+B=B+A。
结合律：矩阵加法满足结合律，即 (A+B)+C=A+(B+C)。
零矩阵：零矩阵 O 是矩阵加法的单位元，即对于任何矩阵 A，有 A+O=A。
负矩阵：对于任何矩阵 A，存在一个负矩阵 −A，使得 A+(−A)=O。

5.矩阵的减法

矩阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是

m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B 也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 $c_{ij}$ 是 A 和 B 对应位置元素的差，即 $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$

设矩阵 A 和 B 分别为：

如果 A和 B 的维度相同，即 A 和 B都是 m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B也是一个 m×n矩阵，其中：

$C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ & & \vdots & \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn} \end{pmatrix}$

其中：

$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$

矩阵减法的性质

反交换律：矩阵减法不满足交换律，即 A − B ≠ B − A。
结合律：矩阵减法满足结合律，即 (A − B) − C = A − (B + C)。
零矩阵：零矩阵O在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色,即对于任何矩阵A,有 A − O = A。

6.矩阵的数乘

矩阵的数乘（Scalar Multiplication）是指一个矩阵与一个标量（即一个实数或复数）相乘，结果是一个新的矩阵。具体来说，如果A 是一个 m×n 的矩阵，k 是一个标量，那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵，其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。

设矩阵 A 为：

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}$

如果 k 是一个标量，那么矩阵A 与标量 k 的数乘 kA 是一个 m×n 的矩阵，即：

$kA=\begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \ldots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \ldots & ka_{2n} \\ & & \vdots & \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \ldots & ka_{mn} \end{pmatrix}$

矩阵提公因子：矩阵的所有元素均有公因子k，则k向外提一次。

行列式提公因子：行列式的某一行有公因子k，则k向外提一次。

矩阵数乘的性质

结合律：矩阵数乘满足结合律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。

分配律：矩阵数乘满足分配律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (k+l)A = kA + lA。

标量乘法与矩阵加法的分配律：对于任何标量 k，以及任何矩阵 A 和 B，有 k(A+B) = kA + kB。

单位标量：标量 1 是矩阵数乘的单位元，即对于任何矩阵 A，有 1A=A。

零标量：标量 0 是矩阵数乘的零元，即对于任何矩阵 A，有 0A=O，其中 O 是零矩阵。

7.矩阵的乘法

矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

矩阵乘法的条件

两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是：矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说，如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵（即 m行 n 列），矩阵 B 是 n×p 的矩阵（即 n 行 p 列），那么它们可以相乘，并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等，取两端)。

矩阵乘法的定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵，其中 C 的第 i 行第 j 列的元素 $c_{ij}$ 定义为：

$c_{ij}=\sum _{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

其中 $a_{ik}$ 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素， $b_{kj}$ 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。

矩阵乘法的性质

结合律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 (A×B)×C=A×(B×C)。
分配律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。
单位矩阵：对于任意矩阵 A，如果存在一个单位矩阵 E（维度与A 相匹配），那么 A×E=E×A=A，注意两个E的维度不一定一样。

矩阵乘法不满足的性质

交换律：A×B一般不等于B×A，如矩阵A维度2x2，B维度2x3，AxB的维度=2x3，BxA则不能相乘，因为B的列数不等于A的行数。如果A×B等于B×A，则矩阵A和B是同阶的方阵，并称A和B是可交换的矩阵。
消去律：由A×B=A×C，不能推导出B=C
由A×B=O，不能推出A=O或B=O

8.矩阵的幂

矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说，如果 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 $A^k$ 定义为 A 自身相乘 k 次的结果。

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 $A^k$ 定义为：

$A^{k}={A\cdot A\cdot A \cdot \ldots \cdot A}$ (k个A)

其中 k 是一个正整数。

性质

矩阵幂具有以下性质：

结合律：对于任意正整数 k 和 l， $(A^{k})^{l}=A^{kl}$
分配律：对于任意正整数 k 和 l， $(A+B)^{k}\neq A^{k}+B^{k}$

(除非 A 和 B 是可交换的)例如A+B的平方： $(A+B)^{2}= A^{2} + A\times B + B\times A +B^{2}$

如果A和B可交换，即 $AB=BA$ ，所以 $(A+B)^{2}= A^{2} + 2AB+B^{2}$

如果A和B不可交换，则上述公式不能合并为2AB。
单位矩阵：对于任意方阵A， $A^0=E$ ，其中 E 是单位矩阵。

9.矩阵的转置

矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 $A^T$ 是一个 n×m 的矩阵，其中 $A^T$ 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 $a_{ij}$ ，那么 A 的转置矩阵 $A^T$ 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 $a_{ji}$ 。

性质

矩阵转置具有以下性质：

$(A^T)^T = A$ ：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
$(kA)^T = kA^T$ ：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
$(AB)^T = B^T A^T$ ：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。

特殊矩阵

对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 $A^T=A$ ，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。

如：

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 1\end{pmatrix}$
反对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 $A^T=-A$ ，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。

如：

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ -3 & -4 & 0\end{pmatrix}$

$A^{T}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 4 & 0\end{pmatrix}=-A$

反对称矩阵：

$a_{ij}=-a_{ji}$

所以：

$a_{ii}=-a_{ii}=>2a_{ii}=0=>a_{ii}=0$

得出主对角线元素必须为零。

对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。

矩阵A和B为同阶对称矩阵，AB对称的充要条件为 $AB=BA$

10.方阵的行列式

要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。

性质：A为n阶的方阵

$|A^{T}|=|A|$

$|kA|=k^{n}|A|$

$|-A|=(-1)^{n}|A|$

$|AB|=|A||B|$

$|A^{m}|=|A|^{m}$

$|E|=1$

11.伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 $a_{ij}$ 。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 $M_{ji}$ 的代数余子式 $C_{ji}$ ，即：

$(A^{*})_{ij}=C^{ji}=(-1)^{i+j}M_{ji}$

其中 $M_{ji}$ 是 A 的第 j 行第 i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

简单理解：

1.先按行求出每个元素的代数余子式

2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

性质：

$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$

$|A^{*}|=|A|^{n-1}$

12.逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 $AB=BA=E$ ，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$

逆矩阵的存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

思考：如果A可逆，则可逆矩阵是唯一的

证明：

假设可逆矩阵不是唯一的，存在两个可逆矩阵B1和B2，则由可逆矩阵定义可知：

$AB_{1}=B_{1}A=E\\ AB_{2}=B_{2}A=E$

则：

$B_{1}=B_{1}E=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=EB_{2}=B_{2}$

所以可逆矩阵唯一。

性质：

n阶方阵A可逆的充要条件为

$|A|\neq 0$

且当A可逆时，

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$

13.初等变换

初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

初等行变换：

交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置

如：矩阵第二行和第三行交换

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k

如：第二行乘以非零整数k

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

如：矩阵第一行乘以-4加到第二行

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$

初等列变换

交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

14.矩阵的标准形

常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。

14.1 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有以下特征：

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。

例如，以下矩阵是一个行阶梯形矩阵：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7\\ 0 & 0 &0 & 9\end{pmatrix}$

简单理解为：用折线表示，竖线只过一个数，横线可过多个数

14.2 简化行阶梯形矩阵

简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式，具有以下特征：

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元为 1：每一行的第一个非零元素（主元）为 1。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
主元上方元素为零：每一行的主元上方元素都为零。

即：

是行阶梯形矩阵
非0行的首非0元是1
非0行的首非0元所在列的其它元素都是0

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