算法·回溯

回溯和搜索的区别

可以简单理解为回溯就是：搜索+剪枝优化

回溯解决问题的数量级:10

回溯的应用：

• 排列问题：
• 组合问题：
• 剪枝优化：

回溯算法的套路

二维回溯

• 两个变量，按照两层for循环的形式搜索所有可能，注意换行。

	if(x>n){
		return ;
	}
	int next_xx = y == n ? x + 1 : x;
	int next_yy = y == n ? 1 : y + 1;
	dfs(next_xx,next_yy,...);

• P1784 数独：标准的例题

(80分代码)

void dfs(int x, int y) {
	if (x > 9||y > 9) {
		printsudo();
		exit(0);
	}

	if (graph[x][y]) {
		if (y == 9)dfs(x + 1, 1);
		else dfs(x, y + 1);
		return;//防止回溯后篡改(x,y)
	}
	
	for (int k = 1; k <= 9; k++) {
		if (isvalid(x, y, k)) {
			graph[x][y] = k;
			if (y == 9)dfs(x + 1, 1);
			else dfs(x, y + 1);
			graph[x][y] = 0;
		}
	}
}

• P2040 打开所有的灯:这里要注意到一个灯不会被开两次。(即使不是同时开关两次)。

void dfs(int x, int y, int times) {
	if (isvalid()) {
		ans = min(ans, times);
		return;
	}
	if (x > n) {
		return;
	}
	int next_xx = y == 3 ? x + 1 : x;
	int next_yy = y == 3 ? 1 : y + 1;
	dfs(next_xx, next_yy, times);//不点击
	

	graph[x][y] =graph[x][y]==0?1:0;//1->0,0->1
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		int next_x = x + dir[i][0];
		int next_y = y + dir[i][1];
		if (next_x >= 1 && next_x <= n && next_y >= 1 && next_y <= n) {
			graph[next_x][next_y]=graph[next_x][next_y] == 0 ? 1 : 0;
		}
	}
	//cout << "x:" << x << " y:" << y << endl;
	//printout();

	dfs(next_xx, next_yy, times + 1);//点击
	graph[x][y] = graph[x][y] == 0 ? 1 : 0;//1->0,0->1
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		int next_x = x + dir[i][0];
		int next_y = y + dir[i][1];
		if (next_x >= 1 && next_x <= n && next_y >= 1 && next_y <= n) {
			graph[next_x][next_y] = graph[next_x][next_y] == 0 ? 1 : 0;
		}
	}
	

}

最后检查

• 使用DFS遍历所有结果，对每个结果只在最后收集时检查。
• 这个搜索次数过大，一般都会超时！
• P10386 [蓝桥杯 2024 省 A] 五子棋对弈：不设时间限制的题目，可以采用这种思路。

前向检查剪枝

• 前向检查就是提前排除下一个潜在状态中不合理的值，减少搜索范围。有的时候不需要isvalid()作最后的检查！
• P9241 [蓝桥杯 2023 省 B] 飞机降落：前向检查优化