线性时不变系统（LTI系统）的定义与核心特性
线性时不变系统（Linear Time-Invariant System）是信号与系统分析中的基础模型，其核心特性包括线性和时不变性。以下从定义、验证方法和应用场景展开说明：
1. 线性（Linearity）
线性包含两个特性：叠加性和齐次性。
- 叠加性：若输入
x1(t)和x2(t)的响应分别为y1(t)和y2(t)，则输入x1(t)+x2(t)的响应为y1(t)+y2(t)。 - 齐次性：若输入
x(t)的响应为y(t)，则输入a*x(t)的响应为a*y(t)（a为常数）。
数学表达：
T[a1*x1(t) + a2*x2(t)] = a1*T[x1(t)] + a2*T[x2(t)]
示例：
- 线性系统：
y(t) = 2*x(t) - 非线性系统：
y(t) = x(t)^2（包含二次项）。
2. 时不变性（Time-Invariance）
系统的特性不随时间变化，输入信号的延迟仅导致输出信号相同时间延迟。
数学表达：
若输入 x(t) 的响应为 y(t)，则输入 x(t-t0) 的响应为 y(t-t0)。
示例：
- 时不变系统：
y(t) = x(t-1) - 时变系统：
y(t) = x(2t)（压缩时间轴）。
3. 判断方法
(1) 线性验证
通过输入不同幅度的信号或组合信号，观察输出是否满足叠加性和齐次性。例如：
% 示例：验证系统 y[n] = 3x[n] 是否为线性系统
x1 = [1, 2, 3];
x2 = [4, 5, 6];
y1 = 3 * x1; % 响应1
y2 = 3 * x2; % 响应2
y_combined = 3 * (x1 + x2); % 组合输入响应
disp(isequal(y_combined, y1 + y2)); % 输出应为 1（True）
(2) 时不变性验证
通过延迟输入信号，观察输出是否同步延迟：
% 示例：验证系统 y(t) = cos(x(t)) 是否为时不变系统
t = 0:0.1:10;
x = sin(t);
y = cos(x); % 原始响应
x_delayed = sin(t-2); % 延迟输入
y_delayed = cos(x_delayed);
% 比较延迟后的输出与原输出的延迟版本
disp(isequal(y_delayed, circshift(y, 20))); % 输出应为 0（False）
4. 应用场景
- 滤波器设计：通过设计单位冲激响应
h(t)实现低通、高通等频域特性。 - 控制系统：如工业自动化中的 PID 控制器，其动态行为可用 LTI 系统描述。
- 通信系统：调制解调、信道均衡等场景依赖 LTI 特性。
5. 与非线性/时变系统的对比
| 特性 | LTI系统 | 非线性/时变系统 |
|---|---|---|
| 数学描述 | 线性微分方程或差分方程 | 非线性方程或时变系数方程 |
| 响应预测 | 可通过卷积或频域分析精确计算 | 需复杂数值仿真 |
| 典型应用 | 滤波器、PID控制 | 混沌系统、自适应滤波器 |
总结
线性时不变系统因其数学处理简便、理论体系完善，成为工程领域的核心模型。实际应用中需注意其局限性，如无法直接描述时变参数或非线性动态，此时需引入更复杂的模型（如 Hammerstein-Wiener 系统）。