高等数学学习笔记 ☞ 函数的极限-EW帮帮网

1. 函数的极限定义

备注：已知坐标轴上一点 $x_{0}$ ，则：

①： $x_{0}$ 的邻域：指 $x_{0}$ 附近的开区间，记作 $U(x_{0})$ 。

②： $x_{0}$ 的去心邻域：指 $x_{0}$ 附近的开区间，但不包含 $x_{0}$ ，记作 $\overset{o}{U}(x_{0})$ 。

③： $x_{0}$ 的 $\delta$ 邻域：存在 $\delta>0$ ，那么 $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ 就是 $x_{0}$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(x_{0},\delta )$ 。

④： $x_{0}$ 的去心 $\delta$ 邻域：存在 $\delta>0$ ，那么 $(x_{0}-\delta ,x_{0} )\cup (x_{0},x_{0}+\delta)$ 就是 $x_{0}$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\overset{o}{U}(x_{0},\delta )$ 。

1. 当 $x\rightarrow x_{0}$ 时的极限：

（1）定义：已知函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，存在常数 $A$ ，对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

当 $0<|x-x_0{}|<\delta$ ,即 $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0} )\cup (x_{0},x_{0}+\delta)$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

【解释：也就是当变量x属于区间内时，函数f(x)的值都落在某区间内】

那么称A为函数 $f(x)$ 的极限，记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ 。

备注：

①： $x\rightarrow x_{0}$ 的含义：指的是 $x$ 无限接近于 $x_{0}$ ，但永远不等于 $x_{0}$ 。
②： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ 的含义：指的是当 $x\rightarrow x_{0}$ 时，函数 $f(x)$ 的值无限接近于 $A$ 。
③：函数的极限研究的是当 $x\rightarrow x_{0}$ 过程中，函数 $f(x)$ 的值的变化趋势，与函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有无定义没有关系。

④： $\delta$ 的取值与 $\varepsilon$ 有关，且 $\delta$ 不唯一。也就是说，任意给一个 $\varepsilon$ 就会有一个 $\delta$ 与之对应，这一点和数列的极限中的 $N$ 是一样的。

⑤：证明函数的极限，根据函数的极限的定义可知，关键点就在于找到 $\delta$ 的值，若要找 $\delta$ 的值，出发点就在于

当 $0<|x-x_0{}|<\delta$ 时，不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 是否成立。

（2）左极限与右极限：

①：左极限：已知函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，存在常数 $A$ ，对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

当 $x_{0}-\delta <x<x_{0}$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

那么称A为函数 $f(x)$ 的左极限，记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=A$ 。

②：右极限：已知函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，存在常数 $A$ ，对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

当 $x_{0} <x<x_{0}+\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

那么称A为函数 $f(x)$ 的右极限，记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=A$ 。

备注：

①： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ ， $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 都存在且相等。

②：对于分段函数而言，会涉及到左极限与右极限的讨论。

2. 当 $x\rightarrow \infty$ 时的极限：

（1）定义：已知函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正数时有定义,存在常数 $A$ ,对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数),若存在 $X (X >0)$ ,

当 $|x|>X$ 时,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么称A为函数 $f(x)$ 的极限,记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=A$ .

备注： $x\rightarrow \infty$ 包含了 $x\rightarrow +\infty$ 和 $x\rightarrow -\infty$ 。

（2）左极限与右极限：

①：左极限：已知函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正数时有定义,存在常数 $A$ ,对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数),若存在 $X (X >0)$ ,

当 $x<-X$ 时,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么称A为函数 $f(x)$ 的极限,记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A$ .

②：左极限：已知函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正数时有定义,存在常数 $A$ ,对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数),若存在 $X (X >0)$ ,

当 $x>X$ 时,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么称A为函数 $f(x)$ 的极限,记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A$ .

备注：

①： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)$ ， $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)$ 都存在且相等。

②：对于分段函数而言，会涉及到左极限与右极限的讨论。

2. 函数的极限性质

（1）唯一性：若函数 $f(x)$ 的极限存在，那么函数 $f(x)$ 的极限是唯一的。

（2）局部有界性：已知函数 $f(x)$ 的极限是存在的，若存在正数 $M(M>0)$ ，使得在 $x_{0}$ 的某去心邻域内，有 $|f(x)|\leq M$ ，

则称函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内是有界的。

（3）局部保号性：

①：已知函数 $f(x)$ 的极限是存在的，当 $A>0(A<0)$ 时，那么在 $x_{0}$ 的某去心邻域内， $f(x)>0(f(x)<0)$ 。

②：已知函数 $f(x)$ 的极限是存在的，当在 $x_{0}$ 的某去心邻域内 $f(x)\geq 0(f(x)>0)$ ，则 $A\geq 0$ 。

③：已知函数 $f(x)$ 的极限是存在的，当在 $x_{0}$ 的某去心邻域内 $f(x)\leq 0(f(x)< 0)$ ，则 $A\leq 0$ 。

3. 函数的极限与数列的极限

1. 区别：函数极限的逼近与数列极限的逼近特性不同，即函数可以连续的左右逼近一个点，而数列只能离散的左右逼近一个点。

2. 关系：若函数 $f(x)$ 的极限存在，即 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ ，则数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的函数值数列极限存在，且为 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A$ ，反之是错误的。

备注：

①：讨论函数的极限与数列的极限的关系时，数列的极限是数列的各个项对应的函数值所构成的函数值数列的极限。

②：可以理解为：数列的函数值构成的数列是函数的子列，故子列的极限存在，函数的极限不一定存在。

高等数学学习笔记 ☞ 函数的极限

1. 函数的极限定义

2. 函数的极限性质

3. 函数的极限与数列的极限

网站公告

今日签到

热门文章

最新发布