【数理统计】极限定理及抽样分布

中心极限定理

【中心极限定理】设随机变量 $X_k(k=1,2,...,n)$ 相互独立且服从同一分布，数学期望 $E(X_k)=\mu$，方差 $D(X_k)={\sigma }^2$，当 $n$ 充分大时，有

• $\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ 近似成立
• $\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$ 近似成立
• ${\sum }_{k=1}^n{X}_k\sim N(n\mu ,n{\sigma }^2)$ 近似成立

【棣莫孚—拉普拉斯中心极限定理】设随机变量 $X_k\sim B(n,p)(k=1,2,...,n)$（二项分布），数学期望 $E(X_k)=p$，方差 $D(X_k)=p(1-p)$，当 $n$ 充分大时，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right\}\approx \Phi (x)（此为标准正态分布的分布函数）$$

抽样分布

卡方分布

【定义 1】设 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$，则：

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$$

即随机变量 ${\chi }^2$（标准正态随机变量的独立平方和）服从自由度为 $n$ 的卡方分布。

【定义 2】对于任意正数 $\alpha (0<\alpha <1)$，称满足条件

P { χ 2 > χ α 2 ( n ) } = ∫ χ α 2 ( n ) + ∞ f ( x ) d x = α P\{\chi^2 > \chi_{\alpha}^2 (n)\} = \int_{\chi_{\alpha}^2 (n)}^{+\infty} f(x)dx = \alpha P{χ2>χα2​(n)}=∫χα2​(n)+∞​f(x)dx=α

的数为卡方分布的上 $\alpha$ 分位数。

有如下重要性质：

• 设 ${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$，则：$E({\chi }^2)=n$，$D({\chi }^2)=2n$
• 设 $Y_1\sim {\chi }^2(n_1)$ 和 $Y_2\sim {\chi }^2(n_2)$ 相互独立，则：$Y_1+Y_2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$
• 当 $n$ 足够大（$n>40$）时，有：${\chi }_{\alpha }^2(n)\approx \frac{1}{2}(u_{\alpha }+\sqrt{2n-1}{)}^2$

t分布

【定义 1】设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$ 相互独立，则

$$t=\frac{X}{\sqrt{Y/N}}\sim t(n)$$

即随机变量 $t$ 服从自由度为 $n$ 的 t 分布。

【定义 2】对于任意正数 $\alpha (0<\alpha <1)$，称满足条件

P { t > t α ( n ) } = ∫ t α ( n ) + ∞ f ( x ) d x = α P\{t > t_{\alpha} (n)\} = \int_{t_{\alpha} (n)}^{+\infty} f(x)dx = \alpha P{t>tα​(n)}=∫tα​(n)+∞​f(x)dx=α

的数为 t 分布的上 $\alpha$ 分位数。

有如下重要性质：

• $t_{\alpha }(n)=-t_{1-\alpha }(n)$
• 当 $n(n>45)$ 足够大时，有：$t_{\alpha }(n)\approx u_{\alpha }$

F分布

【定义 1】设 $U\sim {\chi }^2(n_1)$，$V\sim {\chi }^2(n_2)$ 相互独立，则

$$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)$$

即随机变量 $F$ 服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 F 分布。

【定义 2】对于任意正数 $\alpha (0<\alpha <1)$，称满足条件

P { F > F α ( n 1 , n 2 ) } = ∫ F α ( n 1 , n 2 ) + ∞ f ( x ) d x = α P\{F > F_{\alpha} (n_1,n_2)\} = \int_{F_{\alpha} (n_1,n_2)}^{+\infty} f(x)dx = \alpha P{F>Fα​(n1​,n2​)}=∫Fα​(n1​,n2​)+∞​f(x)dx=α

的数为 F 分布的上 $\alpha$ 分位数。

有如下重要性质：

• $F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$
• $\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$

正态总体的【样本均值】与【样本方差】的分布

【定理】设 $X_1,X_2,...,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则有：

• $\bar{X}$ 和 $S^2$ 相互独立
• $\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$
• $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$
• $\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$