抽象代数小述（二之前）
by Amamiya Fuko
月泉西逝去，困于小池间
引言
夜，是风子。
整点抽象的（指代数），如果有希腊奶的概念可以看看前文，标注有重点（所以尽管跳着看）
你问标题的话，二之前就是一啦，所以正确标题为抽象代数小述（一）
参考了张禾瑞老师的《近世代数》
目录
1.集合、映射与代数运算
2.同态
集合、映射与代数运算
集合，指包含了元素的整体，被确定了的存在的整体，定在或定在们的定在，元素在这种把握中被描述为集合的元（反正这概念太基础了我发发电玩-V_V-）
暂且认为集合有着四种形式，空集与非空集，有限集与无限集。
映射是集合的元素之间关系，如A集与B集的一一映射，描述的就是A中的每一元素都有B中的元素与之唯一对应，例如设 x ∈ A , y ∈ B , f ( x ) = y = x ∗ k ∣ k 为一常数 x\in A,y \in B,f(x)=y=x*k | k为一常数 x∈A,y∈B,f(x)=y=x∗k∣k为一常数 函数f就是一个A到B的映射 A → B = f ( A ) A\to B = f(A) A→B=f(A)
映射有着不同的形式，上面提到的一一映射是其中的一种特殊的映射。设有一映射 A → B A\to B A→B对于某一 y ∈ B y\in B y∈B而言，其逆运算可能的"x\in A"被称为逆象，而其自身，也就是y被称为象，象与逆像之间并不一一对应，甚至B中的元（元素）也并不全然作为A中的元的象。
对于某种映射，如果有，任意B中的元都作为A中的元的象，那么我们称之为满射
∀ y = f ( x ) ∣ x ∈ A , y ∈ B \forall y = f(x)|x \in A,y \in B ∀y=f(x)∣x∈A,y∈B
对于某种映射，如果有，任意B中的元的象与任意别一个B中的元的象不同，我们称之为单射
∀ f ( x ) ! = f ( y ) ∣ x , y ∈ A , x ! = y \forall f(x)!=f(y)| x,y\in A,x!=y ∀f(x)!=f(y)∣x,y∈A,x!=y
假如有一映射即是单射又是满射，则其为一一映射。
变换是一种特殊的映射，其为某一集合与其自身的映射
A → A A\to A A→A
代数运算是一个满足封闭性的映射
A → A A \to A A→A
同态
同态是描述运算之间的关系
设A到B有映射f，A到A有运算g，B到B有运算g’，则若有
f ( g ( A ) ) = g ′ ( f ( A ) ) ( A → A ) → B = ( A → B ) → B \begin{array}{rcl} f(g(A)) & = & g'(f(A)) \\ (A\to A) \to B & = & (A \to B) \to B \end{array} f(g(A))(A→A)→B==g′(f(A))(A→B)→B
则我们说这两个运算是同态的，假如映射f是满射，那么我们进一步地说这是一个同态满射，反之为同态单射，若为一一映射，则我们称其为同构