数据结构与算法学习笔记----树形DP

数据结构与算法学习笔记----树形DP

@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2025.2.20

ps⭐️一道典型的树形DP问题，其实也是一个搜索问题，比较简单

Acwing 285. 没有上司的舞会

[原题链接](285. 没有上司的舞会 - AcWing题库)

Ural大学有$N$名职员，编号为$1\sim N$.

他们的关系就像一颗以校长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。

每个职员有一个快乐指数，用整数$H_i$给出，其中$1\le i\le N$。

现在要召开一场周年庆研会，不过，没有职员愿意和直接上司一起参会。

在满足这个条件的前提下，主办方希望邀请一部分职员参会，使得所有参会职员的快乐指数总和最大，求这个最大值。

输入格式

第一行一个整数$N$。

接下来$N$行，第$i$行表示$i$号职员的快乐指数$H_i$。

接下来$N-1$行，每行输入一对整数$L，K$，表示$K$是$L$的直接上司。（注意一下，后一个数是前一个数的父节点，不要搞反）。

输出格式

输出最大的快乐指数。

数据范围

$1\le N\le 6000$，

$-128\le H_i\le 127$

思路

这是一道典型的树形$DP$问题，同样来考虑状态表示和状态计算，但是这里的状态表示会和以前的稍有不同。

对于状态表示，使用f[u][0]，表示所有从以u为根的子树中选择，并且不选u这个点的方案，同样的f[u][1]表示所有从以u为根的子树中选择，并且选择u这个点的方案，要求的属性的最大值。

对于状态计算来说，树形结构常用的就是递归求解，因此来看一个小子树，假设节点$u$有两个儿子$s_1,s_2$，那么会先求解出儿子的$f(s_1,0),f(s_1,1),f(s_2,0),f(s_2,1)$，然后才算$f(u,0),f(u,1)$，因为$f(u,0)$表示不选$u$这个节点，因此对于两个子节点来说，可以选择也可以不选择，因此最大值为$f(u,0)=max(f(s_1,0),f(s_1,1))+max(f(s_2,0),f(s_2,1))$；而当$u$被选择了，那么两个子节点肯定不能选，因此最大值为$f(u,1)=f(s_1,0)+f(s_2,0)$。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 6010;

int n;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int happy[N];
int f[N][2];
bool has_father[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void dfs(int u)
{
    f[u][1] += happy[u];
    
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        dfs(j);
        
        f[u][1] += f[j][0];
        f[u][0] += max(f[j][0], f[j][1]);
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> happy[i];
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    for(int i = 0; i < n - 1; i ++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(b, a);
        has_father[a] = true;
    }
    
    int root = 1;
    while(has_father[root]) root ++;
    
    dfs(root);
    
    cout << max(f[root][1], f[root][0]) << endl;
    
    return 0;
}