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顺序结构以及平衡树中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系，因此在查找一个元素时，必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为O(N)，平衡树中为树的高度，即 O(log2 N)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。
是否存在理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。
（一）哈希概念
如果构造一种存储结构，通过某种函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立 一一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。
当向该结构中：
插入元素时：
根据待插入元素的关键码，以此函数计算出该元素的存储位置并按此位置进行存放
搜索元素时：
对元素的关键码进行同样的计算，把求得的函数值当做元素的存储位置，在结构中按此位置 取元素比较，若关键码相等，则搜索成功。
这种存储方式称为哈希：
该方式即为哈希(散列)方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)(hashFunc)函数，构造出来的结构称 为哈希表(Hash Table)(或者称散列表)
哈希冲突
下面为一个哈希表，来模拟哈希冲突的情况，哈希函数设置为：hash(key) = key % capacity; capacity为存储元素底层空间总的大小。
当我们向表中插入44时，根据哈希函数应该插入下标为4的位置，但是4的位置已经被占用，所以这种情况下就引发了哈希冲突
哈希冲突：
不同关键字通过相同哈希哈数计算出相同的哈希地址，该种现象称为哈希冲突 或哈希碰撞。
把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”
注意：哈希函数设计的越精妙，产生哈希冲突的可能性就越低，但是无法避免哈希冲突
哈希函数
引起哈希冲突的一个原因可能是：哈希函数设计不够合理。
哈希函数设计原则：
-哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，而如果散列表允许有m个地址时，其值域必须在0到m-1之间。
-哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中。
-哈希函数应该比较简单。
常见哈希函数：
直接定址法：
取关键字的某个线性函数为散列地址：Hash（Key）= A*Key + B
优点：简单、均匀
缺点：需要事先知道关键字的分布情况
使用场景：适合查找比较小且连续的情况
除留余数法：
设散列表中允许的地址数为m，取一个不大于m，但最接近或者等于m的质数p作为除数， 按照哈希函数：Hash(key) = key% p(p将关键码转换成哈希地址）
优点：节省空间
缺点：会引起哈希冲突
（二）哈希冲突解决
解决哈希冲突两种常见的方法是：闭散列和开散列
i.闭散列（开放定址法）
闭散列：也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明在哈希表中必然还有 空位置，那么可以把key存放到冲突位置中的“下一个” 空位置中去。
线性探测
在上面模拟的哈希冲突中，44的位置被4给占用而引发的冲突可以用下面的方法解决
线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。
1.插入：
通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置
如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突， 使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素
2.删除：
采用闭散列处理哈希冲突时，不能随便物理删除哈希表中已有的元素，若直接删除元素 会影响其他元素的搜索。
比如删除元素4，如果直接删除掉，44查找起来可能会受影 响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。
线性探测缺点：
一旦发生哈希冲突，所有的冲突连在一起，容易产生数据“堆积”，即：不同 关键码占据了可利用的空位置，使得寻找某关键码的位置需要许多次比较，导致搜索效率降 低。
二次探测
为了解决线性探测的缺点，所以有了二次探测，即对哈希表进行扩容，进而减少哈希冲突
研究表明：
当表的长度为质数且表装载因子a不超过0.5时，新的表项一定能够插入，而且任 何一个位置都不会被探查两次。因此只要表中有一半的空位置，就不会存在表满的问题。在 搜索时可以不考虑表装满的情况，但在插入时必须确保表的装载因子a不超过0.5，如果超出 必须考虑增容。
闭散列最大的缺陷就是空间利用率比较低，这也是哈希的缺陷。
闭散列哈希表模拟实现:
定义
template<class K> struct HashFunc //哈希函数 { size_t operator()(const K& key) { return (size_t)key; } }; // 哈希表中支持字符串的操作 template<> struct HashFunc<string> { size_t operator()(const string& key) { size_t hash = 0; for (auto e : key) { hash *= 131; hash += e; } return hash; } }; // 以下采用开放定址法，即线性探测解决冲突 namespace open_address { enum State { EXIST, EMPTY, DELETE }; template<class K, class V> struct HashData { pair<K, V> _kv; State _state = EMPTY; }; template<class K, class V, class Hash = HashFunc<K>> class HashTable { public: HashTable() { _tables.resize(10); //resize } bool Insert(const pair<K, V>& kv); HashData<const K, V>* Find(const K& key); bool Erase(const K& key); private: vector<HashData<K, V>> _tables; size_t _n = 0; // 表中存储数据个数 Hash hf; }; }哈希函数(HashFunc)：
这里哈希函数用于将key转换为对应的无符号整数
HashData:
每个表里数据都有一个状态值。哈希表里的数据默认状态为“EMPTY”；如果插入一个数据，那么该位置的状态就需要更新为“EXIST”，在删除了一个数据之后，需要将该位置的状态设置为“DELETE”。
插入
bool Insert(const pair<K, V>& kv) { //如果插入的值存在则插入失败 if (Find(kv.first)) { return false; } //扩容 if (_n * 10 / _tables.size() >= 7) { HashTable<K, V, Hash> newhs; newhs._tables.resize(_tables.size() * 2); for (int i = 0; i < _tables.size(); i++) { if (_tables[i]._state == EXIST) { newhs.Insert(_tables[i]._kv); } } _tables.swap(newhs._tables); } size_t key = hf(kv.first) % _tables.size(); while (_tables[key]._state == EXIST) { key++; key = key % _tables.size(); } _tables[key]._kv = kv; _tables[key]._state = EXIST; ++_n; return true; }载荷因子 = 表中数据个数 / 表的大小size
当载荷因子>= 7时进行扩容操作（创造一个新表，遍历旧表将旧表的数据插入到新表中，然后交换新旧表的vector）
插入操作即找到状态不是EXIST的位置，进行插入。
查找
HashData<const K, V>* Find(const K& key) { size_t keyi = hf(key) % _tables.size(); while (_tables[keyi]._state != EMPTY) { if (_tables[keyi]._state == EXIST && _tables[keyi]._kv.first == key) { return (HashData<const K, V>*) & _tables[keyi]; } keyi++; keyi %= _tables.size(); } return nullptr; }找到状态不是EMPTY的位置，然后判断该位置状态是否是EXIST并且该位置的key是否符合。
删除
bool Erase(const K& key) { HashData<const K, V>* ret = Find(key); if (ret) { ret->_state = DELETE; --_n; return true; } return false; }
ii.开散列（链地址法/哈希桶）
开散列法又叫链地址法(开链法)，首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地 址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链 接起来，各链表的头结点存储在哈希表中。
即下面这种方式：
从上图可以看出，开散列中每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素。
开散列哈希表模拟实现
定义
namespace hash_bucket { // KeyOfT: 从T中提取key template<class K> struct MyKeyofT { const K& operator()(const K& key) { return key; } }; template<class K> struct HashFunc { size_t operator()(const K& key) { return (size_t)key; } }; // 哈希表中支持字符串的操作 template<> struct HashFunc<string> { size_t operator()(const string& key) { size_t hash = 0; for (auto e : key) { hash *= 131; hash += e; } return hash; } }; template<class T> struct HashNode { T _data; HashNode<T>* _next; HashNode(const T& data) :_data(data) , _next(nullptr) {} }; // K 为 T 中key的类型 // T 可能是键值对，也可能是K // KeyOfT: 从T中提取key // Hash将key转化为整形，因为哈希函数使用除留余数法 template<class K, class T, class KeyOfT = MyKeyofT<K>, class Hash = HashFunc<K>> class HashTable { typedef HashNode<T> Node; public: HashTable() { _tables.resize(10, nullptr); } // 哈希桶的销毁 ~HashTable() { for (int i = 0; i < _tables.size(); i++) { Node* cur = _tables[i]; while (cur) { Node* next = cur->_next; delete cur; cur = next; } _tables[i] = nullptr; } } // 插入值为data的元素，如果data存在则不插入 bool Insert(const T& data); // 在哈希桶中查找值为key的元素，存在返回true否则返回false bool Find(const K& key); // 哈希桶中删除key的元素，删除成功返回true，否则返回false bool Erase(const K& key); private: vector<Node*> _tables; // 指针数组 size_t _n = 0; // 表中存储数据个数 }; }KeyofT函数：
由于数据是类型T（可能是键值对，也可能是K），所以提供一个KeyofT（从T中提取key），这个函数一般是由unordered容器提供，这里我为了方便理解简单的写了一个。
Hashfuc函数：
将key转换为整形，因为哈希函数使用除留余数法
HashNode：
类似链表结构
插入
bool Insert(const T& data) { KeyOfT KT; //将T转换为 key Hash HF; //将key转换为合适的整数 // 插入值为data的元素，如果data存在则不插入 if (Find(KT(data))) { return false; } //扩容 if (_n == _tables.size()) { vector<Node*> newtables; newtables.resize(_tables.size() * 2, nullptr); for (int i = 0; i < _tables.size(); i++) { Node* cur = _tables[i]; while (cur) { Node* nextNode = cur->_next; size_t hashi = HF(KT(cur->_data)) % newtables.size(); cur->_next = newtables[hashi]; newtables[hashi] = cur; cur = nextNode; } _tables[i] = nullptr; } _tables.swap(newtables); } size_t hashi = HF(KT(data)) % _tables.size(); //链表头插入 Node* newNode = new Node(data); Node* cur = _tables[hashi]; _tables[hashi] = newNode; newNode->_next = cur; ++_n; return true; }扩容：
当荷载因子==1时，进行扩容（创造一个新的vector<Node*>，遍历旧表里每个数据，进行头插操作（类似链表））
查找
// 在哈希桶中查找值为key的元素，存在返回true否则返回false bool Find(const K& key) { KeyOfT KT; //将T转换为 key Hash HF; //将key转换为合适的整数 size_t hashi = key % _tables.size(); Node* cur = _tables[hashi]; while (cur) { if (key == HF(KT(cur->_data))) { return true; } else { cur = cur->_next; } } return false; }
删除
// 哈希桶中删除key的元素，删除成功返回true，否则返回false bool Erase(const K& key) { KeyOfT KT; //将T转换为 key Hash HF; //将key转换为合适的整数 //找不到该元素返回false; if (Find(key) == false) { return false; } size_t hashi = HF(key) % _tables.size(); Node* prev = nullptr; Node* cur = _tables[hashi]; while (cur) { if (key == KT(cur->_data)) { //头删除的情况 if (prev == nullptr) { _tables[hashi] = cur->_next; } else { prev->_next = cur->_next; } delete cur; --_n; return true; } prev = cur; cur = cur->_next; } return false; }
总结
开散列（链地址法）与闭散列（开放定址法）对比分析
1. 核心区别
存储结构
- 闭散列：所有元素直接存储在哈希表数组中，冲突时通过探测序列（如线性探测、二次探测）寻找空槽。例如：
索引=(h(key)+f(i))mod 表大小索引=(h(key)+f(i))mod表大小
其中 f(i)是探测函数。- 开散列：每个哈希桶（数组槽位）挂载链表或红黑树，冲突元素直接插入对应链表中。
空间占用
- 闭散列要求负载因子较低（如二次探测需 ≤0.7≤0.7），否则探测效率骤降。
- 开散列允许更高负载因子（例如 ≥1≥1），空间利用率更优，但需额外存储链表指针。
2. 性能比较
维度 闭散列 开散列 查找效率 缓存友好，但高负载时探测长度指数增长 链表遍历可能缓存不友好，但可通过红黑树优化 插入/删除 删除需标记“墓碑”，增加复杂度 直接操作链表，删除简单 冲突解决 依赖探测函数设计，易受聚集现象影响 链表自然扩展，冲突处理更灵活 3. 使用场景
闭散列适用场景
- 内存有限且数据量可精准预估
- 需要高缓存命中率的场景（如嵌入式系统）
- 适合静态或低频更新的数据集。
开散列适用场景
- 动态数据（频繁插入/删除）
- 高负载因子环境（如数据库索引）
- 需要简单实现的通用哈希表3。
4. 典型优化
- 闭散列：双重哈希减少聚集，公式：
hi(key)=(h1(key)+i⋅h2(key))mod 表大小hi(key)=(h1(key)+i⋅h2(key))mod表大小
- 开散列：链表转红黑树（如Java HashMap），将最差查找时间从 O(n) 优化至 O(logn)。