STL之map和set

1. 关联式容器

vector、list、deque、 forward_list(C++11)等，这些容器统称为序列式容器，因为其底层为线性序列的数据结构，里面存储的是元素本身。

关联式容器也是用来存储数据的，与序列式容器不同的是，其里面存储的是结构的键值对，在数据检索时比序列式容器效率更高。

2. 键值对

用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息。

SGI-STL中关于键值对的定义：

template <class T1, class T2>
struct pair
{
	typedef T1 first_type;
	typedef T2 second_type;
	T1 first;
	T2 second;
	pair() : first(T1()), second(T2())
	{}
	pair(const T1& a, const T2& b) : first(a), second(b)
	{}
};

3. 树形结构的关联式容器

根据应用场景的不同，STL总共实现了两种不同结构的管理式容器：树型结构与哈希结构。树型结构的关联式容器主要有四种：map、set、multimap、multiset。这四种容器的共同点是：使用平衡搜索树(即红黑树)作为其底层结果，容器中的元素是一个有序的序列。下面一依次介绍每一 个容器。

3.1 set

3.1.1 set的介绍

set文档介绍

翻译：

1. set是按照一定次序存储元素的容器
2. 在set中，元素的value也标识它(value就是key，类型为T)，并且每个value必须是唯一的。 set中的元素不能在容器中修改(元素总是const)，但是可以从容器中插入或删除它们。
3. 在内部，set中的元素总是按照其内部比较对象(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行 排序。
4. set容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_set容器慢，但它们允许根据顺序对子集进行直接迭代。
5. set在底层是用二叉搜索树(红黑树)实现的。

注意：

1. 与map/multimap不同，map/multimap中存储的是真正的键值对，set中只放 value，但在底层实际存放的是由构成的键值对。
2. set中插入元素时，只需要插入value即可，不需要构造键值对。
3. set中的元素不可以重复(因此可以使用set进行去重)。
4. 使用set的迭代器遍历set中的元素，可以得到有序序列
5. set中的元素默认按照小于来比较
6. set中查找某个元素，时间复杂度为：log₂n
7. set中的元素不允许修改(为什么?)
8. set中的底层使用二叉搜索树(红黑树)来实现。

3.1.2 set的使用

1. set的模板参数列表

   

   T: set中存放元素的类型，实际在底层存储的键值对。

   Compare：set中元素默认按照小于来比较

   Alloc：set中元素空间的管理方式，使用STL提供的空间配置器管理

2. set的构造

   函数声明	功能介绍
   set (const Compare& comp = Compare(), const Allocator& = Allocator() );	构造空的set
   set (InputIterator first, InputIterator last, const Compare& comp = Compare(), const Allocator& = Allocator() );	用[first, last)区 间中的元素构造 set
   set ( const set& x);	set的拷贝构造

   

3. set的迭代器

   

   注意：无论是否是const迭代器，都不支持修改set中存储的数据元素。

4. set的容量

   函数声明	功能介绍
   bool empty ( ) const	检测set是否为空，空返回true，否则返回true
   size_type size() const	返回set中有效元素的个数

5. set修改操作

   函数声明	功能介绍
   pair insert ( const value_type& x )	在set中插入元素x，实际插入的是构成的 键值对，如果插入成功，返回<该元素在set中的 位置，true>,如果插入失败，说明x在set中已经 存在，返回<x在迭代器中的位置，false>
   void erase ( iterator position )	删除set中position位置上的元素
   size_type erase ( const key_type& x )	删除set中值为x的元素，返回删除的元素的个数
   void erase ( iterator first, iterator last )	删除set中==[first, last)==区间中的元素
   void swap ( set<Key,Compare,Allocator>& st );	交换set中的元素
   void clear ( )	将set中的元素清空
   iterator find ( const key_type& x ) const	返回set中值为x的元素的位置
   size_type count ( const key_type& x ) const	返回set中值为x的元素的个数

   问：set中的成员函数find和algorithm中的find有什么区别？

   答：set中的成员函数find的时间复杂度是O(log₂N)到O(N)之间，但是algorithm中的成员函数的时间复杂度是O(N)。

6. set的lower_bound和upper_bound

   

   lower_bound返回一个大于等于val的节点的迭代器。

   

   upper_bound返回大于val节点的迭代器。

   注意：lower_bound和upper_bound的作用主要体现在可以确定区间。

3.2 map

3.2.1 map的介绍

map的文档简介

翻译：

1. map是关联容器，它按照特定的次序(按照key来比较)存储由键值key和值value组合而成的元素。
2. 在map中，键值key通常用于排序和惟一地标识元素，而值value中存储与此键值key关联的 内容。键值key和值value的类型可能不同，并且在map的内部，key与value通过成员类型 value_type绑定在一起，为其取别名称为pair: typedef pair value_type;
3. 在内部，map中的元素总是按照键值key进行比较排序的。
4. map中通过键值访问单个元素的速度通常比unordered_map容器慢，但map允许根据顺序对元素进行直接迭代(即对map中的元素进行迭代时，可以得到一个有序的序列)。
5. map支持下标访问符，即在[]中放入key，就可以找到与key对应的value。
6. map通常被实现为二叉搜索树(更准确的说：平衡二叉搜索树(红黑树))。

3.2.2 map的使用

1. map的模板参数说明

   

   key: 键值对中key的类型

   T： 键值对中value的类型

   Compare: 比较器的类型，map中的元素是按照key来比较的，缺省情况下按照小于来比较，一般情况下(内置类型元素)该参数不需要传递，如果无法比较时(自定义类型)，需要用户自己显式传递比较规则(一般情况下按照函数指针或者仿函数来传递)

   Alloc：通过空间配置器来申请底层空间，不需要用户传递，除非用户不想使用标准库提供的空间配置器

   注意：在使用map时，需要包含头文件#include<map>。

   

   了解pair：

   

2. map的构造

   函数声明	功能介绍
   map()	构造一个空的map

3. map的迭代器

   函数声明	功能介绍
   begin()和end()	begin:首元素的位置，end最后一个元素的下一个位置
   cbegin()和cend()	与begin和end意义相同，但cbegin和cend所指向的元素不 能修改
   rbegin()和rend()	反向迭代器，rbegin在end位置，rend在begin位置，其 ++和–操作与begin和end操作移动相反
   crbegin()和crend()	与rbegin和rend位置相同，操作相同，但crbegin和crend所 指向的元素不能修改

   map的插入、访问和遍历代码举例：

   void test_map()
   {
   	map<string, string> m;
   	//三种插入方式
   	//方式一：pair的匿名对象
   	m.insert(pair<string, string>("left", "左边"));
   	//方式二：调用pair的构造函数
   	pair<string, string> p("right","右边");
   	m.insert(p);
   	//方式三：使用make_pair函数让它自己推导类型
   	m.insert(make_pair("hello", "你好"));
   
   	map<string, string>::iterator it = m.begin();
   	while (it != m.end())
   	{
   		cout << it->first << ":" << it->second << endl;
   		//或者也可以像下面这样写：
   		//cout << (*it).first << ":" << (*it).second << endl; 
   		it++;
   	}
   	for (auto& e : m)
   	{
   		cout << e.first << ":" << e.second << endl;
   	}
   	cout << endl;
   }
   

   常用举例（统计水果次数）：

   void test_map2()
   {
   	map<string, int> m;
   	string str[] = {"苹果","香蕉","梨","火龙果","芒果","苹果"};
   	for (auto& e : str)
   	{
   		map<string, int>::iterator it = m.find(e);
   		if (it != m.end())
   		{
   			it->second++;
   		}
   		else
   		{
   			m.insert(make_pair(e, 1));
   		}
   	}
   	for (auto& e : m)
   	{
   		cout << e.first << ":" << e.second << endl;
   	}
   }
   

   关于上面代码举例的优化：

   insert函数返回值：

   

   翻译：如果插入成功返回的迭代器的second是true，如果插入失败（元素已经存在）返回的迭代器的second是false。

   void test_map2()
   {
   	map<string, int> m;
   	string arr[] = {"苹果","香蕉","梨","火龙果","芒果","苹果"};
   	for (auto& e : arr)
   	{
   		pair<map<string, int>::iterator, bool> p = m.insert(make_pair(e, 1));
   
   		if (p.second == false)//插入失败
   		{
   			p.first->second++;//p.first是一个迭代器，即pair的first
   		}
           //插入成功就不需要再管了，因为已经插入过一次了
   	}
   	for (auto& e : m)
   	{
   		cout << e.first << ":" << e.second << endl;
   	}
   }
   

   关于上面代码的再优化：

   

   mapped_type& operator[](const key_type& k)
   {
   	pair<iterator, bool> ret = this->insert(make_pair(k, mapped_type()))//mapped_type是构造的一个默认对象
       
   	//ret.first的类型:iterator
   
   	return (*(ret.first)).second//等价于(ret.first)->second
   }
   

   分析：

   情况一：插入失败，ret的second是false，此时ret是k所在的迭代器，return返回的是k节点的second即value值。（查找+修改）

   情况二：插入成功，ret的second是true（插入+修改）

   void test_map2()
   {
   	map<string, int> m;
   	string arr[] = { "苹果","香蕉","梨","火龙果","芒果","苹果" };
   	for (auto& e : arr)
   	{
   		m[e]++;
   	}
   	for (auto& e : m)
   	{
   		cout << e.first << ":" << e.second << endl;
   	}
   }
   

4. map的容量与元素访问

   函数声明	功能简介
   bool empty ( ) const	检测map中的元素是否为空，是返回 true，否则返回false
   size_type size() const	返回map中有效元素的个数
   mapped_type& operator[] (const key_type& k)	返回去key对应的value

   问：当key不在map中时，通过operator获取对应value时会发生什么问题？

   

   注意：在元素访问时，有一个与operator[]类似的操作at()(该函数不常用)函数，都是通过 key找到与key对应的value然后返回其引用，不同的是：当key不存在时，operator[]用默认 value与key构造键值对然后插入，返回该默认value，at()函数直接抛异常。

5. map中元素的修改

   函数声明	功能简介
   pair insert ( const value_type& x )	在map中插入键值对x，注意x是一个键值 对，返回值也是键值对：iterator代表新插入 元素的位置，bool代表释放插入成功
   void erase ( iterator position )	删除position位置上的元素
   size_type erase ( const key_type& x )	删除键值为x的元素
   void erase ( iterator first, iterator last )	删除[first, last)区间中的元素
   void swap ( map<Key,T,Compare,Allocator>& map )	交换两个map中的元素
   void clear ( )	将map中的元素清空
   iterator find ( const key_type& x )	在map中插入key为x的元素，找到返回该元 素的位置的迭代器，否则返回end
   const_iterator find ( const key_type& x ) const	在map中插入key为x的元素，找到返回该元 素的位置的const迭代器，否则返回cend
   size_type count ( const key_type& x ) const	返回key为x的键值在map中的个数，注意 map中key是唯一的，因此该函数的返回值 要么为0，要么为1，因此也可以用该函数来 检测一个key是否在map中

总结：

1. map中的的元素是键值对
2. map中的key是唯一的，并且不能修改
3. 默认按照小于的方式对key进行比较
4. map中的元素如果用迭代器去遍历，可以得到一个有序的序列
5. map的底层为平衡搜索树(红黑树)，查找效率比较高O(log₂ N)
6. 支持[]操作符，operator[]中实际进行插入查找。

3.3 multiset

3.3.1 multiset的介绍

multiset文档介绍

[翻译]：

1. multiset是按照特定顺序存储元素的容器，其中元素是可以重复的。
2. 在multiset中，元素的value也会识别它(因为multiset中本身存储的就是组成 的键值对，因此value本身就是key，key就是value，类型为T). multiset元素的值不能在容器 中进行修改(因为元素总是const的)，但可以从容器中插入或删除。
3. 在内部，multiset中的元素总是按照其内部比较规则(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
4. multiset容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multiset容器慢，但当使用迭 代器遍历时会得到一个有序序列。
5. multiset底层结构为二叉搜索树(红黑树)。

注意：

1. multiset中再底层中存储的是的键值对

2. mtltiset的插入接口中只需要插入即可

3. 与set的区别是，multiset中的元素可以重复，set是中value是唯一的

4. 使用迭代器对multiset中的元素进行遍历，可以得到有序的序列

5. multiset中的元素不能修改

6. 在multiset中找某个元素，时间复杂度为O(log₂ N)

7. multiset的作用：可以对元素进行排序

注意：multiset和set的用法上的主要区别在于find和count，find的会返回中序的第一个x节点的迭代器，count会返回存储这个值的节点的数目。

3.4 multimap

3.4.1 multimap的介绍

multimap文档介绍

翻译：

1. Multimaps是关联式容器，它按照特定的顺序，存储由key和value映射成的键值对，其中多个键值对之间的key是可以重复的。
2. 在multimap中，通常按照key排序和惟一地标识元素，而映射的value存储与key关联的内 容。key和value的类型可能不同，通过multimap内部的成员类型value_type组合在一起， value_type是组合key和value的键值对: typedef pair value_type;
3. 在内部，multimap中的元素总是通过其内部比较对象，按照指定的特定严格弱排序标准对 key进行排序的。
4. multimap通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multimap容器慢，但是使用迭代 器直接遍历multimap中的元素可以得到关于key有序的序列。
5. multimap在底层用二叉搜索树(红黑树)来实现。

注意：multimap和map的唯一不同就是：map中的key是唯一的，而multimap中key是可以重复的。

3.4.2 multimap的使用

multimap中的接口可以参考map，功能都是类似的。

注意：

1. multimap中的key是可以重复的。
2. multimap中的元素默认将key按照小于来比较
3. multimap中没有重载operator[]操作（因为key和value面临一对多的关系）。
4. 使用时与map包含的头文件相同
5. multiset返回的是一个迭代器，而没有pair了。

3.5 在OJ中的使用

2. 前K个高频单词

   

   方法一：不适用stable_sort，在仿函数处继续加条件，强制控制条件。

   代码：

   class Solution {
   public:
       typedef  map<string, int>::iterator CountIter;
       struct IterCompare
       {
           bool operator()(CountIter it1, CountIter it2)
           {
               //因为快排并不稳定，所以要多进行一层排序判定或者使用稳定的排序函数
               if(it1->second > it2->second || 
               (it1->second == it2->second && it1->first < it2->first ))
               {
                   return true;
               }
               else
               {
                   return false;
               }
           }
       };
       vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) {
           map<string, int> countMap;
           for(auto str : words)
           {
               countMap[str]++;
           }
           //排序
           vector<CountIter> v;
           CountIter it = countMap.begin();
           while(it != countMap.end())
           {
               v.push_back(it);
               it++;
           }
           sort(v.begin(), v.end(), IterCompare());
           //取前K个
           vector<string> ret;
           for(int i = 0; i < k; i++)
           {
               ret.push_back(v[i]->first);
           }
           return ret;
       }
   };
   

   此处要了解一下sort和stable_sort：

   sort排序是不稳定的，即对于相等的key值并不能保证之前的相对顺序，但是stable_sort是稳定的，对于相等的key值仍然能够保持之前的相对顺序。

   方法二：使用stable_sort（其实等同于方法一）

   代码：

   class Solution {
   public:
       typedef  map<string, int>::iterator CountIter;
       struct IterCompare
       {
           bool operator()(CountIter it1, CountIter it2)
           {
               return it1->second > it2->second;
           }
           
       };
       vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) {
           map<string, int> countMap;
           for(auto e : words)
           {
               countMap[e]++;
           }
           vector<CountIter> v;
           CountIter it = countMap.begin();
           while(it != countMap.end())
           {
               v.push_back(it);
               it++;
           }
           stable_sort(v.begin(), v.end(), IterCompare());
           vector<string> ret;
           for(int i = 0; i < k; i++)
           {
               ret.push_back(v[i]->first);
           }
           return ret;
       }
   };
   

   方法三：

   class Solution {
   public:
       vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) {
           //先按照ASCII码进行排序，即以string为键
           map<string, int> countMap;
           for(auto e : words)
           {
               countMap[e]++;
           }
           //再次按照int进行排序（降序），注意此处用multimap
           multimap<int, string, greater<int>> sortMap;
           for(auto kv : countMap)
           {
               sortMap.insert(make_pair(kv.second, kv.first));
           }
           //取出前面排序的结果放入到vector容器中
           vector<string> ret;
           multimap<int, string>::iterator it = sortMap.begin();
           for(int i = 0; i < k; i++)
           {
               ret.push_back(it->second);
               it++;
           }
           return ret;
       }
   };
   

   注意：此处不能用反向迭代器，比如2 : a、2：b，2：c，用反向迭代器取出的结果就是c、b、a，这和我们想要的规则不符。

3. 两个数组的交集I

   

   代码：

   方法一：

   class Solution {
   public:
       vector<int> intersection(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
           set<int> s1(nums1.begin(), nums1.end());
           set<int> s2;
           //找交集的同时去重
           for(auto e : nums2)
           {
               if(s1.count(e))
                   s2.insert(e);
           }
           vector<int> v(s2.begin(), s2.end());
           return v;
       }
   };
   

   方法二：

   class Solution {
   public:
       vector<int> intersection(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
           set<int> s1(nums1.begin(), nums1.end());
           set<int> s2(nums2.begin(), nums2.end());
           auto it1 = s1.begin();
           auto it2 = s2.begin();
           vector<int> v;
           while(it1 != s1.end() && it2 != s2.end())
           {
               if(*it1 < *it2)
               {
                   it1++;
               }
               else if(*it1 > *it2)
               {
                   it2++;
               }
               else 
               {
                   v.push_back(*it1);
                   it1++;
                   it2++;
               }
           }
           return v;
       }
   };
   

   问：给定两个集合，该如何找并集、交集、差集？

   答：

   并集：将两个集合的元素都放入到一个set中即可。

   交集、差集：

   

4. 底层结构

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个 共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中 插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此 map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

4.1 AVL 树

4.1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log₂n)，搜索时间复杂度O(log₂n)。

对比完全二叉树和AVL树：

完全二叉树：最后一层缺一些节点。

AVL树：最后两层缺一些节点。

4.1.2 AVL树节点的定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{

	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;


	//右子树 - 左子树的高度差
	int _bf;
	//AVL树并没有规定必须要设计平衡因子
	//只是一个实现的选择，方便控制平衡
	//构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}
private:
	Node* _root;
};

4.1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

代码：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	//1.搜索树的规则插入
	//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转

	//1.插入
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_bf = 0;
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (kv.first < parent->_kv.first)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}
	cur->_parent = parent;

	//更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_right)//插入的节点是父节点的右子树
		{
			parent->_bf++;
		}
		else
		{
			parent->_bf--;
		}

		if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
		{
			//parent->_bf = 0  -------->parent->_bf == -1/1
			//插入节点导致一边变高了
			//高度变了，继续更新
			cur = cur->_parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
		{
			//parent->_bf ==  1/-1 ------->parent->_bf == 2/-2
			//插入节点导致本来高的一边变的更高了
			//子树不平衡，需要旋转处理
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
			{
				RotateLR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
			{
				RotateRL(parent);
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 0)//parent->_bf == 1/-1  ------->parent->_bf == 0
		{
			//插入节点填上了矮的那边
			//高度不变，停止更新
			break;
		}
		else
		{
			//插入之前AVL树就存在|平衡因子|>2的节点
			assert(false);
		}
	}

	return true;
}

4.1.4 AVL树的旋转

旋转原则：

1. 保持搜索树的规则
2. 子树变平衡

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

左单旋：

代码：

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* ppNode = parent->_parent;//parent节点的父节点
	parent->_right = subRL;
	//防止subRL为空节点
	if (subRL)
	{
		subRL->_parent = parent;
	}
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;
	//两种情况
	if (parent == _root)//1.parent为根节点时
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else//2.parent是局部子树
	{
		if (parent == ppNode->_left)
		{
			ppNode->_left = subR;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subR;
		}
		subR->_parent = ppNode;
	}
}

2. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

右单旋：

代码：

void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	Node* ppNode = parent->_parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
	{
		subLR->_parent = parent;
	}
	if (ppNode)//parent只是原来的子树
	{
		if (parent == ppNode->_left)
		{
			ppNode->_left = subL;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subL;
		}
		subL->_parent = ppNode;
	}
	else//parent是原来的根节点
	{
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	subL->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;
}

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋（左右单旋）

总结：60最终作了根节点，60的左子树变成了30的右子树，60的右子树变成了90的左子树。

注意下面的这种情况（h = 0）：

代码：

void RotateLR(Node* parent)//左右双旋
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;
	//根据60的平衡因子来区分三种情况
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);

	//更新平衡因子
	if (bf == 0)
	{
		subL->_bf = parent->_bf = subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		subLR->_bf = subL->_bf = 0;
	}
	else
	{
		//subLR旋转前就出现了问题
		assert(false);
	}
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋（右左单旋）

总结：60最终成了根节点，60的左子树成为了30的右子树，60的右子树成为了90的左子树。

注意下面的这种情况（n=0）：

代码：

RotateRL(Node* parent)//右左双旋
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(subR);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subRL->_bf = parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subRL->_bf = subR->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

4.1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

   如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

   代码：

   void Inorder()
   {
   	_InOrder(_root);
   }
   void _InOrder(Node* root)
   {
   	if (root == NULL)
   	{
   		return;
   	}
   	_InOrder(root->_left);
   	cout << root->_kv.first << " ";
   	_InOrder(root->_right);
   }
   

2. 验证其为平衡树

   • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
   • 节点的平衡因子是否计算正确

   代码：

   bool IsBalanceTree()
   {
   	return _IsBalanceTree(_root);
   }
   bool _IsBalanceTree(Node* root)
   {
   	//空树也是AVL树
   	if (root == nullptr)
   		return true;
   	//计算出root节点的平衡因子，即左右子树的高度差
   	int leftHeight = _Height(root->_left);
   	int rightHeight = _Height(root->_right);
   	int diff = rightHeight - leftHeight;
   	//两种情况：1.
   	if (abs(diff) >= 2)
   	{
   		cout << root->_kv.first << "节点的平衡因子异常" << endl;
   		return false;
   	}
   	if (diff != root->_bf)
   	{
   		cout << root->_kv.first << "节点的平衡因子不符合实际" << endl;
   		return false;
   	}
   	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
   }
   

4.1.6 AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不 错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

4.1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log₂N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数 据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

4.1.8 AVL树的模拟实现

using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{

	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;


	//右子树 - 左子树的高度差
	int _bf;
	//AVL树并没有规定必须要设计平衡因子
	//只是一个实现的选择，方便控制平衡
	//构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};


template<class K, class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//1.搜索树的规则插入
		//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转

		//1.插入
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if(cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)//插入的节点是父节点的右子树
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
			{
				//parent->_bf = 0  -------->parent->_bf == -1/1
				//插入节点导致一边变高了
				//高度变了，继续更新
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
			{
				//parent->_bf ==  1/-1 ------->parent->_bf == 2/-2
				//插入节点导致本来高的一边变的更高了
				//子树不平衡，需要旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else if(parent->_bf == 0)//parent->_bf == 1/-1  ------->parent->_bf == 0
			{
				//插入节点填上了矮的那边
				//高度不变，停止更新
				break;
			}
			else
			{
				//插入之前AVL树就存在|平衡因子|>2的节点
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

	vector<vector<int>> levelOrder()
	{
		vector<vector<int>> vv;
		if (_root == nullptr)
			return vv;
		queue<Node*> q;
		q.push(_root);
		int levelSize = 1;//levelSize控制每层节点的个数
		while (!q.empty())
		{
			vector<int> levelV;//存储每一层的节点存储的值
			while (levelSize--)//当levelSize为0时就说明当前这一层已经没有节点了
			{
				Node* front = q.front();
				levelV.push_back(front->_kv.first);
				if (front->_left != nullptr)
				{
					q.push(front->_left);
				}
				if (front->_right != nullptr)
				{
					q.push(front->_right);
				}
				q.pop();
			}
			levelSize = q.size();
			vv.push_back(levelV);
			for (auto e : levelV)
			{
				cout << e << " ";
			}
			cout << endl;
		}
		return vv;
	}
	bool IsBalanceTree()
	{
		return _IsBalanceTree(_root);
	}
	void Inorder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}
private:
	void RotateL(Node* parent)//左旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* ppNode = parent->_parent;//parent节点的父节点
		parent->_right = subRL;
		//防止subRL为空节点
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		//两种情况
		if (parent == _root)//1.parent为根节点时
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else//2.parent是局部子树
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		//更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}
	void RotateR(Node* parent)//右旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		if (ppNode)//parent只是原来的子树
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		else//parent是原来的根节点
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	void RotateLR(Node* parent)//左右双旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		//根据60的平衡因子来区分三种情况
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		
		//更新平衡因子
		if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = parent->_bf = subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			//subLR旋转前就出现了问题
			assert(false);
		}
	}
	void RotateRL(Node* parent)//右左双旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = _Height(root->_left);//左子树高度
		int rh = _Height(root->_right);
		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}

	bool _IsBalanceTree(Node* root)
	{
		//空树也是AVL树
		if (root == nullptr)
			return true;
		//计算出root节点的平衡因子，即左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;
		//两种情况：1.
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点的平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
		if (diff != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点的平衡因子不符合实际" << endl;
			return false;
		}
		return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
	Node* _root;
};

4.2 红黑树

4.2.1 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

4.2.2 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点 个数的两倍？

最短路径：全黑（x）

最长路径：一黑一红间隔（2x）

例如：

4.2.3 红黑树节点的定义

//红黑树的颜色
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};
//红黑树节点的定义
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}
	//问：为什么一定要插入红色节点？
	//答：红黑树有三个条件：1、根节点为红色 2、红色节点的孩子是黑色 3、每条路径都包含相同数量的黑色节点（很难维护）
	//新增节点为红色，可能破坏条件2，不会破坏条件3
	//新增节点为黑色，可能破坏条件2，一定破坏条件3
	//综上来看，插入节点为红色更好
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;
};
//红黑树的定义
template<class K, class V>
struct RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
private:
	Node* _root;
};

4.2.4 红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了 与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 _parent 域指向红黑树的根节点，_left 域指向红黑树中最小的节点，_right域指向红黑树中最大的节点，如下：

4.2.5 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

   因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

   约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

   • 情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

     

     注意：在上面的图中，是不关心方向的（因为只变色不旋转），即p、u是g的左和右是无所谓的，cur是p的左或者右都是一样的，如下图所示：

     

     

     问：cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？

     答：不能，因为这样做会改变性质四。

     解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

   • 情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

     

     说明：

     1. 如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色（为了满足每条路径上的黑色节点数相同的规则）。
     2. 如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中作为grandfather节点的颜色由黑色变为红色。

     注意：p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转，相反：

     p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转（如下图所示：）。

     

   • 情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

     

     当p在g的右边时：

     

代码：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	//1.搜索树的规则插入
	//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转

	//1.插入
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	cur->_col = RED;
	if (kv.first < parent->_kv.first)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
	//存在连续的红色节点（当父亲不存在的时候说明已经到达了根节点）
	//为什么用parent来进行讨论？因为一次循环之后，cur会从g（祖父）处继续进行新的循环
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		//问：为什么不用判断祖父是否为空？
		//答：因为出现两个连续的红节点了，而红节点必然不可能是根节点，所以上面的条件满足的情况下，祖父节点必然存在
		Node* grandfather = parent->_parent;
		if (parent == grandfather->_left)
		{
			Node* uncle = grandfather->_right;
			if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
				//问：为什么要将祖父节点变红？
				//答：因为不确定此时的祖父节点是否是根节点，变红是为了满足规则（每条路径黑色节点数相同）

				//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则（两个连续的红色节点）
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑
			{

				if (cur == parent->_left)//cur是父亲的左边：单旋
				{
					//    g
					//  p
					//c
					RotateR(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else//cur是父亲的右边：双旋
				{
					//   g
					//p
					//   c
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				break;
			}

		}
		else//父亲是祖父的右边
		{
			Node* uncle = grandfather->_left;

			if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑色
			{
				if (cur == parent->_right)//cur是父亲的右边
				{
					//g
					//  p
					//    c
					RotateL(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else//cur是父亲的左边
				{
					//g
					//   p
					//c
					RotateR(parent);
					RotateL(grandfather);
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}

				break;
			}

		}
		_root->_col = BLACK;
	}
	return true;
}

4.2.6 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsRBTree()
{
	//验证是否满足根节点为黑色的规则
	Node* pRoot = _root;
	//空树也是红黑树
	if (nullptr == pRoot)
	{
		return true;
	}
	//检测根节点是否满足的情况
	if (pRoot->_col == RED)
	{
		cout << "违反了红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
		return false;
	}
	//问：如何检查不存在连续的红色节点的这个性质？
	//答：两个方案：
	//方案一：遇到红色节点就检查孩子(不好实现)
	//方案二：遇到红色节点就检查父亲

	//获取任意一条路径中黑色节点的个数，用作基准值进行比对
	size_t blackCount = 0;
	Node* cur = pRoot;
	while (cur)
	{
		if (BLACK == cur->_col)
			blackCount++;

		cur = cur->_left;
	}
	size_t k = 0;
	return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t blackCount)
{
	if (nullptr == root)
	{
		if (k != blackCount)
		{
			cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	//统计当前路径中黑色节点的数目
	if (BLACK == root->_col)
	{
		k++;
	}
	//检测当前节点与其双亲是否为红色节点
	Node* parent = root->_parent;
	if (parent && parent->_col == RED && root->_col == RED)
	{
		cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
		return false;
	}
	return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) &&
		_IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
}

4.2.7 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log_2 N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数， 所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

4.2.8 红黑树的模拟实现

#include<utility>
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}

	//问：为什么一定要插入红色节点？
	//答：红黑树有三个条件：1、根节点为红色 2、红色节点的孩子是黑色 3、每条路径都包含相同数量的黑色节点（很难维护）
	//新增节点为红色，可能破坏条件2，不会破坏条件3
	//新增节点为黑色，可能破坏条件2，一定破坏条件3
	//综上来看，插入节点为红色更好
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;
};

template<class K, class V>
struct RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
    //构造函数
	RBTree()
		:_root(nullptr)
	{}
	void RotateL(Node* parent)//左旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* ppNode = parent->_parent;//parent节点的父节点
		parent->_right = subRL;
		//防止subRL为空节点
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		//两种情况
		if (parent == _root)//1.parent为根节点时
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else//2.parent是局部子树
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
	}
	void RotateR(Node* parent)//右旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		if (ppNode)//parent只是原来的子树
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		else//parent是原来的根节点
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
	}
    //红黑树节点的插入
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//1.搜索树的规则插入
		//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转

		//1.插入
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		//存在连续的红色节点（当父亲不存在的时候说明已经到达了根节点）
		//为什么用parent来进行讨论？因为一次循环之后，cur会从g（祖父）处继续进行新的循环
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			//问：为什么不用判断祖父是否为空？
			//答：因为出现两个连续的红节点了，而红节点必然不可能是根节点，所以上面的条件满足的情况下，祖父节点必然存在
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if(parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					//问：为什么要将祖父节点变红？
					//答：因为不确定此时的祖父节点是否是根节点，变红是为了满足规则（每条路径黑色节点数相同）

					//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则（两个连续的红色节点）
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑
				{
					
					if (cur == parent->_left)//cur是父亲的左边：单旋
					{
						//    g
						//  p
						//c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else//cur是父亲的右边：双旋
					{
						//   g
						//p
						//   c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
				
			}
			else//父亲是祖父的右边
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑色
				{
					if (cur == parent->_right)//cur是父亲的右边
					{
						//g
						//  p
						//    c
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else//cur是父亲的左边
					{
						//g
						//   p
						//c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
				
			}
			_root->_col = BLACK;
		}
		return true;
	}
    //中序遍历
	void Inorder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
    //层序遍历
	vector<vector<int>> levelOrder()
	{
		vector<vector<int>> vv;
		if (_root == nullptr)
			return vv;
		queue<Node*> q;
		q.push(_root);
		int levelSize = 1;//levelSize控制每层节点的个数
		while (!q.empty())
		{
			vector<int> levelV;//存储每一层的节点存储的值
			while (levelSize--)//当levelSize为0时就说明当前这一层已经没有节点了
			{
				Node* front = q.front();
				levelV.push_back(front->_kv.first);
				if (front->_left != nullptr)
				{
					q.push(front->_left);
				}
				if (front->_right != nullptr)
				{
					q.push(front->_right);
				}
				q.pop();
			}
			levelSize = q.size();
			vv.push_back(levelV);
			for (auto e : levelV)
			{
				cout << e << " ";
			}
			cout << endl;
		}
		return vv;
	}
    //求二叉树节点的高度
	int Height()
	{
		return _maxHeight(_root);
	}
	//判断是否为二叉树
	bool IsRBTree()
	{
		//验证是否满足根节点为黑色的规则
		Node* pRoot = _root;
		//空树也是红黑树
		if (nullptr == pRoot)
		{
			return true;
		}
		//检测根节点是否满足的情况
		if (pRoot->_col == RED)
		{
			cout << "违反了红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
			return false;
		}
		//问：如何检查不存在连续的红色节点的这个性质？
		//答：两个方案：
		//方案一：遇到红色节点就检查孩子(不好实现)
		//方案二：遇到红色节点就检查父亲

		//获取任意一条路径中黑色节点的个数，用作基准值进行比对
		size_t blackCount = 0;
		Node* cur = pRoot;
		while (cur)
		{
			if (BLACK == cur->_col)
				blackCount++;

			cur = cur->_left;
		}
		size_t k = 0;
		return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
	}
    
	bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t blackCount)
	{
		if (nullptr == root)
		{
			if (k != blackCount)
			{
				cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		//统计当前路径中黑色节点的数目
		if (BLACK == root->_col)
		{
			k++;
		}
		//检测当前节点与其双亲是否为红色节点
		Node* parent = root->_parent;
		if (parent && parent->_col == RED && root->_col == RED)
		{
			cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
			return false;
		}
		return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) &&
			_IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
	}
private:
	Node* _root;
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	int _maxHeight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = _maxHeight(root->_left);//左子树高度
		int rh = _maxHeight(root->_right);
		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
	int _minHeight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = _minHeight(root->_left);//左子树高度
		int rh = _minHeight(root->_right);
		return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
};

4.2.9 红黑树的应用

1. C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
2. Java 库
3. linux内核
4. 其他一些库

http://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-Red-Black-Tree.html

4.3 红黑树模拟实现STL中的map与set

代码：

RBTree.h头文件

#pragma once
#include<utility>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class T>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const T& data)
		:_data(data)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}

	//问：为什么一定要插入红色节点？
	//答：红黑树有三个条件：1、根节点为红色 2、红色节点的孩子是黑色 3、每条路径都包含相同数量的黑色节点（很难维护）
	//新增节点为红色，可能破坏条件2，不会破坏条件3
	//新增节点为黑色，可能破坏条件2，一定破坏条件3
	//综上来看，插入节点为红色更好
	RBTreeNode<T>* _right;
	RBTreeNode<T>* _left;
	RBTreeNode<T>* _parent;
	T _data;//数据
	Colour _col;
};

template<class T, class Ref, class Ptr>
struct __RBTreeIterator
{
	typedef RBTreeNode<T> Node;
	typedef __RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;
	Node* _node;

	__RBTreeIterator(Node* node)
		:_node(node)
	{}

	Ref operator*()
	{
		return _node->_data;
	}

	Ptr operator->()
	{
		return &_node->_data;
	}

	Self& operator++()
	{
		//当前位置的右子树是否是空
		//1.非空：右子树的最左节点
		//2.空：找孩子是祖先左的那个祖先节点
		if (_node->_right == nullptr)
		{
			//找祖先里面，孩子是父亲左的那个
			Node* cur = _node;
			Node* parant = _node->_parent;
			while (parant && cur == parant->_right)
			{
				parant = parant->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			_node = parant;
		}
		else
		{
			Node* subLeft = _node->_right;
			while (subLeft && subLeft->_left)
			{
				subLeft = subLeft->_left;
			}
			_node = subLeft;
		}
		return *this;
	}
	Self operator++(int)
	{
		Self tmp(*this);
		++(*this);
		return tmp;
	}

	Self& operator--()
	{
		//当前位置的右子树是否是空
		//1.非空：左子树的最右节点
		//2.空：找孩子是祖先右子树的那个祖先节点
		if (_node->_left == nullptr)
		{
			//找祖先里面，孩子是父亲右的那个节点
			Node* cur = _node;
			Node* parent = _node->_parent;
			while (parent && cur == parent->_left)
			{
				parent = parent->_left;
			}
			_node = parent;
		}
		else
		{
			Node* subRight = _node->_left;
			while (subRight && subRight->_right)
			{
				subRight = subRight->_right;
			}
			_node = subRight;
		}
		return *this;
	}

	Self operator--(int)
	{
		Self tmp(*this);
		--(*this);
		return tmp;

	}

	bool operator!=(const Self& s)
	{
		return _node != s._node;
	}

	bool operator==(const Self& s)
	{
		return _node == s._node;
	}
};


//set ----   RBTree<K, K>
//map ----   RBTree<K, pair<K,V>>
template<class K, class T, class KeyOfT>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<T> Node;

public:
	//构造、拷贝构造、赋值和析构跟搜索树的实现方式是一样的
	typedef __RBTreeIterator<T, T&, T*> iterator;
	typedef __RBTreeIterator<T, const T&, const T*> const_iterator;
	RBTree()
		:_root(nullptr)
	{}

	iterator Begin()
	{
		Node* subLeft = _root;
		while (subLeft && subLeft->_left)
		{
			subLeft = subLeft->_left;
		}
		return iterator(subLeft);
	}
	
	const_iterator Begin()const
	{
		Node* subLeft = _root;
		while (subLeft && subLeft->_left)
		{
			subLeft = subLeft->_left;
		}
		return const_iterator(subLeft);
	}
	
	iterator End()
	{
		return iterator(nullptr);
	}
	
	const_iterator End()const
	{
		return const_iterator(nullptr);
	}
	iterator Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		KeyOfT kot;
		while (cur)
		{
			if (key < kot(cur->_data))
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if(key > kot(cur->_data))
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return iterator(cur);

			}
		}
		return iterator(nullptr);
	}

	pair<iterator, bool> Insert(const T& data)
	{
		//1.搜索树的规则插入
		//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转

		//1.插入
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(data);
			_root->_col = BLACK;
			return make_pair(iterator(_root), true);
		}
		KeyOfT kot;
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (kot(cur->_data) > kot(data))
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kot(cur->_data) < kot(data))
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return make_pair(iterator(cur), false);
			}
		}
		cur = new Node(data);
		Node* newNode = cur;
		cur->_col = RED;
		if (kot(data) < kot(parent->_data))
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		//存在连续的红色节点（当父亲不存在的时候说明已经到达了根节点）
		//为什么用parent来进行讨论？因为一次循环之后，cur会从g（祖父）处继续进行新的循环
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			//问：为什么不用判断祖父是否为空？
			//答：因为出现两个连续的红节点了，而红节点必然不可能是根节点，所以上面的条件满足的情况下，祖父节点必然存在
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					//问：为什么要将祖父节点变红？
					//答：因为不确定此时的祖父节点是否是根节点，变红是为了满足规则（每条路径黑色节点数相同）

					//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则（两个连续的红色节点）
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑
				{

					if (cur == parent->_left)//cur是父亲的左边：单旋
					{
						//    g
						//  p
						//c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else//cur是父亲的右边：双旋
					{
						//   g
						//p
						//   c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}

			}
			else//父亲是祖父的右边
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑色
				{
					if (cur == parent->_right)//cur是父亲的右边
					{
						//g
						//  p
						//    c
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else//cur是父亲的左边
					{
						//g
						//   p
						//c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}

			}
			_root->_col = BLACK;
		}
		return make_pair(iterator(newNode), true);
	}
	void RotateL(Node* parent)//左旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* ppNode = parent->_parent;//parent节点的父节点
		parent->_right = subRL;
		//防止subRL为空节点
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		//两种情况
		if (parent == _root)//1.parent为根节点时
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else//2.parent是局部子树
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
	}
	void RotateR(Node* parent)//右旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		if (ppNode)//parent只是原来的子树
		{
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		else//parent是原来的根节点
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
	}
private:
	Node* _root;
};

Map.h

#pragma once
#include"RBTree.h"

namespace Test
{
	template<class K, class V>
	class map
	{
		struct MapKeyOfT
		{
			const K& operator()(const pair<K, V>& kv)
			{
				return kv.first;
			}
		};
	public:
		typedef typename RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT>::iterator iterator;
		typedef typename RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
		pair<iterator, bool> insert(const pair<K, V>& kv)
		{
			return _t.Insert(kv);
		}
		iterator begin()
		{
			return _t.Begin();
		}
		iterator end()
		{
			return _t.End();
		}
		iterator find(const K& key)
		{
			return _t.Find(key);
		}
		V& operator[](const K& key)
		{
			pair<iterator, bool> ret = _t.Insert(make_pair(key, V()));
			return ret.first->second;
		}

	private:
		RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT> _t;


		//问：能否不用第一个模板参数K？
		//答：不能。因为里面实现的其它函数接口里面会用到key，比如find时要使用到key。
	};
}

Set.h

#pragma once
#include"RBTree.h"
namespace Test
{
	template<class K>
	class set
	{
	public:

		struct SetKeyOfT
		{
			const K& operator()(const K& k)
			{
				return k; 
			}
		};
		typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator iterator;
		typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator const_iterator;

		//无论对象是否是const类型的对象，调用迭代器之后都将具有const属性
		//调用的都是const的迭代器（const_iterator Begin()const），都无法修改set元素
		iterator begin()const
		{
			return _t.Begin();
		}
		iterator end()const
		{
			return _t.End();
		}
		pair<iterator, bool> insert(const K& key)
		{
			auto ret = _t.Insert(key);
			return pair<iterator, bool>(iterator(ret.first._node), ret.second);
		}

		iterator find(const K& key)
		{
			return _t.Find(key);
		}
	private:
		RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t;
	};
}