齐次线性方程组的概念
齐次线性方程组是指所有常数项都为零的线性方程组，其一般形式为：
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0
⋮ \vdots ⋮
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0 a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0
其中， a i j a_{ij} aij 是系数， x i x_i xi 是未知数，方程组中的常数项都是0。
求解方法
- 高斯消元法：通过行变换将系数矩阵转换为行最简形式，从而找到方程组的解。高斯消元法是一种求解线性方程组的算法，它通过对方程组的增广矩阵进行行变换，将矩阵转换为行阶梯形或行最简形，从而找到方程组的解。对于齐次线性方程组，由于常数项都是0，所以增广矩阵就是系数矩阵。
以下是使用高斯消元法求解齐次线性方程组的步骤：
写出系数矩阵：将方程组的系数写成矩阵形式 A A A。
进行行变换：通过以下三种基本行变换将矩阵转换为行阶梯形或行最简形：
- 交换两行。
- 将某一行乘以一个非零常数。
- 将某一行加上另一行的倍数。
找到解：当矩阵转换为行最简形时，可以很容易地读出方程组的解。
考虑以下齐次线性方程组：
x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 x1+2x2+3x3=0
4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 = 0 4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 0 4x1+5x2+6x3=0
7 x 1 + 8 x 2 + 9 x 3 = 0 7x_1 + 8x_2 + 9x_3 = 0 7x1+8x2+9x3=0
系数矩阵 A A A 为：
A = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} A= 147258369
我们可以通过高斯消元法将这个矩阵转换为行最简形。以下是具体的行变换步骤：
从第二行减去第一行的4倍：
R 2 ← R 2 − 4 R 1 R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1 R2←R2−4R1
( 1 2 3 0 − 3 − 6 7 8 9 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
1072−383−69
从第三行减去第一行的7倍：
R 3 ← R 3 − 7 R 1 R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1 R3←R3−7R1
( 1 2 3 0 − 3 − 6 0 − 6 − 12 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}
1002−3−63−6−12
将第二行除以-3：
R 2 ← R 2 − 3 R_2 \leftarrow \frac{R_2}{-3} R2←−3R2
( 1 2 3 0 1 2 0 − 6 − 12 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}
10021−632−12
从第三行加上第二行的6倍：
R 3 ← R 3 + 6 R 2 R_3 \leftarrow R_3 + 6R_2 R3←R3+6R2
( 1 2 3 0 1 2 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
100210320
从第一行减去第二行的2倍：
R 1 ← R 1 − 2 R 2 R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 R1←R1−2R2
( 1 0 − 1 0 1 2 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
100010−120
现在，矩阵已经转换为行最简形。从这个矩阵中，我们可以读出方程组的解：
x 1 − x 3 = 0 x_1 - x_3 = 0 x1−x3=0
x 2 + 2 x 3 = 0 x_2 + 2x_3 = 0 x2+2x3=0
设 x 3 = t x_3 = t x3=t，则 x 1 = t x_1 = t x1=t 和 x 2 = − 2 t x_2 = -2t x2=−2t。因此，方程组的解为：
( x 1 x 2 x 3 ) = t ( 1 − 2 1 ) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} x1x2x3 =t 1−21
其中 t t t 是任意实数。这就是方程组的非零解。
- 矩阵的零空间：求解系数矩阵的零空间，即找到所有满足 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 的向量 x x x。
要使用矩阵的零空间法求解齐次线性方程组，我们可以遵循以下步骤，
构造系数矩阵：将齐次线性方程组表示为矩阵形式 A x = 0 Ax = 0 Ax=0，其中 A A A 是系数矩阵。
计算零空间：使用线性代数工具来计算系数矩阵 A A A 的零空间，即找到所有满足 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 的向量 x x x。
矩阵 A A A 的零空间是所有满足 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 的向量 x x x 组成的集合，可以用 Null ( A ) \text{Null}(A) Null(A)表示。
以下是使用Python的NumPy库来求解齐次线性方程组的零空间的代码示例：
from sympy import Matrix
# 定义系数矩阵A
A = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
# 计算矩阵A的零空间
null_space = A.nullspace()
# 打印非零解
print("非零解为：")
for solution in null_space:
print(solution)
非零解为：
Matrix([[1], [-2], [1]])
3.特征值和特征向量：对于某些特殊类型的齐次线性方程组，可以通过求解特征值和特征向量来找到解。
计算特征值：求解特征方程 det ( A − λ I ) = 0 \det(A - \lambda I) = 0 det(A−λI)=0 来找到矩阵 A A A 的所有特征值。
找到特征值为0的特征向量：对于特征值 λ = 0 \lambda = 0 λ=0，求解方程 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 来找到对应的特征向量，这些特征向量构成了齐次方程组的解空间。
以下是使用Python和NumPy库来实现这个过程的代码：
import numpy as np
def find_eigenvectors(A):
# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
# 找到特征值为0的特征向量
zero_eigenvectors = eigenvectors[:, np.isclose(eigenvalues, 0)]
return zero_eigenvectors
# 定义系数矩阵A
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
# 找到特征值为0的特征向量
zero_eigenvectors = find_eigenvectors(A)
print("特征值为0的特征向量（解空间的基）为：")
print(zero_eigenvectors)
特征值为0的特征向量（解空间的基）为：
[[ 0.40824829]
[-0.81649658]
[ 0.40824829]]
请注意，这个方法只有在矩阵 A A A 有0特征值时才适用。如果矩阵 A A A没有0特征值，那么齐次线性方程组只有平凡解（即所有变量都为0的解）。此外，这个方法可能不会返回所有可能的解，因为特征值和特征向量方法通常用于描述矩阵的特定性质，而不是直接求解齐次方程组。对于齐次方程组，更直接的方法是使用高斯消元法或者计算矩阵的零空间。
应用
- 线性代数：在求解线性代数问题时，经常需要求解齐次线性方程组，例如求解矩阵的零空间、特征值和特征向量等。
- 控制理论：在控制理论中，齐次线性方程组可以用来描述系统的稳定性。
- 计算机图形学：在计算机图形学中，齐次线性方程组可以用来描述三维空间中的变换。
- 经济学：在经济学中，齐次线性方程组可以用来描述经济模型中的平衡关系。