蓝桥杯——统计子矩阵

解法：二维前缀和+双指针

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll prefix[505][505], a[250010];
int main()
{
	ll n, m, k, ans = 0; cin >> n >> m >> k;
  for(int i = 1; i <= n; i++)
     for(int j = 1; j <= m; j++){
       cin >> prefix[i][j];
       prefix[i][j] += prefix[i-1][j] + prefix[i][j-1] - prefix[i-1][j-1];
       //cout << prefix[i][j] << endl;
     }
  //for(int i = 1; i < n*m; i++) cout << prefix[i] << endl; 
  for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= i; j++){
      for(int l = 1, r = 1; r <= m; r++){
        while(l <= r && prefix[i][r] - prefix[i][l-1] - prefix[j-1][r] + prefix[j-1][l-1] > k) l++;
        if(l <= r) ans += r-l+1; //每一次循环，以r为区间，r每次必++
      }
    }
      
  cout << ans;
  return 0;
}

代码解释：

这段代码的核心是计算满足条件的子矩阵的数量。让我们逐步分析代码的逻辑，特别是你提到的 if (l <= r) ans += r - l + 1; 这一行。

代码逻辑概述

1. 二维前缀和数组：

   • prefix[i][j] 表示从矩阵的左上角 (1,1) 到当前位置 (i,j) 的子矩阵的元素和。
   • 通过二维前缀和，可以在常数时间内计算任意子矩阵的和。

2. 目标：

   • 找出所有满足条件的子矩阵数量，其中子矩阵的和不超过给定的阈值 k。

关键代码分析

外层循环

for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举子矩阵的上边界
    for (int j = i; j <= n; j++) // 枚举子矩阵的下边界

• 这两层循环枚举了所有可能的子矩阵的上下边界。i 是子矩阵的上边界，j 是子矩阵的下边界。

内层循环

for (int l = 1, r = 1; r <= m; r++) // 枚举子矩阵的右边界

• 这一层循环枚举了子矩阵的右边界 r，同时用 l 表示子矩阵的左边界。
• l 和 r 都是从 1 开始，r 逐渐向右扩展。

关键条件

while (l <= r && prefix[j][r] - prefix[j][l-1] - prefix[i-1][r] + prefix[i-1][l-1] > k) l++;

• 这一行的作用是通过滑动窗口的方式，找到满足条件的最小左边界 l。
• prefix[j][r] - prefix[j][l-1] - prefix[i-1][r] + prefix[i-1][l-1] 计算的是子矩阵 (i, l) 到 (j, r) 的和。
• 如果当前子矩阵的和大于 k，则需要缩小窗口，即将左边界 l 向右移动，直到子矩阵的和不超过 k。

关键更新

if (l <= r) ans += r - l + 1;

• 这一行是关键所在。
• 在前面的 while 循环中，已经通过调整左边界 l，使得子矩阵 (i, l) 到 (j, r) 的和不超过 k。
• 如果 l <= r，说明当前窗口是有效的，即存在满足条件的子矩阵。
• r - l + 1 表示在当前的上下边界 (i, j) 和右边界 r 的情况下，所有可能的左边界 l 的数量。

举例说明

假设当前上下边界为 (i, j)，右边界为 r，左边界 l 从 1 开始：

• 如果子矩阵 (i, 1) 到 (j, r) 的和不超过 k，那么子矩阵 (i, 2) 到 (j, r)、(i, 3) 到 (j, r) 等等也一定满足条件。
• 因此，所有满足条件的子矩阵数量是从 l 到 r 的所有可能的左边界数量，即 r - l + 1。

总结

if (l <= r) ans += r - l + 1; 这一行的作用是：

• 在当前上下边界 (i, j) 和右边界 r 的情况下，统计所有满足条件的子矩阵数量。
• 这些子矩阵的左边界从 l 到 r，数量为 r - l + 1。