问题背景
标签传播算法（Label Propagation Algorithm, LPA）主要解决的是数据标注不足的实际问题。在许多现实世界的机器学习任务中，获取大量标注数据（即带有正确标签的样本）成本高昂，例如需要专家参与（如医疗影像标注）或耗费大量时间（如语音转录）。
未标注数据通常包含有关数据分布的宝贵信息，例如数据点之间的相似性或聚集模式（流形结构）。
LPA通过构建图结构，基于数据的相似性（流形假设：相似的数据点倾向于具有相同标签）将已知标签传播到未标注数据，挖掘未标注数据的潜在结构。这是一种半监督学习的算法。
基本假设
（1）样本可用性假设：未标记的样本获取成本较低，所以有更多未标记的样本可供选择（相比已标记样本）
（2）流形假设：数据点在高维空间中分布在一个低维流形上，相似的数据点（即在流形上靠近的点）更有可能具有相同的标签。
（3）平滑性假设：模型的预测函数在数据空间中应该是平滑的
（4）簇假设：数据的不同类别形成分离的簇，决策边界应位于低密度区域，而不是穿过高密度区域。
算法步骤
（1）构建图结构
将所有数据点（已标记和未标记，共 M + N M+N M+N 个，其中 M M M 是已标记数据， N N N 是未标记数据）表示为图的节点。
边的权重 w i , j w_{i,j} wi,j 表示节点 i i i 和 j j j 之间的相似度（例如，基于欧氏距离、余弦相似度或高斯核）。通常只连接最近邻节点（通过 k-NN 或 ϵ \epsilon ϵ-邻域方法）以减少计算复杂度。
（2）构建转移矩阵
构造一个 ( M + N ) × ( M + N ) (M+N) \times (M+N) (M+N)×(M+N) 的转移矩阵 T \mathbf{T} T，表示从节点 j j j 到节点 i i i 的归一化转移概率。其中
T i , j = w i , j ∑ k w i , k \mathbf{T}_{i,j} = \frac{w_{i,j}}{ \underset{k}{\sum}w_{i,k}} Ti,j=k∑wi,kwi,j
T \mathbf{T} T 反映了标签传播的强度，基于数据点之间的相似性。
（3）初始化标签矩阵
定义一个 ( M + N ) × C (M+N) \times C (M+N)×C 的标签矩阵 Y \mathbf{Y} Y，其中 C C C 是类别数。
对于已标记数据， Y \mathbf{Y} Y 的对应行初始化为独热编码（one-hot，例如 [ 1 , 0 , 0 ] [1, 0, 0] [1,0,0] 表示类别 1）。
对于未标记数据， Y \mathbf{Y} Y 的对应行初始化为零向量或均匀分布。
（4）迭代传播标签
迭代更新： Y ← T Y \mathbf{Y} \leftarrow \mathbf{T} \mathbf{Y} Y←TY，即通过转移矩阵传播标签概率。每次迭代后，归一化 Y \mathbf{Y} Y 的每一行，使其表示有效的概率分布。
对于已标记数据，固定其标签（将对应行重新设为独热编码），以防止标签被覆盖。
重复迭代直到 Y \mathbf{Y} Y 收敛（标签概率稳定）或达到最大迭代次数。
（5）输出预测
收敛后， Y \mathbf{Y} Y 的每一行表示对应数据点的类别概率分布。
对未标记数据，取最大概率的类别作为最终预测标签。
数学原理解剖
现在我们有了一张图 G = ( V , E ) \mathbf{G} = (\mathbf{V}, \mathbf{E}) G=(V,E)，其中点集 ∣ V ∣ = M + N |\mathbf{V}|=M+N ∣V∣=M+N，边集 E = { e u , v = ( u , v , w u v ) } \mathbf{E} = \set{e_{u, v} = (u, v, w_{uv})} E={eu,v=(u,v,wuv)}，还有了一个标签矩阵 Y ∈ R ( M + N ) × C \mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{(M+N) \times C} Y∈R(M+N)×C，一个转移矩阵 T ∈ R ( M + N ) × ( M + N ) \mathbf{T} \in \mathbb{R}^{(M+N) \times (M+N)} T∈R(M+N)×(M+N)，我们来分析步骤中矩阵乘法在图上的意义：
（1）独热编码，初始化：如果某个点 i i i的标签是 2 2 2，标签集合为 { 1 , 2 , 3 } \set{1, 2, 3} {1,2,3}，则它的独热编码为 p i ( 0 ) = [ 0 , 1 , 0 ] p^{(0)}_i = [0, 1, 0] pi(0)=[0,1,0]，这里实际上表示了它标签的概率分布。
对于这个 i i i（实际标签确定），则它标签为 2 2 2的概率为 100 % 100\% 100%，其余为 0 % 0\% 0%；
对于不确定标签的点，初始化为全零（注意这不是一个合法的概率分布，因为总和不为1，所以后续更新需要不断进行归一化）
（2）迭代更新： Y ( t + 1 ) = T Y ( t ) \mathbf{Y}^{(t+1)} = \mathbf{T} \mathbf{Y}^{(t)} Y(t+1)=TY(t)，每个节点的标签概率变成它所有邻居标签概率的加权平均，权重就是边的相似度。
假设某个点第 t t t次迭代的概率分布为 p i ( t ) = [ p i , 1 ( t ) , . . . , p i , C ( t ) ] p^{(t)}_i = [p^{(t)}_{i,1}, ..., p^{(t)}_{i,C}] pi(t)=[pi,1(t),...,pi,C(t)]，这是 Y \mathbf{Y} Y的第 i i i行；它对应的转移向量为 T i = [ T i , 1 , . . . , T i , ( M + N ) ] T_{i} = [T_{i,1}, ..., T_{i,(M+N)}] Ti=[Ti,1,...,Ti,(M+N)]，它是 T \mathbf{T} T的第 i i i行，则下一次更新的概率分布应为：
p i ( t + 1 ) = ∑ M + N k = 1 T i , k p k ( t ) p_{i}^{(t+1)} = \underset{k=1}{\overset{M+N}{\sum}}T_{i, k}p_{k}^{(t)} pi(t+1)=k=1∑M+NTi,kpk(t)
即每个点 k k k根据转移的权重把它们的分布加给点 i i i。于是写成矩阵的样子也就是 Y ( t + 1 ) = T Y ( t ) \mathbf{Y}^{(t+1)} = \mathbf{T} \mathbf{Y}^{(t)} Y(t+1)=TY(t)
（3）归一化：保证每个点的概率分布总和为 1 1 1，否则不是个合法的概率。
算法收敛性
怎么理解这个算法最终会趋于稳定？这里给出粗略的直观理解。
关键在于有已知标签的点的存在，它们从始至终都是稳定的。而每次更新，不确定的点都会根据相似性从邻居那里获取信息，从而使信息不断在图中散布，稳定性从确定点开始不断影响不确定的点，最终使整张图趋于稳定。