【数学建模】模糊综合评价（FCE）全解析：从理论到实践的深度解读及Python代码实现

🌈🌈🌈往期精选内容：

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💖【数学建模】层次分析法（AHP）：从理论到实战的全面解析_层次分析法计-CSDN博客

💖引言

  在我们生活的现实世界中，存在着大量模糊的现象和关系。例如，高与矮、长与短、大与小、多与少、穷与富、好与差、年轻与年老等。这些概念不像确定的量那样清晰明确，而是具有模糊性，它们不满足“非此即彼”的排中律，而是呈现出“亦此亦彼”的特性。

  这种模糊性是客观存在的，与随机不确定性有着本质的区别。随机不确定性是由于因果律的破损导致的，而模糊不确定性则是由于排中律的破损造成的。在传统的确定性数学领域，如高等数学和线性代数中，事物的属性是明确的，一个元素要么属于某个集合，要么不属于。然而，在现实生活中，我们经常会遇到不确定的量，这些量的特性可能介于两种或多种状态之间，无法用简单的“是”或“不是”来描述。

  为了更好地理解和处理这些模糊现象，模糊综合评价法应运而生。这种方法基于模糊数学理论，能够将模糊的因素定量化，从而为我们提供了一种有效的决策工具，帮助我们在面对模糊、不确定性问题时做出更加科学、合理的判断。在接下来的博客中，我们将深入探讨模糊综合评价法的基础知识、优缺点，并通过实际案例和代码展示其应用。

📚 一、模糊综合评价

🚀 1.1、概念

  模糊综合评价法（Fuzzy Comprehensive Evaluation, FCE）是一种基于模糊数学理论的评价方法，用于处理模糊、不确定或多指标的决策问题。该方法通过量化和综合各种评价指标的模糊信息，将定性评价转化为定量评价，从而对受到多种因素制约的事物或对象进行总体评价。

🚀1.2、核心思想

模糊综合评价法的核心思想在于：

1. 模糊性处理：承认现实世界中大量存在的模糊性，通过模糊集合和隶属度函数来描述这些模糊现象。

2. 多因素综合：考虑多个因素对评价对象的共同影响，避免单一因素评价的片面性。

3. 定量化评价：将定性分析与定量分析相结合，将模糊因素转化为可操作的数值，以便进行综合评价。

🔍1.3、重要概念介绍

1. 模糊集合
     模糊集合是用来描述那些具有模糊特征的事物集合。在这个集合中，每个元素都有一个隶属度，这个值在0到1之间。例如，我们说“年轻人”，这个概念就是一个模糊集合。一个人可能有0.8的隶属度属于“年轻人”这个集合，另一个人可能只有0.3的隶属度。
2. 隶属函数
     隶属函数是用来确定元素对模糊集合的隶属程度的函数。它是模糊集合的具体表现形式。比如，对于“年轻人”这个模糊集合，我们可以定义一个隶属函数，当年龄在20岁以下时，隶属度为1；年龄在20到30岁之间时，隶属度逐渐降低；超过30岁，隶属度为0。
3. 因素集
     因素集是在评价过程中考虑的各个因素所组成的集合。比如，我们要评价一个学生的综合表现，因素集可能包括“学习成绩”、“课堂表现”、“作业完成情况”等。
4. 评语集
     评语集是对评价对象可能的评价结果所组成的集合。比如，评价一个学生的综合表现，评语集可能是“优秀”、“良好”、“中等”、“及格”、“不及格”。
5. 权重向量
     权重向量表示各因素在综合评价中的相对重要性。比如，在评价学生的综合表现时，如果学习成绩最重要，课堂表现次之，作业完成情况相对没那么重要，那么权重向量可能是[0.5, 0.3, 0.2]。
6. 模糊关系矩阵
     模糊关系矩阵描述了因素集与评语集之间的模糊关系。比如，对于每个因素（如学习成绩、课堂表现等），在不同的评语（如优秀、良好等）下的隶属度，可以构成一个矩阵。
7. 合成运算
     合成运算是通过权重向量与模糊关系矩阵的运算，得到综合评价结果。比如，将各因素的权重与它们在不同评语下的隶属度进行加权求和，最终得到每个评语的综合隶属度，从而确定评价结果。

⚖️1.4、模糊综合评价的优缺点

优点

• 处理模糊问题能力强：能够有效应对现实中的模糊、不确定性问题，拓宽了决策分析的应用范围。
• 综合考虑多因素影响：充分考虑了多个因素对评价结果的综合作用，评价结果更加全面、合理。
• 定性与定量相结合：将定性描述转化为定量分析，使评价过程更加科学、严谨。
• 应用领域广泛：在经济、管理、工程、环境等众多领域都有成功的应用案例。

缺点

• 主观性较强：在因素选取、权重确定以及隶属函数构建等方面，存在一定的主观性，可能影响评价结果的客观性。
• 计算过程复杂：涉及较多的矩阵运算和模糊数学理论，计算过程相对繁琐，尤其在因素较多时，计算量较大。
• 结果解释困难：由于模糊综合评价结果是基于隶属度的综合值，对结果的解释和理解可能不够直观，需要进一步分析。

📚二 、模糊综合评价法步骤

以学生综合表现评价为例：

🔧2.1、构建评价指标体系

• 确定因素集：$U=u_1,u_2,u_3,u_4$，其中$u_1$表示政治表现，$u_2$表示工作能力，$u_3$表示学习态度，$u_4$表示团队协作。
• 确定评价集：$V=v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$，其中$v_1$表示优秀，$v_2$表示良好，$v_3$表示中等，$v_4$表示及格，$v_5$表示不及格。

⚖️2.2、 确定权重向量

  权重向量$A=[a_1,a_2,a_3,a_4]$，其中其中，$a_i$ 为第 $i$ 个因素的权重，表示各因素在综合评价中的相对重要性，且满足 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$。

对于权重的确定方法可参考往期内容：熵权法，TOPSIS，CRITIC，层次分析

📊2.3、 构建模糊关系矩阵

各指标的综合模糊判断矩阵为:
$$R=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1m}\\ r_{21}& r_{22}& \cdots & r_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n1}& r_{n2}& \cdots & r_{nm}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{R}_1\\ R_2\\ ⋮\\ R_n\end{array}\right]$$
其意义按行和列分别有不同的解释。
因素集:可从政治表现、工作能力、学习态度、团队协作方面构成评价指标体系集合，即因素集。
评语集:将评语分为优秀、良好、中等、及格、不及格，构成评语集。

🧮2.4、 进行合成运算

将权重向量$A$与模糊关系矩阵$R$进行合成运算，得到综合评价结果$B$。$B=A\times R$。

📈2.5、分析评价结果

根据合成运算得到的综合评价结果$B$，分析学生在各个评价等级下的隶属度，确定其最可能所属的评价等级。

📚三、隶属度函数确定

❓3.1、为什么需要隶属度函数

  在现实世界中，许多现象和概念具有模糊性，无法用传统的二值逻辑（即元素要么属于某个集合，要么不属于）来描述。例如，评价一个学生的综合表现时，我们可能会用到“优秀”、“良好”、“中等”等模糊的评语，这些评语并没有明确的边界。为了能够对这些模糊概念进行量化分析，我们需要隶属度函数来确定一个元素（如某个学生的某方面表现）对不同模糊集合（如“优秀”、“良好”等）的隶属程度。这样，我们才能将模糊的评价转化为可计算的数学形式，进而通过模糊综合评价法得出科学合理的评价结果。

📉🛠️3.2、隶属函数的确定方法

1. 模糊统计试验法（大众投票法）
     模糊统计试验法是通过做统计实验来确定隶属度。具体来说，就是对某个元素是否属于某个模糊集进行多次统计调查，然后用统计出来的频率作为隶属度。

  示例： 我们要确定“舒适温度”这个模糊概念的隶属函数。可以在不同季节、不同环境下询问很多人，让他们判断某个温度是否舒适。比如在25℃时，有80%的人觉得舒适，那25℃在“舒适温度”这个模糊集下的隶属度就可以定为0.8。

2. 直觉方法（经验法）​

  直觉方法是基于人们对模糊概念的直观理解和普遍共识来建立隶属函数。这种方法适用于描述人们熟知且有共识的模糊现象，或者在难以采集数据的情况下使用。

  示例： 考虑描述空气温度的模糊变量，如“很冷”、“冷”、“凉爽”、“适宜”和“热”。根据我们对这些模糊概念的认知，可以规定这些模糊集的隶属函数曲线。例如，对于“很冷”，可以定义其隶属函数为在低温区间内逐渐增加，在某个温度点达到1，然后在较高温度区间内逐渐减少。

3. 模板套用法（指派法）​
   直接选择现成的函数形状来套用，就像选PPT模板，详见3.3，3.4。

示例
这里的 $A$ = “年轻”，$U=(0,120)$
定义隶属函数：
$${\mu }_A(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<20\\ \frac{40-x}{20},& 20⩽x⩽40\\ 0,& 40<x<120\end{array}$$

解释
对于 $U$ 中的每一个元素，均对应于 $A$ 中的一个隶属度，隶属度介于 $[0,1]$，越大表示越属于这个集合。

其他示例

📉3.4、 常用的隶属度函数

📘四、案例分析：年终奖评定

🏢4.1、案例背景

某公司年终奖评定采用模糊综合评价法，综合考虑员工在工作绩效、团队贡献、专业技能、出勤情况等方面的表现，确定员工的年终奖等级。评价等级分为优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级。

📋4.2、构建评价指标体系

确定因素集
U = { u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } U = \{u_1, u_2, u_3, u_4\} U={u1​,u2​,u3​,u4​}，其中：

• $u_1$ 表示工作绩效
• $u_2$ 表示团队贡献
• $u_3$ 表示专业技能
• $u_4$ 表示出勤情况

确定评价集
V = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 } V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\} V={v1​,v2​,v3​,v4​,v5​}，其中：

• $v_1$ 表示优秀
• $v_2$ 表示良好
• $v_3$ 表示中等
• $v_4$ 表示及格
• $v_5$ 表示不及格

⚖️4.3、确定权重向量

权重向量 $A=[a_1,a_2,a_3,a_4]$，其中 $a_i$ 为第 $i$ 个因素的权重，且满足 ${\sum }_{i=1}^4{a}_i=1$。假设通过层次分析法确定权重向量为 $A=[0.4,0.3,0.2,0.1]$。

📊4.4、构建模糊关系矩阵

各因素在不同评价等级下的隶属度如下表所示：

💻4.5、进行合成运算

将权重向量 $A$ 与模糊关系矩阵 $R$ 进行合成运算，得到综合评价结果 $B$。计算过程如下：

$$B=A\times R=[0.4,0.3,0.2,0.1]\times \left[\begin{array}{ccccc}0.9& 0.05& 0.05& 0.0& 0.0\\ 0.8& 0.1& 0.05& 0.05& 0.0\\ 0.7& 0.15& 0.1& 0.05& 0.0\\ 0.6& 0.2& 0.15& 0.05& 0.0\end{array}\right]$$

计算每个评价等级的综合隶属度：

• 优秀：$0.4\times 0.9+0.3\times 0.8+0.2\times 0.7+0.1\times 0.6=0.36+0.24+0.14+0.06=0.8$
• 良好：$0.4\times 0.05+0.3\times 0.1+0.2\times 0.15+0.1\times 0.2=0.02+0.03+0.03+0.02=0.1$
• 中等：$0.4\times 0.05+0.3\times 0.05+0.2\times 0.1+0.1\times 0.15=0.02+0.015+0.02+0.015=0.07$
• 及格：$0.4\times 0.0+0.3\times 0.05+0.2\times 0.05+0.1\times 0.05=0+0.015+0.01+0.005=0.03$
• 不及格：$0.4\times 0.0+0.3\times 0.0+0.2\times 0.0+0.1\times 0.0=0$

因此，综合评价结果为：
$$B=[0.8,0.1,0.07,0.03,0.0]$$

📈4.6、分析评价结果

根据综合评价结果 $B$，可以看出该员工在各个评价等级下的隶属度。隶属度最高的为“优秀”等级，值为0.8，表明该员工最可能被评定为优秀等级，可获得相应的年终奖。

🐍4.7、Python代码实现

import numpy as np

# 权重向量
A = np.array([0.4, 0.3, 0.2, 0.1])

# 模糊关系矩阵
R = np.array([
    [0.9, 0.05, 0.05, 0.0, 0.0],  # 工作绩效
    [0.8, 0.1, 0.05, 0.05, 0.0],  # 团队贡献
    [0.7, 0.15, 0.1, 0.05, 0.0],  # 专业技能
    [0.6, 0.2, 0.15, 0.05, 0.0]   # 出勤情况
])

# 合成运算
B = np.dot(A, R)

print("综合评价结果 B:", B)

运行结果：

综合评价结果 B: [0.8  0.1  0.07 0.03 0.  ]

根据计算结果，该员工在“优秀”等级下的隶属度最高，为0.8，因此可以评定为优秀等级，获得相应的年终奖。

📘五、案例分析：学生综合表现评价

🎓5.1、案例背景

某学校在评定学生的综合表现时，采用二级模糊综合评价法。评价体系分为两个层次：第一层次为一级指标，包括学业表现和综合素质；第二层次为二级指标，学业表现下包含考试成绩、课堂表现、作业完成情况，综合素质下包含团队协作、沟通能力、领导力。通过这种方式，学校能够更全面、细致地评价学生的综合表现。

📋5.2、构建评价指标体系

确定一级因素集
U = { u 1 , u 2 } U = \{u_1, u_2\} U={u1​,u2​}，其中：

• $u_1$ 表示学业表现
• $u_2$ 表示综合素质

确定二级因素集
对于学业表现 $u_1$，其二级因素集为 U 1 = { u 11 , u 12 , u 13 } U_1 = \{u_{11}, u_{12}, u_{13}\} U1​={u11​,u12​,u13​}，其中：

• $u_{11}$ 表示考试成绩
• $u_{12}$ 表示课堂表现
• $u_{13}$ 表示作业完成情况

对于综合素质 $u_2$，其二级因素集为 U 2 = { u 21 , u 22 , u 23 } U_2 = \{u_{21}, u_{22}, u_{23}\} U2​={u21​,u22​,u23​}，其中：

• $u_{21}$ 表示团队协作
• $u_{22}$ 表示沟通能力
• $u_{23}$ 表示领导力

确定评价集
V = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 } V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\} V={v1​,v2​,v3​,v4​,v5​}，其中：

• $v_1$ 表示优秀
• $v_2$ 表示良好
• $v_3$ 表示中等
• $v_4$ 表示及格
• $v_5$ 表示不及格

⚖️5.3、确定权重向量

一级权重向量
权重向量 $A=[a_1,a_2]$，其中 $a_1$ 和 $a_2$ 分别表示学业表现和综合素质的权重，且满足 $a_1+a_2=1$。假设通过层次分析法确定权重向量为 $A=[0.6,0.4]$。

二级权重向量
对于学业表现 $u_1$，其二级权重向量为 $A_1=[a_{11},a_{12},a_{13}]$，表示考试成绩、课堂表现、作业完成情况的权重，且满足 $a_{11}+a_{12}+a_{13}=1$。假设 $A_1=[0.5,0.3,0.2]$。

对于综合素质 $u_2$，其二级权重向量为 $A_2=[a_{21},a_{22},a_{23}]$，表示团队协作、沟通能力、领导力的权重，且满足 $a_{21}+a_{22}+a_{23}=1$。假设 $A_2=[0.4,0.3,0.3]$。

📊5.4、构建模糊关系矩阵

学业表现的模糊关系矩阵 $R_1$
假设各二级因素在不同评价等级下的隶属度如下表所示：

综合素质的模糊关系矩阵 $R_2$
假设各二级因素在不同评价等级下的隶属度如下表所示：

💻5.5、进行合成运算

学业表现的综合评价结果 $B_1$
将权重向量 $A_1$ 与模糊关系矩阵 $R_1$ 进行合成运算：
$$B_1=A_1\times R_1=[0.5,0.3,0.2]\times \left[\begin{array}{ccccc}0.9& 0.05& 0.05& 0.0& 0.0\\ 0.8& 0.1& 0.05& 0.05& 0.0\\ 0.7& 0.15& 0.1& 0.05& 0.0\end{array}\right]$$

计算每个评价等级的综合隶属度：

• 优秀：$0.5\times 0.9+0.3\times 0.8+0.2\times 0.7=0.45+0.24+0.14=0.83$
• 良好：$0.5\times 0.05+0.3\times 0.1+0.2\times 0.15=0.025+0.03+0.03=0.085$
• 中等：$0.5\times 0.05+0.3\times 0.05+0.2\times 0.1=0.025+0.015+0.02=0.06$
• 及格：$0.5\times 0.0+0.3\times 0.05+0.2\times 0.05=0+0.015+0.01=0.025$
• 不及格：$0.5\times 0.0+0.3\times 0.0+0.2\times 0.0=0$

因此，学业表现的综合评价结果为：
$$B_1=[0.83,0.085,0.06,0.025,0.0]$$

综合素质的综合评价结果 $B_2$
将权重向量 $A_2$ 与模糊关系矩阵 $R_2$ 进行合成运算：
$$B_2=A_2\times R_2=[0.4,0.3,0.3]\times \left[\begin{array}{ccccc}0.8& 0.1& 0.05& 0.05& 0.0\\ 0.7& 0.15& 0.1& 0.05& 0.0\\ 0.6& 0.2& 0.15& 0.05& 0.0\end{array}\right]$$

计算每个评价等级的综合隶属度：

• 优秀：$0.4\times 0.8+0.3\times 0.7+0.3\times 0.6=0.32+0.21+0.18=0.71$
• 良好：$0.4\times 0.1+0.3\times 0.15+0.3\times 0.2=0.04+0.045+0.06=0.145$
• 中等：$0.4\times 0.05+0.3\times 0.1+0.3\times 0.15=0.02+0.03+0.045=0.095$
• 及格：$0.4\times 0.05+0.3\times 0.05+0.3\times 0.05=0.02+0.015+0.015=0.05$
• 不及格：$0.4\times 0.0+0.3\times 0.0+0.3\times 0.0=0$

因此，综合素质的综合评价结果为：
$$B_2=[0.71,0.145,0.095,0.05,0.0]$$

总体综合评价结果 $B$
将一级权重向量 $A$ 与 $B_1$ 和 $B_2$ 进行合成运算：
$$B=A\times \left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\end{array}\right]=[0.6,0.4]\times \left[\begin{array}{ccccc}0.83& 0.085& 0.06& 0.025& 0.0\\ 0.71& 0.145& 0.095& 0.05& 0.0\end{array}\right]$$

计算每个评价等级的综合隶属度：

• 优秀：$0.6\times 0.83+0.4\times 0.71=0.498+0.284=0.782$
• 良好：$0.6\times 0.085+0.4\times 0.145=0.051+0.058=0.109$
• 中等：$0.6\times 0.06+0.4\times 0.095=0.036+0.038=0.074$
• 及格：$0.6\times 0.025+0.4\times 0.05=0.015+0.02=0.035$
• 不及格：$0.6\times 0.0+0.4\times 0.0=0$

因此，总体综合评价结果为：
$$B=[0.782,0.109,0.074,0.035,0.0]$$

📈5.6、分析评价结果

根据综合评价结果 $B$，可以看出该学生在各个评价等级下的隶属度。隶属度最高的为“优秀”等级，值为0.782，表明该学生最可能被评定为优秀等级。

🐍5.7、Python代码实现

import numpy as np

# 一级权重向量
A = np.array([0.6, 0.4])

# 学业表现的二级权重向量
A1 = np.array([0.5, 0.3, 0.2])

# 综合素质的二级权重向量
A2 = np.array([0.4, 0.3, 0.3])

# 学业表现的模糊关系矩阵
R1 = np.array([
    [0.9, 0.05, 0.05, 0.0, 0.0],  # 考试成绩
    [0.8, 0.1, 0.05, 0.05, 0.0],  # 课堂表现
    [0.7, 0.15, 0.1, 0.05, 0.0]   # 作业完成情况
])

# 综合素质的模糊关系矩阵
R2 = np.array([
    [0.8, 0.1, 0.05, 0.05, 0.0],  # 团队协作
    [0.7, 0.15, 0.1, 0.05, 0.0],  # 沟通能力
    [0.6, 0.2, 0.15, 0.05, 0.0]   # 领导力
])

# 学业表现的综合评价结果
B1 = np.dot(A1, R1)

# 综合素质的综合评价结果
B2 = np.dot(A2, R2)

# 总体综合评价结果
B = np.dot(A, np.array([B1, B2]))

print("总体综合评价结果 B:", B)

运行结果：

总体综合评价结果 B: [0.782 0.109 0.074 0.035 0.   ]

根据计算结果，该学生在“优秀”等级下的隶属度最高，为0.782，因此可以评定为优秀等级。

📚参考文献

1、跟大师兄学数学建模——模糊综合评价法法
2、清风数学建模学习笔记——模糊综合评价法原理及案例分析讲解
3、数学建模常用算法—模糊综合评价法(FCE)