MATLAB中fft函数用法

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语法

说明

示例

含噪信号

高斯脉冲

余弦波

正弦波的相位

FFT 的插值

        fft函数的功能是对数据进行快速傅里叶变换。

语法

Y = fft(X)
Y = fft(X,n)
Y = fft(X,n,dim)

说明

​Y = fft(X) 用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。

• 如果 X 是向量，则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换。

• 如果 X 是矩阵，则 fft(X) 将 X 的各列视为向量，并返回每列的傅里叶变换。

• 如果 X 是一个多维数组，则 fft(X) 将沿大小不等于 1 的第一个数组维度的值视为向量，并返回每个向量的傅里叶变换。

Y = fft(X,n) 返回 n 点 DFT。如果未指定任何值，则 Y 的大小与 X 相同。

• 如果 X 是向量且 X 的长度小于 n，则为 X 补上尾零以达到长度 n。

• 如果 X 是向量且 X 的长度大于 n，则对 X 进行截断以达到长度 n。

• 如果 X 是矩阵，则每列的处理与在向量情况下相同。

• 如果 X 为多维数组，则大小不等于 1 的第一个数组维度的处理与在向量情况下相同。

Y = fft(X,n,dim) 返回沿维度 dim 的傅里叶变换。例如，如果 X 是矩阵，则 fft(X,n,2) 返回每行的 n 点傅里叶变换。

示例

含噪信号

        使用傅里叶变换求噪声中隐藏的信号的频率分量。

        指定信号的参数，采样频率为 1 kHz，信号持续时间为 1.5 秒。

Fs = 1000;            % Sampling frequency                    
T = 1/Fs;             % Sampling period       
L = 1500;             % Length of signal
t = (0:L-1)*T;        % Time vector

        构造一个信号，其中包含幅值为 0.7 的 50 Hz 正弦量和幅值为 1 的 120 Hz 正弦量。

S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);

        用均值为零、方差为 4 的白噪声扰乱该信号。

X = S + 2*randn(size(t));

        在时域中绘制含噪信号。通过查看信号 X(t) 很难确定频率分量。

plot(1000*t(1:50),X(1:50))
title("Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise")
xlabel("t (milliseconds)")
ylabel("X(t)")

如图所示：

        计算信号的傅里叶变换。

Y = fft(X);

        计算双侧频谱 P2。然后基于 P2 和偶数信号长度 L 计算单侧频谱 P1。

P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

        定义频域 f 并绘制单侧幅值频谱 P1。与预期相符，由于增加了噪声，幅值并不精确等于 0.7 和 1。一般情况下，较长的信号会产生更好的频率逼近值。

f = Fs*(0:(L/2))/L;
plot(f,P1) 
title("Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)")
xlabel("f (Hz)")
ylabel("|P1(f)|")

如图所示：

        现在，采用原始的、未破坏信号的傅里叶变换并检索精确幅值 0.7 和 1.0。

Y = fft(S);
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

plot(f,P1) 
title("Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)")
xlabel("f (Hz)")
ylabel("|P1(f)|")

如图所示：

高斯脉冲

        将高斯脉冲从时域转换为频域。

        指定信号的参数，采样频率为 44.1 kHz，信号持续时间为 1 秒。创建一倍标准差为 0.1 ms 的高斯脉冲。

Fs = 44100;         % Sampling frequency
T = 1/Fs;           % Sampling period
t = -0.5:T:0.5;     % Time vector
L = length(t);      % Signal length

X = 1/(0.4*sqrt(2*pi))*(exp(-t.^2/(2*(0.1*1e-3)^2)));

在时域中绘制脉冲。

plot(t,X)
title("Gaussian Pulse in Time Domain")
xlabel("Time (t)")
ylabel("X(t)")
axis([-1e-3 1e-3 0 1.1]) 

如图所示：

        fft 的执行时间取决于变换的长度。仅具有小质因数的变换长度比那些具有大质因数的变换长度的执行时间要快得多。

        在此示例中，信号长度 L 是 44101，这是非常大的质数。为了改进 fft 的性能，从原始信号长度确定一个是下一个 2 次幂的输入长度。使用此输入长度调用 fft 会将具有尾随零的脉冲 X 填充到指定的变换长度。

n = 2^nextpow2(L);

        将高斯脉冲转换为频域。

Y = fft(X,n);

        定义频域并绘制唯一频率。

f = Fs*(0:(n/2))/n;
P = abs(Y/n).^2;

plot(f,P(1:n/2+1)) 
title("Gaussian Pulse in Frequency Domain")
xlabel("f (Hz)")
ylabel("|P(f)|^2")

如图所示：

余弦波

        比较时域和频域中的余弦波。指定信号的参数，采样频率为 1 kHz，信号持续时间为 1 秒。

Fs = 1000;                    % Sampling frequency
T = 1/Fs;                     % Sampling period
L = 1000;                     % Length of signal
t = (0:L-1)*T;                % Time vector

        创建一个矩阵，其中每一行代表一个频率经过缩放的余弦波。结果X为 3×1000 矩阵。第一行的波频为 50，第二行的波频为 150，第三行的波频为 300。

x1 = cos(2*pi*50*t);          % First row wave
x2 = cos(2*pi*150*t);         % Second row wave
x3 = cos(2*pi*300*t);         % Third row wave

X = [x1; x2; x3];

        在单个图窗中按顺序绘制X的每行的前 100 个项，并比较其频率。

for i = 1:3
    subplot(3,1,i)
    plot(t(1:100),X(i,1:100))
    title("Row " + num2str(i) + " in the Time Domain")
end

如图所示：

        指定 dim 参数沿 X 的行（即对每个信号）使用 fft。

dim = 2;

        计算信号的傅里叶变换。

Y = fft(X,L,dim);

        计算每个信号的双侧频谱和单侧频谱。

P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(:,1:L/2+1);
P1(:,2:end-1) = 2*P1(:,2:end-1);

        在频域内，为单个图窗中的每一行绘制单侧幅值频谱。

for i=1:3
    subplot(3,1,i)
    plot(0:(Fs/L):(Fs/2-Fs/L),P1(i,1:L/2))
    title("Row " + num2str(i) + " in the Frequency Domain")
end

如图所示：

正弦波的相位

        创建一个由频率为 15 Hz 和 40 Hz 的两个正弦波组成的信号。第一个正弦波是相位为 −π/4 的余弦波，第二个正弦波是相位为 π/2 的余弦波。以 100 Hz 的频率对信号进行 1 秒钟的采样。

Fs = 100;
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;
x = cos(2*pi*15*t - pi/4) + cos(2*pi*40*t + pi/2);

        计算信号的傅里叶变换。将变换幅值绘制为频率函数。

y = fft(x);
z = fftshift(y);

ly = length(y);
f = (-ly/2:ly/2-1)/ly*Fs;
stem(f,abs(z))
title("Double-Sided Amplitude Spectrum of x(t)")
xlabel("Frequency (Hz)")
ylabel("|y|")
grid

如图所示：

        计算变换的相位，删除小幅值变换值。将相位绘制为频率函数。

tol = 1e-6;
z(abs(z) < tol) = 0;

theta = angle(z);

stem(f,theta/pi)
title("Phase Spectrum of x(t)")
xlabel("Frequency (Hz)")
ylabel("Phase/\pi")
grid

如图所示：

FFT 的插值

        通过填充零来对信号的傅里叶变换进行插值。

        指定信号的参数，采样频率为 80 Hz，信号持续时间为 0.8 秒。

Fs = 80;
T = 1/Fs;
L = 65;
t = (0:L-1)*T;

        创建一个 2 Hz 正弦信号及其高次谐波的叠加。该信号包含一个 2 Hz 余弦波、一个 4 Hz 余弦波和一个 6 Hz 正弦波。

X = 3*cos(2*pi*2*t) + 2*cos(2*pi*4*t) + sin(2*pi*6*t);

        在时域中绘制该信号。

plot(t,X)
title("Signal superposition in time domain")
xlabel("t (ms)")
ylabel("X(t)")

如图所示：

        计算信号的傅里叶变换。

Y = fft(X);

        计算信号的单侧幅值频谱。

f = Fs*(0:(L-1)/2)/L;
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:(L+1)/2);
P1(2:end) = 2*P1(2:end);

        在频域中绘制单侧频谱。由于信号的时间采样相当短，傅里叶变换的频率分辨率不够精确，不足以显示 4 Hz 附近的峰值频率。

plot(f,P1,"-o") 
title("Single-Sided Spectrum of Original Signal")
xlabel("f (Hz)")
ylabel("|P1(f)|")

如图所示：

        为了更好地评估峰值频率，您可以通过用零填充原始信号来增加分析窗的长度。这种方法以更精确的频率分辨率自动对信号的傅里叶变换进行插值。

        从原始信号长度确定是下一个 2 次幂的新输入长度。用尾随零填充信号 X 以扩展其长度。计算填零后的信号的傅里叶变换。

n = 2^nextpow2(L);
Y = fft(X,n);

        计算填零后的信号的单侧幅值频谱。由于信号长度 n 从 65 增加到 128，频率分辨率变为 Fs/n，即 0.625 Hz。

f = Fs*(0:(n/2))/n;
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:n/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

        绘制填零后的信号的单侧频谱。此新频谱在 0.625 Hz 的频率分辨率内显示 2 Hz、4 Hz 和 6 Hz 附近的峰值频率。

plot(f,P1,"-o") 
title("Single-Sided Spectrum of Padded Signal")
xlabel("f (Hz)")
ylabel("|P1(f)|")

如图所示：

参数说明

X — 输入数组

        输入数组，指定为向量、矩阵或多维数组。

        如果 X 为 0×0 空矩阵，则 fft(X) 返回一个 0×0 空矩阵。

n — 变换长度

        变换长度，指定为 [] 或非负整数标量。为变换长度指定正整数标量可以改进 fft 的性能。通常，长度指定为 2 的幂或可分解为小质数的乘积的值。（质因数不大于 7）。如果 n 小于信号的长度，则 fft 忽略第 n 个条目之后的其余信号值，并返回截断后的结果。如果 n 为 0，则 fft 返回空矩阵。

dim — 沿其运算的维度

沿其运算的维度，指定为正整数标量。如果不指定维度，则默认为第一个大于 1 的数组维度。

• fft(X,[],1) 沿 X 的各列进行运算，并返回每列的傅里叶变换。

  

• fft(X,[],2) 沿 X 的各行进行运算，并返回每行的傅里叶变换。

  

        如果 dim 大于 ndims(X)，则 fft(X,[],dim) 返回 X。当指定 n 时，fft(X,n,dim) 将对 X 进行填充或截断，以使维度 dim 的长度为 n。

Y — 频域表示

        频域表示，以向量、矩阵或多维数组形式返回。

        如果 X 的类型为 single，则 fft 本身以单精度进行计算，Y 的类型也是 single。否则，Y 以 double 类型返回。

Y 的大小如下：

• 对于 Y = fft(X) 或 Y = fft(X,[],dim)，Y 的大小等于 X 的大小。

• 对于 Y = fft(X,n,dim)，size(Y,dim) 的值等于 n，而所有其他维度的大小保持与在 X 中相同。

如果 X 为实数，则 Y 是共轭对称的，且 Y 中特征点的数量为 ceil((n+1)/2)。

向量的离散傅里叶变换

        Y = fft(X) 和 X = ifft(Y) 分别实现傅里叶变换和傅里叶逆变换。对于长度为 n 的 X 和 Y，这些变换定义如下：

其中

        为 n 次单位根之一。

提示

• fft 的执行时间取决于变换的长度。仅具有小质因数（不大于 7）的变换长度的执行时间明显快于本身是质数或具有较大质因数的变换长度的执行时间。

• 对于大多数 n 值，实数输入的 DFT 需要的计算时间大致是复数输入的 DFT 计算时间的一半。但是，当 n 有较大的质因数时，速度很少有差别或没有差别。

• ​使用工具函数 fftw 可能会提高 fft 的速度。此函数控制用于计算特殊大小和维度的 FFT 算法优化。​

算法

        ​FFT 函数（fft、fft2、fftn、ifft、ifft2、ifftn）基于一个称为 FFTW [1] [2] 的库。

​