【蓝桥杯每日一题】数的拆分——筛质数

数的拆分

2024-12-12 数的拆分 筛质数 思维

题目大意

给定 ( T ) 个正整数 $a_i$，分别问每个$a_i$ 能否表示为 $x_1^{y_1}\cdot x_2^{y_2}$ 的形式，其中 $x_1,x_2$为正整数，$y_1,y_2$为大于等于 2 的正整数。

解题思路

乍一看题目非常好理解！又一看嘎嘣住了！！！来听我慢慢分析

1. 由这个分解的形式有没有发现似曾相识，就是—分解质因数，只不过这个只分解成了两个，那么根据分解质因数来思考；因为题目中没有要求 $x_1,x_2$ 一定要是质数（虽然在样例中都分解成了质数，那这不正是在暗示你吗？），那么如果一个数分解成了好几个质因子的成绩，我们有没有办法让他合并成两个呢？

   例 ：

   $x=2^4\ast 3^3\ast 5^7$,则$x=(2\ast 5{)}^4\ast (3\ast 5{)}^3$这样不就满足条件了吗，其他的同样也可以构成两个数的幂成绩；

2. 但是，上面说的是可构造的条件，那么当分解的质因数中包含幂指数为1的值，之后不满足题目构造条件

3. 还有一种构造条件，值分解成了一个质因数的分解，那么另一个数就可以用1来补充。

4. 另外补充一个常识，任何大于1 的数都可以通过2或者3 来构造出来，那么对于只有一个因数的值，可以判断当前值是否可以开2次方或者3次方 。

5. 可以先去了解下分解质因数的思想，并且学习一下埃氏筛法筛质数。

Accepted

/*
    通过筛法去除一定范围内的素数，然后判断其分解的数中的次幂的值即可，还要在前后判断是否
    可以开2次方或者是三次方
*/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10000;
int st[N],primes[N];    // 第二个是存素数的，第一个表示当前值的状态的
int t;  // 表示素数的数量

// 判断平方
bool check (ll x) {
    ll y = sqrtl(x);
    if(y*y == x) return true;
    return false;
}

// 判断三次方
bool check1(int x) {
    ll y = pow(x,1.0/3);
    while(y*y*y <= x) {
        if(y*y*y == x) return true;
        y++;
    }
    return false;
}

// 埃氏筛法
void find_primes() {
    st[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= N;i++) {
        if(!st[i]) {
            primes[t++] = i;
            // 只筛出来i 的倍数
            for(int j = i+i;j < N;j+= i) {
                st[j] = true;
            }
        }
    }
}

void sovle () {
    ll n;cin>>n;
    
    // 判断是否为次方形式
    if(check(n) || check1(n)) {
        cout<<"yes"<<endl;
        return ;
    }
    // 遍历所有的质数
    for(int i = 0;i < t;i++) {
        if(n % primes[i]) continue;
        int cnt = 0;
        // 除去质数
        while(n%primes[i]==0) {
            cnt++;
            n /= primes[i];
        }
        // 时刻判断着 是否存在一个质因数的幂次为1 
        if(cnt == 1) {
            cout<<"no"<<endl;
            return ;
        }
    }
    // 判断最后剩余的数是否2次方或者是三次方
    if(check(n) || check1(n)) {
        cout<<"yes"<<endl;
    }else {
        cout<<"no"<<endl;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    find_primes();
    int T; cin>>T;
    while(T--) sovle();
    return 0;
}

思考

这个题相对于上一个带权并查集好理解一些，但是考察的也是思维，还有实现的数学方法，多思考多动手！！！

备注

想要一起备赛的同学可以在评论区留言！！！