引言
在 Matlab 中，循环（如 for 或 while）虽然易于理解，但可能导致性能瓶颈，尤其是处理大规模数据时。矩阵运算的向量化是 Matlab 高效编程的核心，利用内置函数和矩阵操作避免逐元素处理，可显著提升代码速度（有时甚至提速百倍）。本文将通过实例演示如何将循环逻辑转化为矩阵运算。
1. 为什么矩阵运算比循环快？
Matlab 底层基于 C/C++ 和 Fortran 高度优化的矩阵库（如 BLAS、LAPACK），而循环则是逐元素解释执行。通过矩阵运算：
- 减少解释器的开销；
- 利用多线程加速；
- 避免重复索引内存。
2. 常见场景优化示例
以下场景对比 循环写法 与 矩阵运算写法，并用 tic/toc 测试耗时。
场景 1：逐元素运算
任务：计算长度为 100 万的数组每个元素的平方加 1。
低效循环写法：
A = 1:1e6; B = zeros(size(A)); for i = 1:length(A) B(i) = A(i)^2 + 1; end耗时：约 0.25 秒（测试值）。
高效矩阵写法：
A = 1:1e6; B = A.^2 + 1; % 逐元素操作（注意 .^）耗时：约 0.002 秒（提速约 125 倍）。
关键点：
- 使用
.^表示逐元素幂运算（而非矩阵幂^）。 - 避免逐元素索引计算，直接操作整个矩阵。
场景 2：行列统计运算
任务：计算 10000×1000 矩阵每行的平均值。
低效循环写法：
matrix = rand(10000, 1000); [rows, cols] = size(matrix); row_avg = zeros(rows, 1); for i = 1:rows row_sum = 0; for j = 1:cols row_sum = row_sum + matrix(i, j); end row_avg(i) = row_sum / cols; end耗时：约 1.8 秒。
高效矩阵写法：
matrix = rand(10000, 1000); row_avg = mean(matrix, 2); % 对第 2 维度（列）求平均耗时：约 0.02 秒（提速约 90 倍）。
关键点：
- 利用
mean、sum、max等函数的维度参数（dim=2表示按行）。 - 所有列操作的函数（如
sum(A,2)）均直接支持矩阵输入。
场景 3：条件判断向量化
任务：将矩阵中大于 0.5 的值设为 1，其余设为 0。
低效循环写法：
A = rand(1000, 1000); [m, n] = size(A); for i = 1:m for j = 1:n if A(i, j) > 0.5 B(i, j) = 1; else B(i, j) = 0; end end end耗时：约 0.3 秒。
高效矩阵写法（逻辑索引）：
A = rand(1000, 1000); B = A > 0.5; % 直接生成逻辑矩阵 B = double(B); % 转为数值矩阵（可选）耗时：约 0.003 秒（提速约 100 倍）。
进阶技巧：可直接对逻辑矩阵运算（Matlab 中 true=1, false=0），例如计算满足条件的元素个数：
count = sum(A > 0.5, 'all');场景 4：多维矩阵运算
任务：对三维矩阵（100×100×100）的每个“页面”进行归一化（每页均值为0，标准差为1）。
低效循环写法：
data = rand(100, 100, 100); [x, y, z] = size(data); for k = 1:z page = data(:,:,k); data(:,:,k) = (page - mean(page, 'all')) / std(page, 0, 'all'); end高效矩阵写法（
reshape+bsxfun）：data = rand(100, 100, 100); % 拉平成二维矩阵（每列为一页） data_reshaped = reshape(data, [], size(data,3)); % 逐列归一化 data_normalized = (data_reshaped - mean(data_reshaped, 1)) ./ std(data_reshaped, 0, 1); % 恢复原维度 data = reshape(data_normalized, size(data));时间对比：循环写法约 0.8 秒，向量化写法约 0.1 秒。
关键点：
reshape改变矩阵维度以匹配操作需求；bsxfun（或隐式扩展）实现维度自动扩展的运算。
3. 向量化的核心技巧总结
(1) 掌握操作符的「逐元素」模式
.*（逐元素乘）、./（逐元素除）、.^（逐元素幂）。- 例如：
sin(A)、exp(A)默认逐元素运算。
(2) 多维度函数参数
- 类似
sum(A, dim)、mean(A, dim)，dim=1按列，dim=2按行。 'all'参数可全局计算：sum(A, 'all')。
(3) 避免临时变量，链式操作
- 如：
result = sum(A .* B, 2) / size(A,1);
(4) 灵活使用逻辑矩阵和索引
- 逻辑索引：
A(A > 0) = 1; - 线性索引：
indices = find(A > 0);
(5) 利用矩阵的隐式扩展（Implicit Expansion）
- Matlab R2016b 之后支持的自动维度匹配：
4. 必须使用循环时怎么办？
若问题难以向量化：
- 预分配内存：
result = zeros(N, M); - 减少循环内计算：将不变的计算移至循环外；
- 简化条件逻辑：用逻辑矩阵替代
if-else； - 使用
parfor（并行计算工具箱）。
5. 案例分析：图像处理中的向量化
任务：将 RGB 图像转换为灰度图（公式：0.2989*R + 0.5870*G + 0.1140*B）。
循环写法：
img = imread('image.jpg'); [h, w, ~] = size(img); gray = zeros(h, w); for i = 1:h for j = 1:w gray(i,j) = 0.2989*img(i,j,1) + 0.5870*img(i,j,2) + 0.1140*img(i,j,3); end end向量化写法：
img = im2double(imread('image.jpg')); % 转为双精度 gray = 0.2989 * img(:,:,1) + 0.5870 * img(:,:,2) + 0.1140 * img(:,:,3);性能对比：循环耗时约 0.5 秒（1000×1000 图像），向量化仅需 0.02 秒。
6. 注意事项
- 可读性优先：若循环更直观且数据规模小，不必强行向量化。
- 内存限制：超大矩阵需分块处理（如
for循环分段计算）。 - 调试技巧：使用
size()、disp()确认矩阵维度是否匹配。