绘制神经网络的决策边界

def plot_decision_boundary(model, X, y):
    # Set min and max values and give it some padding
    x_min, x_max = X[0, :].min() - 1, X[0, :].max() + 1
    y_min, y_max = X[1, :].min() - 1, X[1, :].max() + 1
    h = 0.01
    # Generate a grid of points with distance h between them
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
    # Predict the function value for the whole grid
    Z = model(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    # Plot the contour and training examples
    plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Spectral)
    plt.ylabel('x2')
    plt.xlabel('x1')
    plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=y, cmap=plt.cm.Spectral)

这段代码 plot_decision_boundary 用于绘制神经网络的决策边界。它会根据模型的预测结果，直观地展示出模型对不同输入数据的分类结果，以及模型的决策边界。下面，我们逐步解释每行代码的含义。

1. 设置绘图边界

x_min, x_max = X[0, :].min() - 1, X[0, :].max() + 1
y_min, y_max = X[1, :].min() - 1, X[1, :].max() + 1

• X[0, :] 和 X[1, :] 分别表示输入数据的第 1 个特征（通常是 $x_1$）和第 2 个特征（通常是 $x_2$）。X 的形状是 $2\times m$，其中 $m$ 是样本数。
• min() 和 max() 分别找到数据在 $x_1$ 和 $x_2$ 方向上的最小值和最大值，然后各加减 1，以增加一点边界范围，保证图形不会紧贴边界。

2. 生成网格点

h = 0.01
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))

• h = 0.01：定义网格点的步长，表示网格点之间的距离。步长越小，网格越密，决策边界也会越平滑。
• np.meshgrid()：生成二维的网格点坐标矩阵 xx 和 yy，xx 包含的是 $x_1$ 坐标，yy 包含的是 $x_2$ 坐标。它们的大小分别为 $N\times M$，即整个边界区域内所有可能的坐标点。

3. 模型预测

Z = model(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

• xx.ravel() 和 yy.ravel()：将二维的网格点展平成一维向量，以便传入模型进行预测。
• np.c_：将展平的 xx 和 yy 坐标点拼接在一起，形成一个 $P\times 2$ 的矩阵，其中 $P$ 是网格点的总数量，每一行是一个输入点的坐标。
• model(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])：传入展平后的网格点，通过模型 model 对这些网格点进行预测，返回预测的分类结果（通常是 0 或 1）。
• Z.reshape(xx.shape)：将预测结果 Z 重新整形为与网格 xx 相同的形状，以便用于绘图。

4. 绘制决策边界和数据点

plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Spectral)

• plt.contourf()：根据 Z 中的分类结果绘制决策边界。该函数将网格点的预测结果 Z 映射为不同颜色的区域（由 cmap 控制），形成决策边界。即在分类任务中，不同区域会被不同的颜色填充。

plt.ylabel('x2')
plt.xlabel('x1')

• 设置横轴和纵轴的标签为 $x_1$ 和 $x_2$，表示两个输入特征。

plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=y, cmap=plt.cm.Spectral)

• plt.scatter()：绘制输入数据点，X[0, :] 和 X[1, :] 分别是输入数据的两个特征，c=y 表示根据标签 $y$ 为数据点着色。
• cmap=plt.cm.Spectral：使用 Spectral 颜色映射来为不同类别的数据点着色。

总结

plot_decision_boundary 函数的工作流程是：

1. 根据输入数据 $X$ 设置绘制区域的边界。
2. 使用 np.meshgrid 在边界范围内生成一个密集的网格点矩阵，覆盖整个决策空间。
3. 对这些网格点进行模型预测，生成每个点的分类结果。
4. 使用 plt.contourf() 绘制决策边界，显示模型在不同区域的分类结果。
5. 最后，使用 plt.scatter() 绘制实际的训练数据点，便于直观地查看模型的分类效果与实际数据的分布情况。

这样，决策边界和训练数据会同时显示在一张图上，便于观察模型的分类效果。