分解正整数

1、题目描述

小红拿到了一个数x，她准备将x分解为若干个数之和，希望这些数乘积尽可能大。请你输出最终的乘积。
可以证明，该乘积一定为有理数。请你输出约分后分数的形态。

 输入描述

输入一个正整数 x
1<=x<=20

 输出描述

输出两个正整数，分别表示答案的分子和分母(要求是最简分数)

示例 1

输入：
4
输出：
4 1

实例2

输入：
7
输出：
343 27
说明:将7分为三个 7/3即可

 2、解题思路

要解决这个问题，我们需要将给定的正整数x分解为若干个数之和，使得这些数的乘积最大。根据数学理论，当这些数尽可能接近自然对数e（约2.718）时，乘积最大。对于整数分解，最优解是将x分解为尽可能多的3，如果剩余1则拆出一个3与1组成两个2。

方法思路

1. 特殊情况处理：当x小于等于4时，直接返回x本身，因为分解不会使乘积更大。

2. 分解为3的倍数：尽量将x分解为多个3的和。例如，x=7分解为3+3+1，但1与3组合成两个2（3+2+2）。

3. 计算乘积：根据分解后的数字计算乘积。例如，7分解为3+2+2，乘积为3×2×2=12。

4. 处理分数情况：如果分解后的数中包含分数（如7分解为三个7/3），则需要计算分数的乘积并约分。

import java.util.Scanner;

public class Main {
    // 计算最大公约数,辗转相除法（欧几里得算法）
    // 通过反复用除数除以余数，直到余数为0，最后的除数就是最大公约数。
    public static int gcd(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
        }
        return a;
    }

    // 约分分数
    public static void simplify(int[] fraction) {
        int commonDivisor = gcd(fraction[0], fraction[1]);
        fraction[0] /= commonDivisor;
        fraction[1] /= commonDivisor;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int x = scanner.nextInt();

        if (x <= 4) {
            System.out.println(x + " 1");
            return;
        }

        int numThrees = x / 3;
        int remainder = x % 3;

        // 处理余数为1的情况，拆出一个3和1组成两个2
        if (remainder == 1) {
            numThrees--;
            remainder = 4; // 3 + 1 = 2 + 2
        }

        int numerator = 1;
        int denominator = 1;

        // 计算3的numThrees次方
        for (int i = 0; i < numThrees; i++) {
            numerator *= 3;
        }

        // 乘以剩余的部分（可能是2或4）
        if (remainder != 0) {
            numerator *= remainder;
        }

        // 检查是否需要分数分解（当x > 4且x % 3 != 0时）
        if (x > 4 && x % 3 != 0) {
            // 分解为x/(k)的k份，其中k为最接近e的整数（3）
            int k = 3;
            int n = x / k;
            if (x % k != 0) {
                n++;
            }
            numerator = (int) Math.pow(x, n);
            denominator = (int) Math.pow(k, n);
            simplify(new int[]{numerator, denominator});
        } else {
            denominator = 1;
        }

        System.out.println(numerator + " " + denominator);
    }
}

代码解释

1. 输入处理：读取输入的整数x。

2. 特殊情况处理：如果x小于等于4，直接输出x和1。

3. 分解为3的倍数：计算x可以分解为多少个3，并处理余数。如果余数为1，调整分解方式为两个2。

4. 计算乘积：根据分解后的数字计算乘积的分子和分母。

5. 分数分解处理：如果x不能被3整除，则分解为分数形式，计算乘积并约分。

6. 输出结果：输出乘积的分子和分母的最简形式。