数学分析——一致性(均匀性)和收敛-EW帮帮网

注意，为了定义 f 在 c 点处的连续性，点 c 必须属于 f 的定义域 A 。若点 c 是 A 的一个孤点(注：在定义域中只有一个点)，则连续的条件自动成立，因为对于足够小的 δ > 0 ，满足 | x - c | < δ 的唯一点就是 x = c ，则 0 = | f (x) - f (c)| < ε 。因此函数在其定义域的每一个孤点都连续，因此孤点不太有趣。

若 c∈A 是 A 的一个聚点(accumulation point)，则 f 在 c 点处的连续性等价于条件

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{f(x)}=f(c)$

其指的是，f 随着 x ⟶ c 的极限存在，并且恰好等于f 在 c 点处的函数值。

1.2 连续函数的性质

1.2.1 性质一

若 f ,g ：A ⟶ ℝ 在 c∈A 处是连续的且 k∈ℝ ，则 kf ，f + g 和 fg 在 c 处是连续。此外，若 g(c) ≠ 0 ，则 f /g 在 c 处是连续的。

1.2.2 性质二

每一个多项式函数在 ℝ 上都是连续的， 每一个比率函数在其定义域内都是连续的。

1.2.3 性质三

令 f ：A ⟶ ℝ 和 g ：B ⟶ ℝ 为两个映射，且 f (A) ⊂ B 。若 f 在 c∈A 处连续而 g 在 f (c)∈B 处连续，则 g ○ f ：A ⟶ ℝ 在 c∈A 处连续。(○ 表示复合函数。)

1.2.4 性质四

令 f ：A ⟶ ℝ 和 g ：B ⟶ ℝ 为两个映射，且 f (A) ⊂ B 。若 f 在 A 上连续而 g 在 f (A) 上连续，则 g ○ f 在A 上连续。(○ 表示复合函数。)

2. 一致连续函数

一致连续性是一种微妙但有力的连续性增强。

2.1 一致连续函数的定义

定义 2.1 令 f ：A ⟶ ℝ 为一个映射，其中 A ⊂ ℝ ，并假设 c∈A 。若对于每一个 ε > 0 ，都存在一个 δ > 0 ，使得只要

| x - y | < δ 且 x ，y∈A ，就有 | f (x) - f (y) | < ε ,

则称函数 f 在 A 上是一致连续的。

也就是说，这样的 δ 对于任意的 ε 都适用，不管你ε 多小，我这个 δ 都适用。

这个定义的关键点在于，δ 仅取决于 ε ，而与 x 和y无关，也就是说 x 和y 是任意两点 。一个在A的每一点一致连续的函数必定在 A的每一点连续，但反之不成立。

例子1：函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 (0,+ ∞) 上是连续的，如下图所示：

但其在此区间上不是一致连续的。从图上直观地可以看出，找不到一个对于已知 ε 和任意两点都成立的 δ 。 事实上，在图中我们试图表明，给定一个特定的 ε，我们被迫使 δ 越来越小才能赢得这个 ε的比赛，因为我们会使用更接近 0 的 y ，而且似乎这个过程不会停止，没有 δ会普遍起作用。对于同样一个 ε ，可以找到某个 δ 在某个位置满足 | x - y | < δ ，但当往 0 移动的时候，这个函数差值就会大于 ε ，因此这个 δ 不能对所有 ε 都成立。

但若我们将此函数的定义域限定为 [1 ,+ ∞) ，则此函数是一致连续的。如下图所示

我们可以在“末端”取得这个 δ ，使其对于所有的 ε 都成立。也就是说，如果任意给一个 ε ，如果我这个 δ 取在末端，不管你这个 | x - y | 位置怎么摆动，都能满足一致收敛条件。这个是理解的难点。

2.2 一致连续性定理(小间距定理)(一致连续函数的另一种定义)

令 f 为一个实函数且在闭区间 [a,b] 上连续，并令 M( f ) 和 m( f ) 分别表示 f 在 [a,b] 上的最大值和最小值。我们称其差值

M( f ) - m( f )

为 f 在区间 [a,b] 上的间距或跨度(span)。一些作者使用术语摆距(oscillation)来代替间距，摆距的缺点是会让人联想到波动或波状的函数。较早的文献使用 saltus (急变)这个词，其是leap对应的拉丁词。“间距”这个词似乎更能说明这里所度量的内容。我们注意到，[a,b] 的任意子区间中的 f 的间距都不会超越 f 在 [a,b] 中的间距。

可以证明，可以分割 [a,b] 使得f 在每一个子区间中的间距都任意小。更确切地说，我们有以下连续函数的小间距定理。在文献中通常称其为关于一致连续的小间距定理。

(关于一致连续的)小间距定理：令 f 为闭区间 [a,b] 上的一个连续函数。则对于每一个 ε > 0 ,存在 [a,b] 的一个有限数量的子区间分割，使得 f 在每一个子区间中的间隔小于 ε 。

2.3 一致连续性判定法

定理令 [a,b] 为一个实数闭区间，f : [a,b]⟶ ℝ 为一个连续函数。则 f 在 [a,b] 上是一个一致连续函数。

说明：即闭区间上的连续函数必定一致连续，因为其可以在“端点处”取得适用于全局的 δ ，即这种要求 δ 越来越小才能满足 ε 的趋抛是有尽头的，如果这个区间无界，则对于有些函数而言，比如 1/x ，这种趋势就没有终点，无穷无尽。

2.4 连续函数与一致连续函数的区别

当我们讨论一个函数 f 在某点连续的时候，我们关注的仅仅是函数在此点附近的值的行为。一致连续是一个比连续更强的性质，是做某些扩展的时候基本的要求。就比如函数 $f(x)=\frac{1}{x^{2}-2}$ ，当定义有比率数(有理数)上的时候，它是成立的，但如果扩展到实数上，它则是不成立的。

但当我们考虑函数 f 在其定义域上一致连续的时候，我们需要知道f在整个定义域上的值。因此连续性是一个局部性的概念，而一致连续是一个全局概念。所以针对一个点讨论一致连续是没有意义的。

一致连续定义在一个集合上；不同于连续性，其没有局部对应特性。一致连续确保了当在定义域上滑动的时候，定义在无界区间或复杂集合上的函数不会剧烈地无限振荡，而定义在闭区间上的连续函数由于可以取得端点，函数是有界的，其振荡有限。一致连续性在数学的各个领域都至关重要，包括分析、拓扑和度量空间。它用于涉及收敛、积分和微分的证明，一致连续函数可扩展性的一个典型应用是逆Fourier变换公式的证明。

3. 函数的序列和级数(无穷和)的一致收敛性

函数序列的收敛性有许多不同的定义方式，不同的定义会导致不等价的收敛类型。我们在此考虑两种基本类型：逐点收敛和一致收敛。

3.1 逐点收敛的定义

逐点收敛用函数值在其定义域内每一点的收敛来定义函数的收敛，关注的是局部特性。

(逐点收敛)定义设 $(f_{n})$ 是一个定义为 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数序列，并设 f ：A ⟶ ℝ 为另一个映射。则若对于每一个 x∈A ，随着 $n \rightarrow \infty$ 有 $f_{n} (x)\rightarrow f (x)$ ，则称按逐点收敛有 $f_{n} \rightarrow f(x)$ 。

若 $f_{n}$ 逐点收敛于 f ，则我们称函数序列 $(f_{n})$ 逐点收敛，在这种情况下有

$\displaystyle f (x) = \lim_{n \rightarrow \infty}{f_{n}(x)}$ 。

逐点收敛或许是定义函数收敛最直观的方法，也是最重要的方法之一。然而，正如以下示例所示，它的表现并不像人们最初预期的那样良好。

(1) 例1 假设 $f_{n} :(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

$\displaystyle f_{n} (x) =\frac{n}{nx+1}$ ，

由于 x ≠ 0 ， $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x+1/n} = \frac{1}{x}$ ，因此， $f_{n} \rightarrow f$ 是一致的，其中 f ：(0,1) ⟶ ℝ 定义为

$\displaystyle f (x) = \frac{1}{x}$ 。

如图：

(注：因此通过研究序列特性，就能预知其收敛到的函数的一些特性(如果收敛)。而研究序列更为容易。)

对于所有的 x∈(0,1)，我们有 $|f_{n} (x)| < n$ , 因此，每一个 $f_{n}$ 在 (0,1) 都是有界的，但这个逐点收敛的极限 f 不是有界的。因此，通常(仅)逐点收敛的函数序列不是保界的。

(2) 例2 假设映射 $f_{n} :(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为 $f_{n} = x^{n }$ 。若 0 ≤ x < 1 ，则随着 $n \rightarrow \infty$ 而有 $x^{n} \rightarrow 0$ ，而若 x = 1 ，则 $n \rightarrow \infty$ 而有 $x^{n} \rightarrow 1$ 。因此按逐点收敛有 $f^{n} \rightarrow f$ ，其中

$f(x)=\left \{ \begin{array}{lrc} 0\quad (\text{if}\; 0 \leq x <1),\\\\ 1\quad (\text{if}\; x=1) .\end{array} \right .$

如图：

尽管函数序列 $f_{n}$ 在 [0,1] 上是连续的，但其逐点(收敛的)极限 f 却不是连续的 (其在x = 1 处不连续)。

(3) 例3 映射 $f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

$f(x)=\left \{ \begin{array}{lrc} 2n^{2}x\quad (\text{if}\; 0 \leq x \leq \frac{1}{2n}),\\\\ 2n^{2}(\frac{1}{n}-x) \quad (\text{if}\; \frac{1}{2n}<x<\frac{1}{n}) , \\\\ 0\quad (\text{if}\; \frac{1}{n} \leq x \leq 1) . \end{array} \right .$

若 0 < x ≤ 1 ，则对于所有 n ≥ 1/x 则 $f_{n} (x) = 0$ ，因此随着 $n \rightarrow \infty$ 而有 $f_{n} (x) \rightarrow 0$ ；而若 x = 0 ，则对于所有 n ， $f_{n} (x) = 0$ ，因此也有 $f_{n} (x) \rightarrow 0$ 。可以推导出在 [0,1] 上 $f_{n} (x) \rightarrow 0$ 是逐点的。即使随着 $n \rightarrow \infty$ 而 $f_{n} (x)=n \rightarrow \infty$ 也是如此。因此，逐点收敛函数序列 $(f_{n})$ 不要求一致有界(即，其界与 n 无关)，即使它收敛于0。

(4) 例4 映射 $f_{n} :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

$\displaystyle f_{n} (x) = \frac{\sin{(nx)}}{n}$ 。

在 ℝ 上 $f_{n} \rightarrow 0$ 是逐点的。导数 $f^{'}_{n}(x)=\cos{(nx)}$ 的导数序列 $( f_{n}^{'} )$ 在 ℝ 上并不一致收敛，例如

$f^{'}_{n}{(\pi)}=(-1)^{n}$

并不随着 $n \rightarrow \infty$ 而收敛。因此，一般来说，逐点收敛序列无法微分。这种现象并不局限于逐点收敛序列，而是因为一个快速振荡的小函数的导数可能很大。

3.2 一致收敛的定义

一致收敛是一个比逐点收敛更强的函数收敛概念。逐点收敛与一致收敛的区别类似于连续性与一致连续性的区别。

(一致收敛性)定义设 $(f_{n})$ 是一个定义为 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数序列，并设 $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ 为另一个映射。则若对于每一个 ε > 0，都存在一个 N∈ℕ ，使得对于任意的 x∈A ，只要 n > N ，就有

$|f_{n}-f|<\epsilon$ ,

则称函数序列 $f_{n}$ 在 A 上随着 $n \rightarrow \infty$ 是一致收敛于 f 的。通常，我们忽略其域 A ，称 $f_{n} \rightarrow f$ 是一致的。

此定义的关键在于，N 仅取决于ε ，而不取决于 x ∈ A；而对于逐点收敛的序列，N 可能同时取决于ε和 x 。一致收敛的序列始终逐点收敛(至同一极限)，但反之则不然。如果序列逐点收敛，则可能发生以下情况：对于某些ε > 0，可能需要为 x ∈ A 的不同点选择任意大的 N，这意味着值序列会以任意缓慢的速度收敛于 A 。在这种情况下，逐点收敛的函数序列并非一致收敛。

下面用两例对比逐点收敛和一致收敛。

一个连续函数序列的极限函数未必是连续函数(因为它不满足一致收敛的条件)：

例如，对于函数序列 $f_{n} (x) = \sin^{n}(x)$ ，图中绿曲线和蓝色曲线所示，其在整个域上逐点收敛，但其极限函数是不连续的(图中红色所示)，因为此函数序列的振荡幅度很大。因此，为了得到极限是一个连续的函数，我们就必须施加一致连续的要求。

而一致收敛函数序列示意图如下：

3.3 一致收敛的Cauchy充要条件

(一致收敛的Cauchy充要条件)定义设 $(f_{n})$ 是一个定义为 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数序列。则若对于每一个 ε > 0，都存在一个 N∈ℕ ，使得对于任意的 x∈A ，只要 m , n > N (m , n 均为正整数)，就有

$|f_{m} - f_{n} | < \epsilon$ ，

则称函数序列 $f_{n}$ 是一致 Cauchy 函数序列。

定理(Cauchy一致收敛判别法) 设 $(f_{n})$ 是一个定义为 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数序列。则当且仅当其 是 A 上的一个 一致收敛的 Cauchy 函数序列时其一致收敛。

3.4 一致收敛函数序列的性质

3.4.1 有界性

定理假设 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 对于 A 上的每一个 n∈ℕ 都是有界的，并且在 A 上 $f_{n} \rightarrow f$

是一致的。则 f ：A ⟶ ℝ 在A 上是有界的。

具体而言，如果有界函数序列逐点收敛(而非一致收敛)于无界函数，则收敛不是一致收敛的。

3.4.2 连续性

一致收敛的一个最重要的属性之一是其保连续性。

定理若一个连续函数族 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的序列 $(f_{n})$ 在 A ⊂ ℝ 上一致收敛于函数 $f :A \rightarrow \mathbb{R}$ ，则 f 在 A 上连续。如果一个连续函数序列逐点收敛于一个不连续函数，则该收敛不是一致(均匀)的。然而，反之则不成立，即使连续函数序列的收敛不是一致的，其逐点极限也可能是连续的，

3.4.3 可微性

可微函数的一致收敛通常并不意味着其导数的收敛或极限的可微性。可能因为两个函数的值可能很接近，而它们的导数的值却相距甚远。因此，如果我们希望证明 $f_{n} \rightarrow f$ 意味着 $f_{n}^{'} \rightarrow f$ ，就必须对一系列函数及其导数施加强条件。

定理假设 $(f_{n})$ 是一个可微函数族 $f_{n} :(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ 的序列，且 $f_{n} \rightarrow f$ 是逐点的，而 $f_{n}^{'} \rightarrow g$ 对于某个 $f , g : (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ 是一致的。则 f 在 (a,b) 上可微且 $f^{'}=g$ 。