【博资考1】网安学院-北航网安数学基础部分

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要博士资格考试了，考 基础理论+专业知识，这周复习一下
但是没有考纲。

为了帮助理清复习思路，我决定先大致梳理一下网安专业的基础内容。

北航网安学院考纲

https://cst.buaa.edu.cn/info/1063/3847.htm

网络空间安全2024年博士生资格考试专业课考试大纲

一、考试组成

网络空间安全学院博士生资格考试共包括两门课的内容：网络空间安全数学基础、网络安全，一共为100分。

二、网络空间安全数学基础部分的考试大纲

（一）整体要求1.集合、映射和等价关系；2.域上的线性代数；3.群、环和域；4.纠错码的定义、码界；5.线性码；6.格。（二）知识要点1.基础知识（1）集合的基本概念；（2）映射的基本概念；（3）等价关系和集合的划分。2.域上的线性代数（1）线性空间；（2）线性子空间；（3）内积空间。3.群（1）群的定义；（2）群元素的阶；（3）子群和陪集；（4）循环群。
4．环（1）环的定义；（2）商环。5．域（1）域的定义；（2）域上的多项式环的性质；（3）最大公因式的计算；（4）多项式的根的定义；（5）不可约多项式的判定；（6）有限域的构造。6．线性码（1）纠错码的定义；（2）汉明距离；（3）码界；（4）线性码的生成矩阵和校验矩阵；（5）汉明码；（6）循环码。7．格（1）格的定义；（2）格中的困难问题；（3）Babai算法；（4）Gauss约减算法；（5）对背包密码体制的分析。

（三）可参考书目

1．《信息安全数学基础》，高莹编著，高等教育出版社，2024.
2．InformationandCodingTheory，GarethA.Jones和J.MaryJones著，清华大学出版社/Springer，2009年.
3.HoffsteinJ,PipherJ,SilvermanJH,etal.Anintroductiontomathematicalcryptography[M].NewYork:Springer,2008.

快速梳理

（一）整体要求

在网络空间安全的数学基础部分，要求掌握的内容覆盖了集合论、线性代数、群论、环论、域理论、编码理论以及格理论等多个领域。这些数学概念在网络安全、密码学等领域中有广泛应用，尤其是在设计安全算法、加密方案、纠错码、数字签名等技术时。

下面针对大纲内容逐一解析，帮助你理解每个知识点的核心内容和实际应用。

（二）知识要点解析

1. 基础知识

• 集合的基本概念：集合是数学中的基础概念，表示一个无序的元素集合。集合操作包括交集、并集、差集、补集等，这些操作在密码学中的集合理论中有广泛应用，如多方安全计算、哈希函数的碰撞问题等。

• 映射的基本概念：映射（也称为函数）是集合间的关系，每个元素在定义域中都有一个唯一的对应元素在值域中。映射在密码学中广泛应用，如散列函数、加密算法的密钥映射等。

• 等价关系和集合的划分：等价关系是指在集合中的元素可以划分为不相交的子集，每个子集中的元素是等价的。在密码学中，等价类的概念常用于描述密码体制的等价性分析，如在公钥密码系统中的等价类分析。

2. 域上的线性代数

• 线性空间：线性空间是向量空间的另一种称呼，表示在加法和数乘操作下封闭的集合。在线性代数中，向量的运算和空间的构造对编码理论（如线性码）的研究至关重要。

• 线性子空间：线性子空间是线性空间的一个子集，满足线性运算的封闭性。在线性码中，代码字就是线性子空间中的元素，线性码的生成矩阵便是生成子空间的工具。

• 内积空间：内积空间是一个带有内积（或者说点积）定义的线性空间，内积在编码和误差纠正中有重要作用。通过内积可以定义码字间的相似度、距离等度量。

3. 群

• 群的定义：群是一个集合和一个二元运算的组合，满足封闭性、结合性、存在单位元和逆元等条件。在加密算法中，群结构被广泛应用，例如RSA公钥加密、椭圆曲线加密（ECC）等。

• 群元素的阶：群元素的阶是指该元素与单位元素的运算结果为单位元素所需要的最小次数。在密码学中，群的阶与加密强度和算法的安全性相关。

• 子群和陪集：子群是群的一个子集，并且本身也是群。陪集是群中的一个元素和子群的运算结果所构成的集合。群论在设计数字签名算法和加密算法时起到了至关重要的作用。

• 循环群：循环群是由一个元素的幂生成的群。循环群在设计加密算法，尤其是在基于离散对数问题的加密算法（如Diffie-Hellman协议）中非常重要。

4. 环

• 环的定义：环是一个集合，并且在集合上定义了加法和乘法两个运算，满足加法和乘法的分配律等条件。环结构在密码学中常用于构建某些密码算法和码理论。

• 商环：商环是环理论中的一个概念，通过在一个环上定义一个等价关系，可以得到商环。商环在密码算法中可以用于构造某些加密结构，如用于生成有限域上的加密算法。

5. 域

• 域的定义：域是一个数学结构，包含加法和乘法两种运算，且每个非零元素都有乘法逆元。在密码学中，有限域广泛应用于椭圆曲线加密、RSA等加密算法的构建。

• 域上的多项式环的性质：域上的多项式环是指由多项式组成的环，且所有系数属于一个域。这个概念在构造有限域和多项式加密算法（如Shamir密钥共享）中非常重要。

• 最大公因式的计算：最大公因式是两个数的最大可整除的数，在加密算法中，最大公因式用于欧几里得算法中求解模逆元等。

• 多项式的根的定义：多项式的根是使得多项式为零的数。在密码学中，求解多项式的根和不可约多项式的构造对设计加密算法有着重要作用。

• 不可约多项式的判定：不可约多项式是指不能被分解为其他多项式的多项式。不可约多项式在有限域的构造和伪随机数生成器的设计中广泛应用。

• 有限域的构造：有限域是包含有限个元素的域，在密码学中常用来设计对称加密算法、非对称加密算法以及哈希函数等。

6. 线性码

• 纠错码的定义：纠错码用于在数据传输过程中纠正因噪声或干扰引起的错误。纠错码广泛应用于网络通信、磁盘存储和加密算法中。

• 汉明距离：汉明距离是两个字符串之间不同字符的位置数，通常用于衡量两个码字之间的差异。它在纠错码的构造中用来分析码字的最小距离，确保能够纠正指定数量的错误。

• 码界：码界是指所有可能的码字的最小距离，码界对判断编码的错误检测和修正能力至关重要。

• 线性码的生成矩阵和校验矩阵：生成矩阵和校验矩阵分别用于生成和校验线性码。生成矩阵生成所有合法的码字，而校验矩阵用于检测接收到的码字是否有错误。

• 汉明码：汉明码是一种能够纠正单一错误的纠错码，广泛应用于计算机系统和通信中。

• 循环码：循环码是一种特定类型的线性码，所有码字是通过循环位移生成的。循环码在网络通信和信号处理等领域应用广泛。

7. 格

• 格的定义：格是数学中的一种离散结构，用于表示在多维空间中的点集合。在密码学中，格理论被用于构造某些加密算法，如基于格的公钥密码学。

• 格中的困难问题：格中的一些计算问题，如最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP），在某些加密算法的安全性分析中至关重要。

• Babai算法：Babai算法是一种近似最短向量问题的算法。它被用于在格问题中找到近似的最短向量。

• Gauss约减算法：Gauss约减算法是解决格问题的一种常用方法，主要用于寻找格中的最短向量或优化格的基。

• 对背包密码体制的分析：背包密码体制是一种基于计算困难问题的加密体制，利用格理论分析其安全性。通过分析背包问题的复杂性，可以评估该加密算法的强度。

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