矩阵的相似对角形

1-10 矩阵的相似对角形

线性变换理论要研究的一个主要问题是：对于 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ ，是否存在 $V$ 的一个基使得 $\mathcal{C}$ 在这个基下的矩阵为对角矩阵。

定义1．10．1 数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\mathcal{B}$ 称为可对角化的，如果 $V$ 中存在一个基，使得 $\mathcal{A}$ 在这个基下的矩阵为对角矩阵。

定义1．10．2 若 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 与对角矩阵相似，则称 $\mathbf{A}$ 可对角化，也称 $\mathbf{A}$ 是单纯矩阵。

设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换， $\mathcal{A}$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的矩阵表示为 $\mathbf{A}$ ，即

$$\mathcal{A}\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\right)=\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\right)\mathbf{A}$$

不难证明：
定理1．10．1 线性变换 $\mathcal{A}$ 可对角的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 可对角化．（证略）由此可见，我们只需研究矩阵的可对角化问题即可。

一，矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化条件
定理1．10．2 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化的充要条件 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量．
证明 必要性：设满秩矩阵 $\mathbf{P}$ ，满足

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)$$

把 $\mathbf{P}$ 按列向量进行分块

$$\mathbf{P}=\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\right)$$
将式（1．10．2）代人式（1．10．1）得

$$\mathbf{A}\left({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\right)=\left({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\right)\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\right)$$

于是

$$\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_i={\lambda }_i{\mathbf{\alpha }}_i(i=1,2,\cdots ,n)$$

因为 $\mathbf{P}$ 是满秩的，所以 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是线性无关的．从而由式（1．10．1）知， $\mathbf{A}$ 有 $\mathbf{n}$个线性无关的特征向量．

充分性：设 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ ，即 $\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_i={\lambda }_i{\mathbf{\alpha }}_i(i=$ $1,2,\cdots ,n)$ 。命

$$\mathbf{P}=\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\right)$$

显然 $\mathbf{P}$ 是满秩的．故
即

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{P}=& \mathbf{A}\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\right)\\ =& \left(\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_1,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_n\right)\\ =& \left({\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1,{\lambda }_2{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\lambda }_n{\mathbf{\alpha }}_n\right)\\ =& \left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\right)\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\\ =& \mathbf{P}\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\\ & {\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\end{array}$$

推论 设 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)$ ，则 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个特征值， $\mathbf{P}$ 的第 $i$ 个列向量是 $\mathbf{A}$ 的属于 ${\lambda }_i$ 的特征向量．

由定理1．10．2可见，并不是任何一个线性变换都存在一个基，使其在该基下的矩阵表示呈现对角形．若一个线性变换在某组基下的矩阵表示是对角形，便称这线性变换是可对角化变换．

例1．10．1 已知线性微分方程组

$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{x}_1}{\mathrm{d}t}=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ \frac{\mathrm{d}{x}_2}{\mathrm{d}t}=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ \frac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}t}=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n\end{array}$$

令

$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\frac{\mathrm{d}\mathbf{X}}{\mathrm{d}t}=\left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}{x}_1}{\mathrm{d}t}\\ ⋮\\ \frac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}t}\end{array}\right),\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

则方程组（1）的矩阵形式为
$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{X}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{A}\mathbf{X}$$

若 $\mathbf{A}$ 可对角化，即存在 $\mathbf{P}\in C_n^{n\times n}$ ，使得

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\right)$$

命

$$X=PY$$

其中 $\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$ ，把式（3）代人式（2）得

$$\frac{\mathrm{d}(\mathbf{P}\mathbf{Y})}{\mathrm{d}t}=\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{Y}$$

即

$$\mathbf{P}\frac{\mathrm{d}\mathbf{Y}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{Y}$$

以 ${\mathbf{P}}^{-1}$ 左乘上式两端得

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}\mathbf{Y}}{\mathrm{d}t}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{Y}=\mathbf{\Lambda }\mathbf{Y}\\ & \{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{y}_1}{\mathrm{d}t}={\lambda }_1{y}_1\\ \frac{\mathrm{d}{y}_2}{\mathrm{d}t}={\lambda }_2{y}_2\\ ⋮\\ \frac{\mathrm{d}{y}_n}{\mathrm{d}t}={\lambda }_n{y}_n\end{array}\end{array}$$

因此

$$y_1=c_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}t},y_2=c_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}t},\cdots ,y_n=c_n{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{n}t}$$

代人方程组（3）求得微分方程解 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$
定理 1．10．3 矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化的充要条件是 $\mathbf{A}$ 的每一个特征值的几何重复度等于代数重复度。

证明 设 $n$ 阶矩阵的谱为 { λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ r } . λ i \left\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r\right\} . \lambda_i {λ1​,λ2​,⋯,λr​}.λi​ 的代数重复度为 $p_i$ ，几何重复度为 $q_i(i=1,2,\cdots ,r)$ ．则

$$p_1+p_2+\cdots +p_r=n$$

由定理1．8．5知

$$q_1+q_2+\cdots +q_r⩽p_1+p_2+\cdots +p_r=n$$

由定理1．10．2 知

$$q_1+q_2+\cdots +q_r=n$$

故得

$$q_1=p_1,q_2=p_2,\cdots ,q_r=p_r$$
推论 若矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征根全是单根，则 $\mathbf{A}$ 可对角化．
定理1．10．4 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的谱为 { λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ r } \left\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r\right\} {λ1​,λ2​,⋯,λr​} ，特征值 ${\lambda }_i$ 的代数重复度为 $p_i(i=1,2,\cdots ,r)$ ，则 $\mathbf{A}$ 与对角矩阵相似的充要条件是 ${\lambda }_i$ 的代数重复度 $p_i=$ $n-\mathrm{rank}\left({\lambda }_{i}E-A\right)(i=1,2,\cdots ,r)$ ．

证明 由定理1．10．3知 ${\lambda }_i$ 的代数重复度 $p_i$ 等于它的几何重复度 $q_i$ ，而 ${\lambda }_i$ 的几何重复度就是线性齐次方程组 $\left({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)x=0$ 的基础解系向量个数，即 ${\lambda }_i$ 的几何重复度等于 $n-\mathrm{rank}\left({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)$ 。

二，可交换情况 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$
一般而言，若 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in C^{n\times n}$ ，未必能有

$$AB=BA$$

若 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ ，便称 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$（乘法）可交换．
定理1．10．5 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 乘法可交换，则 $\mathbf{A}$ 的任何特征子空间都是 $\mathbf{B}$ 的不变子空间。

注：定理1．10．5是定理1．9．2的另一种说法。并且可知， $\mathbf{B}$ 的任何特征子空间也是 $\mathbf{A}$ 的不变子空间。

定理1．10．6 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 乘法可交换，则 $\mathbf{A}$ 的任何特征子空间中都有 $\mathbf{B}$ 的特征向量。

证明 设 $V_{{\lambda }_0}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_0$ 的特征子空间， ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 是 $V_{{\lambda }_0}$ 的一个基，由定理1．10．5知 $V_{{\lambda }_0}$ 是 $\mathbf{B}$ 的不变子空间。所以

$$\mathbf{B}{\mathbf{\alpha }}_i=c_{1i}{\mathbf{\alpha }}_1+c_{2i}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +c_{si}{\mathbf{\alpha }}_s(i=1,2,\cdots ,s)$$

命

$$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1s}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2s}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{s1}& c_{s2}& \cdots & c_{ss}\end{array}\right]$$

设 $X\in V_{{\lambda }_0}$ ，则有

$$\mathbf{X}=l_1{\mathbf{\alpha }}_1+l_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +l_s{\mathbf{\alpha }}_s$$

欲使 $\mathbf{X}$ 是 $V_{\lambda 0}$ 的向量，只需 $B\mathbf{X}=\mathbf{\mu }\mathbf{X}$ ．于是结合式（1．10．5）有

$$\begin{array}{rl}\mathbf{B}\mathbf{X}=& l_1\mathbf{B}{\mathbf{\alpha }}_1+l_2\mathbf{B}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +l_s\mathbf{B}{\mathbf{\alpha }}_s\\ =& \left(l_1{c}_{11}+l_2{c}_{12}+\cdots +l_s{c}_{1s}\right){\mathbf{\alpha }}_1+\\ & \left(l_1{c}_{21}+l_2{c}_{22}+\cdots +l_s{c}_{2s}\right){\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +\\ & \left(l_1{c}_{s1}+l_2{c}_{s2}+\cdots +l_s{c}_{ss}\right){\mathbf{\alpha }}_s\\ \mu \mathbf{X}=& \mu l_1{\mathbf{\alpha }}_1+\mu l_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +\mu l_s{\mathbf{\alpha }}_s\end{array}$$
把 $\mathbf{BX}$ 与 $\mu \mathbf{X}$ 的表达式代人

$$BX=\mu X$$

并根据 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性无关，得到 $l_1,l_2,\cdots ,l_s$ 满足方程组

$$\{\begin{array}{ccc}{l}_1\left(c_{11}-\mu \right)+l_2{c}_{12}& +\cdots +l_s{c}_{1s}& =0\\ l_1{c}_{21}& +l_2\left(c_{22}-\mu \right)+\cdots +l_s{c}_{2s}& =0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ l_1{c}_{s1}& +l_2{c}_{s2}& +\cdots +l_s\left(c_{ss}-\mu \right)\\ ⋮& & \end{array}$$

此即 ${\left(l_1,l_2,\cdots ,l_s\right)}^{\mathrm{T}}$ 是 $s$ 阶矩阵 $\mathbf{M}$ 的特征向量，它总是存在的。因此在 $V_{{\lambda }_0}$ 中至少存在一组数 $l_1,l_2,\cdots ,l_s$ 使得 $\mathbf{X}=l_1{\mathbf{\alpha }}_1+l_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +l_s{\mathbf{\alpha }}_s$ 满足式（1．10．8），即 $\mathbf{X}$ 是 $\mathbf{B}$的一个特征向量。

推论1．10．1 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 乘法可交换，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 必有公共的特征向量．
推论1．10．2 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 乘法可交换，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ 是 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 个相异特征值，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 至少有 $k$ 个线性无关的公共特征向量．

三，同时对角化
引理1．10．1 设 $\mathbf{A}\in C^{n\times n},\mathbf{B}\in C^{m\times m}$ ，且 $\mathbf{D}=\left[\begin{array}{ll}\mathbf{A}& 0\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right]$ ，则 $\mathbf{D}$ 可以对角化的充要条件是 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都可以对角化。

证明 充分性 若 $A,B$ 都可以对角化，存在 $S_1\in C_n^{n\times n},S_2\in C_m^{m\times m}$ ，满足

$$\begin{array}{c}{S}_1^{-1}A{S}_1={\Lambda }_1=\text{ 对角形 }\\ S_2^{-1}B{S}_2={\mathbf{\Lambda }}_2=\text{ 对角形 }\\ S=\left[\begin{array}{cc}{S}_1& 0\\ 0& S_2\end{array}\right]\end{array}$$

令

则

$$\begin{array}{rl}{S}^{-1}DS& =\left[\begin{array}{cc}{S}_1^{-1}& 0\\ 0& S_2^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{S}_1& 0\\ 0& S_2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{S}_1^{-1}A{S}_1& 0\\ 0& S_2^{-1}B{S}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\Lambda }_1& 0\\ 0& {\Lambda }_2\end{array}\right]=\mathbf{\Lambda }=\text{ 对角形 }\end{array}$$

必要性 若 $\mathbf{D}$ 可以对角化，存在 $S\in C_{n+m}^{(n+m)\times (n+m)}$ ，满足

$$\begin{array}{c}{\mathbf{S}}^{-1}\mathbf{DS}=\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n,{\lambda }_{n+1},\cdots ,{\lambda }_{n+m}\right)\\ \text{命}\mathbf{S}=\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n,{\mathbf{\alpha }}_{n+1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{n+m}\right).\end{array}$$

其中

$${\mathbf{\alpha }}_i=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\xi }}_i\\ {\mathbf{\eta }}_i\end{array}\right]\in C^{n+m},{\mathbf{\xi }}_i\in C^n,{\mathbf{\eta }}_i\in C^m(i=1,2,\cdots ,n+m)$$

因为 $\mathbf{DS}=\mathrm{Sdiag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n,{\lambda }_{n+1},\cdots ,{\lambda }_{n+m}\right)$ ，所以
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{D}\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{n+m}\right)\\ =& \left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{n+m}\right)\times \left[\begin{array}{llll}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & \\ & \left({\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1,{\lambda }_2{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\lambda }_n{\mathbf{\alpha }}_n,\cdots ,{\lambda }_{n+m}{\mathbf{\alpha }}_{n+m}\right)& & \end{array}\right]\end{array}$$

比较上式两端得

$$D{\mathbf{\alpha }}_i={\lambda }_i{\mathbf{\alpha }}_i(i=1,2,\cdots ,n+m)$$

即

$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\xi }}_i\\ {\mathbf{\eta }}_i\end{array}\right]={\lambda }_i\left[\begin{array}{c}{\xi }_i\\ {\mathbf{\eta }}_i\end{array}\right](i=1,2,\cdots ,n+m)$$

比较上式两端得

$$\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_i={\lambda }_i{\mathbf{\xi }}_i,\mathbf{B}{\mathbf{\eta }}_i={\lambda }_i{\mathbf{\eta }}_i(i=1,2,\cdots ,n+m)$$

这说明 ${\mathbf{\xi }}_i$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征向量， ${\mathbf{\eta }}_i$ 是 $\mathbf{B}$ 的特征向量．现在将要证明 $(n+m)$ 个 ${\mathbf{\xi }}_i$ 中仅有 $n$ 个是线性元关的，$(n+m)$ 个 ${\mathbf{\eta }}_i$ 中仅有 $m$ 个是线性无关的。

因为

$$\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathbf{\xi }}_1,& {\mathbf{\xi }}_2,& \cdots ,& {\mathbf{\xi }}_n,& \cdots ,& {\mathbf{\xi }}_{n+m}\\ {\mathbf{\eta }}_1,& {\mathbf{\eta }}_2,& \cdots ,& {\mathbf{\eta }}_n,& \cdots ,& {\mathbf{\eta }}_{n+m}\end{array}\right]\in C_{n+m}^{(n+m)\times (n+m)}$$

所以 $\mathbf{S}$ 的 $(n+m)$ 个行向量线性无关，于是矩阵 $\left({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{n+m}\right)$ $\in C^{n\times (n+m)}$ 的 $n$ 个行向量线性无关，$\left({\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_n,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n+m}\right)\in C^{m\times (n+m)}$ 的 $m$ 个行向量线性无关。因此

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{rank}\left({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{n+m}\right)=n\\ & \mathrm{rank}\left({\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_n,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n+m}\right)=m\end{array}$$

此即 $(n+m)$ 个 ${\mathbf{\xi }}_i$ 中仅有 $n$ 个线性无关，$(n+m)$ 个 ${\eta }_i$ 中仅有 $m$ 个线性无关。所以 $A,B$ 均可对角化。

定理1．10．7 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in C^{n\times n}$ 都可以对角化，则 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 同时对角化的充要条件是 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ ．

证明 必要性：若存在 $\mathbf{P}\in C_n^{n\times n}$ ，满足

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\\ & {\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{P}=\mathrm{diag}\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\right)\end{array}$$

则

$$\begin{array}{rl}\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}\right)& =\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\mathrm{diag}\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\right)\\ & =\mathrm{diag}\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\right)\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\\ & =\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{P}\right)\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\right)\end{array}$$

此即
$AB=BA$

充分性：分两步论述。先假定 $\mathbf{A}$ 为对角形矩阵

$$A=\left[\begin{array}{llll}{\lambda }_1{E}_1& & & \\ & {\lambda }_2{E}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_h{E}_h\end{array}\right]$$

其中 $E_i$ 是单位矩阵，其阶数为 ${\lambda }_i$ ．对 $\mathbf{B}$ 实施分块，其分法使之与 $\mathbf{A}$ 能相乘

$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{B}}_{12}& \cdots & {\mathbf{B}}_{1h}\\ {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{B}}_{22}& \cdots & {\mathbf{B}}_{2h}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{B}}_{h1}& {\mathbf{B}}_{h2}& \cdots & {\mathbf{B}}_{hh}\end{array}\right]\text{, }$$

其中 ${\mathbf{B}}_{ij}$ 的行数与 ${\mathbf{E}}_i$ 阶数相同，列数与 ${\mathbf{E}}_j$ 的阶数相同．由于 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ ，所以 ${\mathbf{B}}_{ij}=0$ $(i\ne j)$ ，即

$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{llll}{\mathbf{B}}_{11}& & & \\ & {\mathbf{B}}_{22}& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{B}}_{hh}\end{array}\right]$$

其中 ${\mathbf{B}}_{ii}$ 均为方阵，由引理1．10．1知， ${\mathbf{B}}_{11},{\mathbf{B}}_{22},\cdots ,{\mathbf{B}}_{hh}$ 都是可对角化矩阵．即存在满秩方阵 ${\mathbf{T}}_i$ ，使得 ${\mathbf{T}}_i^{-1}{\mathbf{B}}_{ii}{\mathbf{T}}_i$ 是对角形矩阵 $(i=1,2,\cdots ,h)$ 。命

$$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{llll}{\mathbf{T}}_1& & & \\ & {\mathbf{T}}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{T}}_h\end{array}\right]$$

则 ${\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{AT},{\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{T}$ 均为对角形矩阵。
现设 $A$ 可以对角化，则存在 $S\in C_n^{n\times n}$ ，满足

$${\mathbf{S}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{S}=\left[\begin{array}{llll}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]=\tilde{\mathbf{A}}$$

且 ${\mathbf{S}}^{-1}\mathbf{BS}=\tilde{\mathbf{B}}$ 也是可以对角化矩阵。根据 $\mathbf{AB}=\mathbf{B}\mathbf{A}$ ，可得 $\tilde{\mathbf{A}}\tilde{\mathbf{B}}=\tilde{\mathbf{B}}\tilde{\mathbf{A}}$ ．由前面论述知，对于 $\tilde{\mathbf{A}},\tilde{\mathbf{B}}$ 可以同时对角化，即存在 $\mathbf{T}\in C_n^{n\times n}$ 满足

$$T^{-1}\tilde{A}T={\Lambda }_1\text{ 与 }{T}^{-1}\tilde{B}T={\Lambda }_2$$

所以

$$(ST{)}^{-1}A(ST)={\Lambda }_1\text{ 与 }(ST{)}^{-1}B(ST)={\Lambda }_2$$

此即 $A,B$ 可以同时对角化．

矩阵的相似对角化实现（MATLAB和C++）

MATLAB实现

1. 基本对角化

% 输入矩阵
A = [1 2 0; 0 2 0; -1 -2 1];

% 计算特征值和特征向量
[P, D] = eig(A);

% 验证对角化
disp('原始矩阵 A:');
disp(A);
disp('特征向量矩阵 P:');
disp(P);
disp('对角矩阵 D:');
disp(D);
disp('验证 P*D*inv(P):');
disp(P*D*inv(P));  % 应该等于A

% 检查条件数，判断数值稳定性
cond_P = cond(P);
disp(['矩阵P的条件数: ', num2str(cond_P)]);
if cond_P > 1e10
    warning('矩阵P接近奇异，对角化可能数值不稳定');
end

2. 处理不可对角化矩阵

A = [2 1; 0 2];  % Jordan块，不可对角化

[P, D] = eig(A);
if rank(P) < size(A,1)
    disp('矩阵不可对角化，尝试Jordan分解');
    [V, J] = jordan(A);  % 需要Symbolic Math Toolbox
    disp('Jordan标准形 J:');
    disp(J);
    disp('转换矩阵 V:');
    disp(V);
end

3. 对称矩阵的对角化（正交对角化）

A = [1 2; 2 1];  % 对称矩阵

% 对称矩阵总是可以对角化，且P是正交矩阵
[P, D] = eig(A);

% 验证正交性
disp('P的转置乘以P:');
disp(P'*P);  % 应该接近单位矩阵

C++实现（使用Eigen库）

1. 基本对角化

#include <iostream>
#include <Eigen/Eigenvalues>

using namespace Eigen;

void matrixDiagonalization(const MatrixXd& A) {
    // 计算特征分解
    EigenSolver<MatrixXd> es(A);
    MatrixXcd P = es.eigenvectors();
    MatrixXcd D = es.eigenvalues().asDiagonal();
    
    std::cout << "Original matrix A:\n" << A << "\n\n";
    std::cout << "Eigenvector matrix P:\n" << P << "\n\n";
    std::cout << "Diagonal matrix D:\n" << D << "\n\n";
    
    // 验证对角化
    MatrixXcd reconstruction = P * D * P.inverse();
    std::cout << "Verification P*D*P^(-1):\n" << reconstruction << "\n";
    std::cout << "Reconstruction error norm: " 
              << (reconstruction - A.cast<std::complex<double>>()).norm() 
              << "\n";
    
    // 检查是否可对角化
    FullPivLU<MatrixXcd> lu(P);
    if(lu.rank() < A.rows()) {
        std::cout << "Matrix is not diagonalizable (defective)\n";
    }
}

int main() {
    Matrix3d A;
    A << 1, 2, 0,
         0, 2, 0,
         -1, -2, 1;
         
    matrixDiagonalization(A);
    return 0;
}

2. 实数对称矩阵的对角化

#include <iostream>
#include <Eigen/Eigenvalues>

using namespace Eigen;

void symmetricDiagonalization(const MatrixXd& A) {
    // 确保输入是对称的
    if(!A.isApprox(A.transpose())) {
        std::cerr << "Matrix is not symmetric!\n";
        return;
    }
    
    // 使用SelfAdjointEigenSolver更高效
    SelfAdjointEigenSolver<MatrixXd> es(A);
    MatrixXd P = es.eigenvectors();
    MatrixXd D = es.eigenvalues().asDiagonal();
    
    std::cout << "Original matrix A:\n" << A << "\n\n";
    std::cout << "Orthogonal matrix P:\n" << P << "\n\n";
    std::cout << "Diagonal matrix D:\n" << D << "\n\n";
    
    // 验证正交性
    std::cout << "P' * P:\n" << P.transpose() * P << "\n";
    
    // 验证对角化
    MatrixXd reconstruction = P * D * P.transpose();
    std::cout << "Verification P*D*P':\n" << reconstruction << "\n";
    std::cout << "Reconstruction error norm: " 
              << (reconstruction - A).norm() << "\n";
}

int main() {
    Matrix2d A;
    A << 1, 2,
         2, 1;
         
    symmetricDiagonalization(A);
    return 0;
}

3. 处理不可对角化矩阵

#include <iostream>
#include <Eigen/Eigenvalues>

using namespace Eigen;

void checkDiagonalizability(const MatrixXd& A) {
    EigenSolver<MatrixXd> es(A);
    MatrixXcd P = es.eigenvectors();
    
    FullPivLU<MatrixXcd> lu(P);
    if(lu.rank() < A.rows()) {
        std::cout << "Matrix is not diagonalizable.\n";
        std::cout << "Attempting real Schur decomposition instead.\n";
        
        RealSchur<MatrixXd> schur(A);
        MatrixXd T = schur.matrixT();
        MatrixXd U = schur.matrixU();
        
        std::cout << "Quasi-triangular matrix T:\n" << T << "\n";
        std::cout << "Orthogonal matrix U:\n" << U << "\n";
    } else {
        std::cout << "Matrix is diagonalizable.\n";
    }
}

int main() {
    Matrix2d A;
    A << 2, 1,
         0, 2;  // Jordan块，不可对角化
         
    checkDiagonalizability(A);
    return 0;
}

应用实例

MATLAB应用：矩阵幂的计算

A = [1 2; 3 4];
[P, D] = eig(A);

% 计算A^5
A_pow_5 = P * (D^5) * inv(P);
disp('A^5:');
disp(A_pow_5);

C++应用：矩阵指数

Matrix2d A;
A << 1, 2,
     3, 4;
     
EigenSolver<MatrixXd> es(A);
MatrixXcd P = es.eigenvectors();
MatrixXcd D = es.eigenvalues().asDiagonal();

// 计算exp(A) = P * exp(D) * P^(-1)
MatrixXcd expD = D.array().exp().matrix().asDiagonal();
MatrixXcd expA = P * expD * P.inverse();

std::cout << "Matrix exponential exp(A):\n" << expA << "\n";