最小二乘法拟合圆

普通最小二乘法拟合圆的公式推导

问题描述

给定一组二维点 $(x_i,y_i)$，寻找一个圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，使得这些点到圆的距离的平方和最小。

推导过程

1. 圆的方程：
   圆的标准方程为：
   $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$
   展开后为：
   $$x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$$

2. 误差函数：
   对于每个点 $(x_i,y_i)$，误差定义为该点到圆的距离的平方：
   $$e_i=(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r^2$$
   总误差为所有点的误差平方和：
   $$E=\sum _{i=1}^n{\left[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r^2\right]}^2$$

3. 最小化误差：
   为了最小化 $E$，我们需要对 $a,b,r$ 求偏导并令其为零：
   $$\frac{\partial E}{\partial a}=0,\frac{\partial E}{\partial b}=0,\frac{\partial E}{\partial r}=0$$

4. 构造线性方程组：
   展开误差函数并整理，得到以下线性方程组：
   $$\{\begin{array}{l}{\sum }_{i=1}^n(x_i-a)(-2)\cdot \left[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r^2\right]=0\\ {\sum }_{i=1}^n(y_i-b)(-2)\cdot \left[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r^2\right]=0\\ {\sum }_{i=1}^n(-2r)\cdot \left[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r^2\right]=0\end{array}$$

5. 解方程组：
   通过矩阵求逆或迭代方法（如高斯-牛顿法）求解上述方程组，得到 $a,b,r$ 的最优解。

最终公式

普通最小二乘法拟合圆的公式为：
$$\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2n}{\sum }_{i=1}^n\left(x_i-\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^3+{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{x}_i{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2+{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2-\frac{1}{n}{\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i\right)}^2-\frac{1}{n}{\left({\sum }_{i=1}^n{y}_i\right)}^2}\right)\\ b=\frac{1}{2n}{\sum }_{i=1}^n\left(y_i-\frac{{\sum }_{i=1}^n{y}_i^3+{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{y}_i{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{y}_i{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2+{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2-\frac{1}{n}{\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i\right)}^2-\frac{1}{n}{\left({\sum }_{i=1}^n{y}_i\right)}^2}\right)\\ r=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\left((x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2\right)}\end{array}$$

带有约束的最小二乘法拟合圆的公式推导

问题描述

给定一组二维点 $(x_i,y_i)$，寻找一个圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，使得这些点到圆的距离的平方和最小，同时满足某些约束条件（例如圆心位置或半径固定）。

推导过程

1. 引入约束条件：
   假设约束条件为 $g(a,b,r)=0$，例如：

   • 圆心固定：$a=a_0,b=b_0$
   • 半径固定：$r=r_0$

2. 构造拉格朗日函数：
   引入拉格朗日乘数 $\lambda$，构造拉格朗日函数：
   $$\mathcal{L}(a,b,r,\lambda )=\sum _{i=1}^n{\left[(x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r^2\right]}^2+\lambda \cdot g(a,b,r)$$

3. 求导并解方程组：
   对 $a,b,r,\lambda$ 求偏导并令其为零：
   $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a}=0,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b}=0,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}=0,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda }=0$$

4. 解方程组：
   通过矩阵求逆或迭代方法求解上述方程组，得到 $a,b,r$ 的最优解。

最终公式

带有约束的最小二乘法拟合圆的公式取决于具体的约束条件。以下为两种常见约束的公式：

1. 圆心固定：
   $$\{\begin{array}{l}a=a_0\\ b=b_0\\ r=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\left((x_i-a_0{)}^2+(y_i-b_0{)}^2\right)}\end{array}$$

2. 半径固定：
   $$\{\begin{array}{l}r=r_0\\ a=\frac{1}{2n}{\sum }_{i=1}^n\left(x_i-\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i\left((x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r_0^2\right)}{{\sum }_{i=1}^n\left((x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r_0^2\right)}\right)\\ b=\frac{1}{2n}{\sum }_{i=1}^n\left(y_i-\frac{{\sum }_{i=1}^n{y}_i\left((x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r_0^2\right)}{{\sum }_{i=1}^n\left((x_i-a{)}^2+(y_i-b{)}^2-r_0^2\right)}\right)\end{array}$$

总结

• 普通最小二乘法：通过最小化点到圆的距离平方和，求解圆心 $(a,b)$ 和半径 $r$。
• 带有约束的最小二乘法：在普通最小二乘法的基础上，引入约束条件（如圆心或半径固定），通过拉格朗日乘数法求解最优解。