01 方程组的求解
多项式及其运算
多项式在MATLAB中以向量形式存储。
即n次多项式用一个长度为n+1的系数向量来表示，且按降幂，缺少的幂次对应的向量元素为0。 多项式的运算主要包括多项式的四则运算、求导、求值和求根运算
多项式的四则运算：
>> p1=[2 0 -6 1];
>> p2=[1 -1];
加减运算 p=polyadd(p1,p2)
p = 2 0 -5 0 ，适用于任意阶次间多项式相加
乘法运算 p=conv(p1,p2)
p = 2 -2 -6 7 -1 ,p=conv(p1,p2)
除法运算 [p,r]=deconv(p1,p2)
p = 2 2 -4 r = 0 0 0 -3
，[p,r]=deconv(p1,p2)，其中k是商，r是余数。
多项式求导:
利用函数polyder来实现，语法格式：
poly(p)：返回多项式p的导数。
poly(p1,p2)：返回多项式p1*p2的导数。
[q,d]=poly(p1,p2)：返回多项式p1/p2的导数，q是分子，d是分母。
多项式求值:
y=polyval(p,x)：按数组运算规则计算多项式值。
y=polyvalm(p,X)：按矩阵运算规则计算多项式值,且X只能是方阵
多项式求根:
>> p=[1 2 -5 0 4];
>> r=roots(p)
当多项式的根已知时，可以利用函数poly(r)来构建多项式的系数。
>> poly(r)
ans = 1.0000 2.0000 -5.0000 0.0000 4.0000
02 线性方程组的求解：
可直接通过矩阵相除得到
>> A=[1 1 1;2 3 -1;-1 2 4];
>> B=[1;3;2];
>> x=A\B03 非线性方程组的求根:
x=fzero(fun,x0)
建立函数文件方式：
%建立函数文件fun1.m。
function f=fun1(x)
f=x^2+2*x-exp(x)+5;
%以M函数文件的函数句柄输入方程
>> x=fzero(@fun1,1)
x =
2.9929
以匿名函数方式输入方程方式：
%以匿名函数方式输入方程
>> x=fzero(@(x)x^2+2*x-exp(x)+5,1)
x = 2.9929
%以字符串方式输入方程
>> x=fzero('x^2+2*x-exp(x)+5',1)
x = 2.9929以字符串方式输入方程：
>> x=fzero('x^2+2*x-exp(x)+5',1)
x = 2.9929非线性方程组求解：
x=fsolve(fun,x0)
求解时还可以在指令中加入options：
x=fsolve(fun,x0,options)
其中options通过调用optimset函数来设定最大优化代数、优化精度、中间结果的显示等等。
例如'Display'选项决定显示优化的中间结果的方式，其调用格式为：
options=optimset('Display','off'或'iter'或'final')
其中'off'表示不显示，'iter'表示每步都显示，'final'表示仅显示最终结果。
fun也可以以M函数文件的函数句柄、匿名函数或字符串方式输入
04 插值和拟合
由离散点数据来确定函数的方法
测量值是准确的，没有误差，一般用插值
测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合
1 函数插值
作用：函数插值是根据给定的有限个样本点，产生另外的估计点以达到数据更为平滑的效果
一维插值函数的调用格式为：
yi=interp1(x,y,xi, 'method')
method是内插方法，可选择：
最近项插值'nearest'、线性插值'linear'、样条插值'spline'或立方插值'cubic'，默认为线性插值。
其中的插值方式也可直接这么用：
s = spline(x,y,xq)返回与查询点xq对应的插值向量s。s的值由x和y的三次样条插值确定。
>> x=0:10;y=sin(x)+cos(x);
>> xi=0:0.1:10;
>> y1=interp1(x,y,xi);
>> y2=interp1(x,y,xi,'nearest');
>> y3=interp1(x,y,xi,'spline');
>> y4=interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(xi,y1,xi,y2,'-s',xi,y3,'-.',xi,y4,'-*')‘nearest’为直角转折； ‘linear’是分段线性变化； 'spline'和 'cubic'形成的曲线很平滑
二维数据插值：
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')
其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同
其中X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误
>>x=0:2.5:10;
>>h=[0:30:60]';
>>T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];
>>xi=[0:0.5:10];
>>hi=[0:10:60]';
>>temps=interp2(x,h,T,xi,hi,'cubic');
>>mesh(xi,hi,temps)
其中mesh是三维网格图绘制
2 曲线拟合
作用：曲线拟合就是寻找一个函数（或曲线），使该函数（或曲线）在某种准则下与样本点数据最为接近，但并不要求拟合曲线通过全部已知的样本点
p=polyfit(x,y,n)函数ployfit使用的准则是最小二乘准则：测得m个离散点，构造一个n（n＜m）次多项式：p（x）=a1x^n+a2x^n-1+...+anx+an+1，使得在各个已知数据点处，（p（xi）-yi)^2之和达到最小。
其中，x和y是已知样本点数据，n是拟合多项式的阶次，p为返回的拟合多项式的系数。
>> x=0:10;y=sin(x)+cos(x);
>> p1=polyfit(x,y,1),p2=polyfit(x,y,2),p3=polyfit(x,y,3),p4=polyfit(x,y,4);
>> x1=-1:0.1:11;
>> y1=polyval(p1,x1);
>> y2=polyval(p2,x1);
>> y3=polyval(p3,x1);
>> y4=polyval(p4,x1);
>>plot(x1,y1,'-*',x1,y2,'--',x1,y3,'-.',x1,y4)
05 常用于数据统计与分析的函数
1. 求矩阵最大元素和最小元素
（1）求最大值和最小值
y=max(X)
y=min(X)
- 当X为向量时：
返回向量X的最大（小）值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大（小）值
- 当X为矩阵时：
返回一个行向量，返回每列的最大元素
[y,I]=max(X)
[y,I]=min(X)
- 当X为向量时：
返回向量X的最大值（小）存入y，最大（小）值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大（小）值
- 当X为矩阵时：
返回每列的最大元素和对应行号
max(A,[],dim)dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量
2. 求矩阵的平均值和中值
（1）求平均值和中值
mean(X)
- 当X为向量时：
返回向量X的算术平均值。
- 当X为矩阵时：
返回一个行向量，各列的平均值
mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)。当dim为2时，各行的平均值
median(X)
- 当X为向量时：
返回向量X的中值。（数据序列为偶数个，则取中间两项的平均值）
- 当X为矩阵时：
返回一个行向量，各列的中值
median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，各行的中值
3. 矩阵元素求和与求积
sum(X)
- 当X为向量时：
返回向量X各元素的和
- 当X为矩阵时：
返回一个行向量，各列之和
sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，各行之和
prod(X)
- 当X为向量时：
返回向量X各元素的乘积
- 当X为矩阵时：
返回一个行向量，各列之积
prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，各行之积
4．求标准方差
对于向量X：
std(X)对于矩阵A：
Y=std(A,flag,dim)其中当dim=1时，求各列元素的标准方差（返回行向量）；
当dim=2时，则求各行元素的标准方差（返回列向量）。当flag=0时，按σ1所列公式计算标准差，
当flag=1时，按σ2所列公式计算标准差。
省略时flag=0，dim=1
5．相关系数
X,Y是向量：
corrcoef(X,Y)
X是矩阵：
corrcoef(X)返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数（各列两两之间，依次求相关系数）。
6. 排序
对向量X：
sort(X)函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量
[Y,I]=sort(A,dim，mode)其中若dim=1，则按列排；
若dim=2，则按行排。mode默认‘ascend’，若取‘descend’，则按降序。
Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中原来的位置。