### **1. 零输入响应 (Zero-Input Response, ZIR)**
**定义**：系统没有外部输入（输入=0），仅由初始状态（如电容初始电压）引起的响应。
**核心**：只看初始条件的影响，输入为零。
**求法**：
1. 列写系统的齐次微分方程（输入为0时的方程）。
2. 解齐次方程，得到通解形式（含待定系数）。
3. 代入初始条件，确定待定系数。
**例子**：
假设系统方程为：
\[ \frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t) \]
初始条件：\( y(0^-) = 3 \)，输入 \( x(t) = 0 \)。
**解**：
齐次方程：\( \frac{dy}{dt} + 2y = 0 \)
通解：\( y(t) = Ae^{-2t} \)
代入 \( y(0^-) = 3 \) → \( A=3 \)
最终：\( y_{\text{ZIR}}(t) = 3e^{-2t} \)（t ≥ 0）
---
系统的零输入响应 \( y(t) \) 可通过以下步骤求解：
---
### **1. 构建齐次方程**
零输入响应对应输入 \( f(t) = 0 \)，原方程简化为齐次方程：
\[
\frac{d^2 y}{dt^2} + 2 \frac{dy}{dt} + 5y(t) = 0
\]
---
### **2. 求解特征方程**
设特征方程为：
\[
r^2 + 2r + 5 = 0
\]
解得共轭复根：
\[
r = -1 \pm 2i
\]
---
### **3. 齐次方程通解**
通解形式为：
\[
y(t) = e^{-t} \left[ C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \right]
\]
---
### **4. 代入初始条件**
- **初始条件 1**：\( y(0) = 1 \)
\[
y(0) = e^{0} \left[ C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) \right] = C_1 = 1
\]
得 \( C_1 = 1 \)。
- **初始条件 2**：\( y'(0) = 3 \)
计算导数：
\[
y'(t) = e^{-t} \left[ (-C_1 + 2C_2) \cos(2t) + (-C_2 - 2C_1) \sin(2t) \right]
\]
代入 \( t = 0 \)：
\[
y'(0) = (-C_1 + 2C_2) = 3
\]
代入 \( C_1 = 1 \)，解得 \( C_2 = 2 \)。
---
### **5. 最终解**
零输入响应为：
\[
y(t) = e^{-t} \left[ \cos(2t) + 2 \sin(2t) \right]
\]
---
### **答案**
\[
\boxed{y(t) = e^{-t} \left( \cos(2t) + 2 \sin(2t) \right)}
\]
### **2. 零状态响应 (Zero-State Response, ZSR)**
**定义**：系统初始状态为0（如电容无初始电压），仅由外部输入引起的响应。
**核心**：只看输入的影响，初始条件为0。
**求法**：
1. 列写系统的非齐次微分方程（输入不为0）。
2. 求特解和齐次解，叠加得到全解。
3. 代入初始条件 \( y(0^-) = 0 \)，确定待定系数。
**例子**：
系统方程同上，输入 \( x(t) = 4u(t) \)（单位阶跃），初始条件 \( y(0^-) = 0 \)。
**解**：
非齐次方程：\( \frac{dy}{dt} + 2y = 4 \)
齐次解：\( y_h(t) = Ae^{-2t} \)
特解：假设 \( y_p(t) = B \)，代入得 \( 0 + 2B = 4 \) → \( B=2 \)
全解：\( y(t) = Ae^{-2t} + 2 \)
代入 \( y(0^-)=0 \) → \( A = -2 \)
最终：\( y_{\text{ZSR}}(t) = -2e^{-2t} + 2 \)（t ≥ 0）
---
### **3. 冲激响应 (Impulse Response, h(t))**
**定义**：系统在零状态（初始条件为0）下，输入为冲激信号 \( \delta(t) \) 时的响应。
**核心**：是零状态响应的特例（输入为冲激函数）。
**求法**：
1. 列写系统方程，输入替换为 \( \delta(t) \)。
2. 直接求解（常用拉普拉斯变换或时域积分）。
**例子**：
系统方程同上，输入 \( x(t) = \delta(t) \)，初始条件 \( y(0^-) = 0 \)。
**解**：
方程：\( \frac{dy}{dt} + 2y = \delta(t) \)
拉普拉斯变换：\( sY(s) + 2Y(s) = 1 \) → \( Y(s) = \frac{1}{s+2} \)
反变换：\( h(t) = e^{-2t}u(t) \)
（或时域法：冲激在t=0瞬间改变初始条件，后续响应为齐次解）
---
求解冲激响应的思路和步骤如下：
### **思路**
冲激响应是线性时不变（LTI）系统对单位冲激函数 \( \delta(t) \) 的零状态响应，记为 \( h(t) \)。其核心是求解系统在冲激输入下的输出，主要方法包括时域分析（直接解微分方程）和变换域分析（如拉普拉斯变换）。
---
### **方法一：时域分析**
1. **确定微分方程**
系统的微分方程形式为：
\[
\sum_{k=0}^n a_k y^{(k)}(t) = \sum_{k=0}^m b_k x^{(k)}(t)
\]
当输入 \( x(t) = \delta(t) \) 时，方程变为非齐次方程。
2. **处理初始条件**
- 冲激函数 \( \delta(t) \) 在 \( t=0 \) 瞬间作用，导致高阶导数可能产生跳变。
- 通过积分方程两边（从 \( 0^- \) 到 \( 0^+ \)），确定跳变后的初始条件（如 \( y(0^+), y'(0^+) \)）。
3. **求解齐次方程**
对于 \( t > 0 \)，输入消失，方程变为齐次方程。结合跳变后的初始条件，求解齐次方程得到 \( h(t) \)。
---
### **方法二：拉普拉斯变换法**
1. **对微分方程取拉普拉斯变换**
利用 \( \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1 \) 和零初始条件，将微分方程转换为代数方程。
2. **求解传递函数**
传递函数为：
\[
H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\sum_{k=0}^m b_k s^k}{\sum_{k=0}^n a_k s^k}
\]
3. **部分分式分解与逆变换**
将 \( H(s) \) 分解为简单分式，通过拉普拉斯逆变换得到 \( h(t) \)。
---
### **例子**
#### **例1：一阶系统**
微分方程：
\[
y'(t) + a y(t) = \delta(t)
\]
**时域解法**：
- 积分方程两边（\( 0^- \) 到 \( 0^+ \)）得 \( y(0^+) = 1 \)。
- 对于 \( t > 0 \)，解齐次方程 \( y(t) = Ce^{-at} \)，结合 \( y(0^+) = 1 \) 得 \( C=1 \)。
- 冲激响应：
\[
h(t) = e^{-at}u(t)
\]
**拉普拉斯变换法**：
- 方程变换为 \( sY(s) + aY(s) = 1 \)，解得 \( Y(s) = \frac{1}{s+a} \)。
- 逆变换得 \( h(t) = e^{-at}u(t) \)。
---
#### **例2：二阶系统（无重根）**
微分方程：
\[
y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = \delta(t)
\]
**拉普拉斯变换法**：
- 方程变换为 \( s^2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 1 \)，解得 \( Y(s) = \frac{1}{(s+2)(s+3)} \)。
- 部分分式分解：
\[
Y(s) = \frac{1}{s+2} - \frac{1}{s+3}
\]
- 逆变换得：
\[
h(t) = \left(e^{-2t} - e^{-3t}\right)u(t)
\]
---
#### **例3：二阶系统（重根）**
微分方程：
\[
y''(t) + 4y'(t) + 4y(t) = \delta(t)
\]
**拉普拉斯变换法**：
- 方程变换为 \( s^2Y(s) + 4sY(s) + 4Y(s) = 1 \)，解得 \( Y(s) = \frac{1}{(s+2)^2} \)。
- 逆变换得：
\[
h(t) = te^{-2t}u(t)
\]
---
### **总结**
- **时域方法**：需处理冲激引起的初始条件跳变，适合低阶系统。
- **拉普拉斯变换**：直接代数运算，适合高阶系统，步骤更系统化。
- 冲激响应的形式由系统极点决定：单极点对应指数衰减，重极点包含多项式因子，虚轴极点对应等幅振荡。
### **4. 全响应 (Total Response)**
**定义**：系统在非零初始状态和非零输入共同作用下的总响应。
**核心**：全响应 = 零输入响应 + 零状态响应。
**求法**：
1. 分别求ZIR和ZSR，然后相加。
2. 直接解非齐次方程，代入初始条件。
**例子**：
系统方程同上，输入 \( x(t) = 4u(t) \)，初始条件 \( y(0^-) = 3 \)。
**解**：
全响应 = ZIR + ZSR
即：\( y(t) = 3e^{-2t} + (-2e^{-2t} + 2) = e^{-2t} + 2 \)（t ≥ 0）
---
### **总结表格**
| 响应类型 | 输入条件 | 初始条件 | 求法核心 |
|----------------|----------------|----------------|------------------------|
| 零输入响应(ZIR)| 输入=0 | 初始条件≠0 | 解齐次方程，代入初始条件 |
| 零状态响应(ZSR)| 输入≠0 | 初始条件=0 | 解非齐次方程，代入初始条件=0 |
| 冲激响应(h(t)) | 输入=δ(t) | 初始条件=0 | 特例：用拉普拉斯变换或时域积分 |
| 全响应 | 输入≠0 | 初始条件≠0 | ZIR + ZSR 或直接解方程 |
---
### **关键技巧**
1. **零输入响应**：直接解齐次方程，用初始条件确定系数。
2. **零状态响应**：通过冲激响应与输入信号的卷积积分计算：
\[ y_{\text{ZSR}}(t) = h(t) * x(t) \]
3. **冲激响应**是系统的“指纹”，知道它就能计算任意输入的零状态响应！
用这个框架去分析，你一定能分清楚啦！
在求解非齐次微分方程时，特解的形式需要根据**输入信号（非齐次项）的类型**来设定。以下是系统化的方法，帮助你正确设定特解形式：
---
特解的设计
### **1. 基本原则：特解形式与输入信号形式一致**
- **输入信号是多项式** → 特解设为同次多项式。
- 例如：输入为 \( x(t) = 3t^2 \)，则特解假设为 \( y_p(t) = At^2 + Bt + C \)。
- **输入信号是指数函数** → 特解设为同底数的指数。
- 例如：输入为 \( x(t) = 5e^{2t} \)，则特解假设为 \( y_p(t) = Ae^{2t} \)。
- **输入信号是正弦/余弦函数** → 特解设为同频率的正弦/余弦组合。
- 例如：输入为 \( x(t) = \sin(3t) \)，则特解假设为 \( y_p(t) = A\sin(3t) + B\cos(3t) \)。
---
### **2. 例外情况：特解与齐次解冲突**
如果输入信号的形式**与齐次解的形式相同**（例如齐次解含 \( e^{-2t} \)，而输入也是 \( e^{-2t} \)），则需要将特解形式乘以 \( t^k \)，其中 \( k \) 是使特解与齐次解不同的最小整数（通常 \( k=1 \)）。
#### **例子1：输入信号与齐次解重复**
- 微分方程：\( \frac{dy}{dt} + 2y = e^{-2t} \)
- 齐次解：\( y_h(t) = Ae^{-2t} \)
- **错误特解**：假设 \( y_p(t) = Be^{-2t} \)（与齐次解重复）→ 代入方程会导致矛盾。
- **正确特解**：乘以 \( t \)，设为 \( y_p(t) = Bte^{-2t} \)。
#### **例子2：输入信号多次重复齐次解**
- 微分方程：\( \frac{d^2y}{dt^2} + 4y = \sin(2t) \)
- 齐次解：\( y_h(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t) \)
- **正确特解**：设为 \( y_p(t) = t(C\cos(2t) + D\sin(2t)) \)（乘以 \( t \) 避免重复）。
---
### **3. 分步求解特解的方法**
**步骤1：写出齐次方程的解**
例如：\( \frac{dy}{dt} + 2y = x(t) \)，齐次解为 \( y_h(t) = Ae^{-2t} \)。
**步骤2：根据输入信号类型假设特解形式**
- 若输入为常数 \( x(t) = 4 \)，假设特解 \( y_p(t) = B \)。
- 若输入为 \( x(t) = e^{3t} \)，假设特解 \( y_p(t) = Be^{3t} \)。
- 若输入为 \( x(t) = t^2 \)，假设特解 \( y_p(t) = At^2 + Bt + C \)。
**步骤3：检查特解是否与齐次解重复**
- 如果重复，将特解乘以 \( t \)（或更高次幂）直到不重复。
- 例如：输入 \( x(t) = e^{-2t} \)，齐次解含 \( e^{-2t} \)，则特解应设为 \( y_p(t) = Bte^{-2t} \)。
**步骤4：将特解代入原方程，解出待定系数**
- 例如：输入 \( x(t) = 4 \)，假设 \( y_p(t) = B \)，代入方程：
\[ \frac{dB}{dt} + 2B = 4 \]
因为 \( \frac{dB}{dt} = 0 \)，解得 \( 2B = 4 \rightarrow B = 2 \)。
---
### **4. 常见输入信号对应的特解形式**
| **输入信号 \( x(t) \)** | **特解假设形式** | **注意事项** |
|------------------------------|---------------------------------------|----------------------------------|
| 常数（如 \( 4 \)) | \( y_p(t) = B \) | |
| 多项式（如 \( t^2 + 3t \)) | \( y_p(t) = At^2 + Bt + C \) | 次数与输入多项式相同 |
| 指数（如 \( e^{kt} \)) | \( y_p(t) = Be^{kt} \) | 若 \( e^{kt} \) 是齐次解，则乘 \( t \) |
| 正弦/余弦（如 \( \sin(\omega t) \)) | \( y_p(t) = A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) \) | 若与齐次解重复，乘 \( t \) |
| 混合形式（如 \( t e^{kt} \)) | \( y_p(t) = (At + B)e^{kt} \) | 多项式与指数结合 |
---
### **5. 实例演练**
**题目**：求解微分方程 \( \frac{dy}{dt} + 3y = 2t \)，初始条件 \( y(0) = 1 \)。
**步骤1：求齐次解**
齐次方程：\( \frac{dy}{dt} + 3y = 0 \)
通解：\( y_h(t) = Ae^{-3t} \)。
**步骤2：设特解**
输入信号 \( x(t) = 2t \) 是一次多项式，假设特解为 \( y_p(t) = Bt + C \)。
**步骤3：代入方程求系数**
将 \( y_p(t) = Bt + C \) 代入原方程：
\[ \frac{d}{dt}(Bt + C) + 3(Bt + C) = 2t \]
\[ B + 3Bt + 3C = 2t \]
比较系数：
- \( 3B = 2 \) → \( B = \frac{2}{3} \)
- \( B + 3C = 0 \) → \( \frac{2}{3} + 3C = 0 \) → \( C = -\frac{2}{9} \)
特解：\( y_p(t) = \frac{2}{3}t - \frac{2}{9} \)。
**步骤4：全解 = 齐次解 + 特解**
\[ y(t) = Ae^{-3t} + \frac{2}{3}t - \frac{2}{9} \]
**步骤5：代入初始条件**
当 \( t=0 \)，\( y(0) = 1 = A - \frac{2}{9} \) → \( A = \frac{11}{9} \)。
**最终解**：
\[ y(t) = \frac{11}{9}e^{-3t} + \frac{2}{3}t - \frac{2}{9} \quad (t \geq 0) \]
---
### **6. 常见错误提醒**
1. **忘记检查特解是否与齐次解重复**：导致方程无解或矛盾。
2. **特解形式假设错误**：例如输入是 \( e^{t} \)，但假设特解为 \( t e^{t} \)（除非齐次解已含 \( e^{t} \)）。
3. **初始条件代入错误**：全解是齐次解+特解，初始条件要代入全解，而非仅齐次解或特解！
---
### **总结**
特解的形式由**输入信号的类型**决定，核心是“模仿输入”，但需注意避免与齐次解重复。
在求解线性非齐次微分方程时，解的结构由**齐次解（通解）**和**特解**两部分组成，原因如下：
为什么要有特解和通解
在求解线性非齐次微分方程时，解的结构由**齐次解（通解）**和**特解**两部分组成，原因如下：
1. **数学分解性**：
线性微分方程的解空间满足叠加原理。齐次方程的通解覆盖了所有可能的自由响应（无输入时的系统行为），而特解是非齐次方程的一个特定解，代表强制响应。二者叠加后形成非齐次方程的通解，完整描述了系统在输入和初始条件下的动态。
2. **物理意义清晰**：
- **齐次解**：对应系统的**固有特性**（如自然衰减、振荡频率），由特征方程的根决定。例如，方程 \( y'' + 6y' + 8y = 0 \) 的齐次解为 \( y_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-4t} \)，反映了系统的瞬态响应。
- **特解**：对应**外部输入**的强制响应。例如，输入 \( f(t) = e^{-t} \) 时，假设特解为 \( y_p(t) = \frac{1}{3} e^{-t} \)，直接体现输入对系统的影响。
3. **求解流程简化**：
分离齐次解和特解后，可分别处理自由响应与强制响应。先通过特征方程求齐次解，再根据输入形式假设特解，最后结合初始条件确定常数。例如：
\[
y(t) = \underbrace{C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-4t}}_{\text{齐次解}} + \underbrace{\frac{1}{3} e^{-t}}_{\text{特解}}
\]
初始条件 \( y(0) = 1 \) 和 \( y'(0) = 2 \) 用于求解 \( C_1 = \frac{5}{2} \)、\( C_2 = -\frac{11}{6} \)。
4. **特例处理**：
若输入与齐次解形式冲突（如输入包含特征根），需调整特解形式（如乘以 \( t \)）以避免矛盾。例如，若输入为 \( e^{-2t} \)，则特解应设为 \( y_p(t) = A t e^{-2t} \)。
**总结**：通解和特解的概念源于线性系统的叠加性，既简化了数学求解过程，又明晰了物理意义——齐次解描述系统固有特性，特解描述外部激励响应，二者共同构成完全解。
\[
\boxed{\text{通解描述系统固有特性，特解描述外部激励响应；二者叠加构成完全解。}}
\]