[蓝桥杯]最优包含

最优包含

题目描述

我们称一个字符串 SS 包含字符串 TT 是指 TT 是 SS 的一个子序列，即可以从字符串 SS 中抽出若干个字符，它们按原来的顺序组合成一个新的字符串与 TT 完全一样。

给定两个字符串 SS 和 TT，请问最少修改 SS 中的多少个字符，能使 SS 包含 TT ？

其中，1≤∣T∣≤∣S∣≤10001≤∣T∣≤∣S∣≤1000。

输入描述

输入两行，每行一个字符串。

第一行的字符串为 SS，第二行的字符串为 TT。

两个字符串均非空而且只包含大写英文字母。

输出描述

输出一个整数，表示答案。

输入输出样例

示例

输入

ABCDEABCD
XAABZ

输出

3

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

总通过次数: 1879  |  总提交次数: 2244  |  通过率: 83.7%

难度: 中等   标签: 2019, 国赛, 动态规划

方法思路

这个问题要求我们找到最少需要修改字符串S中的多少个字符，使得字符串T成为S的子序列。关键在于动态规划的应用，通过构建一个二维数组来记录状态转移，从而高效地解决问题。

动态规划思路：

1. 状态定义： 定义dp[i][j]表示考虑S的前i个字符和T的前j个字符时，最少需要修改的字符数目，使得T的前j个字符是S的前i个字符的子序列。

2. 初始化：

   • dp[0][0] = 0表示两个空字符串不需要任何修改。

   • 对于i > 0且j = 0的情况，dp[i][0] = 0，因为T为空时不需要任何字符。

   • 对于j > 0且i = 0的情况，dp[0][j] = INF（无穷大），因为S为空时无法包含非空的T。

3. 状态转移：

   • 如果S[i-1] == T[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，即当前字符匹配，无需修改。

   • 否则，dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1] + 1, dp[i-1][j])，即可以选择修改当前字符（增加修改次数）或者不匹配当前字符（保持之前的修改次数）。

4. 结果提取： 最终的结果是dp[m][n]，其中m和n分别是S和T的长度。我们需要在所有可能的起始位置中找到最小的修改次数，即遍历dp[i][n]，其中i从n到m。

   #include <iostream>
   #include <vector>
   #include <string>
   #include <algorithm>
   using namespace std;
   
   int main() {
       string S, T;
       cin >> S >> T;
       int m = S.size();
       int n = T.size();
       
       // dp[i][j] 表示S的前i个字符包含T的前j个字符所需的最小修改次数
       vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
       
       // 初始化：当T为空串时，不需要任何修改
       for (int i = 0; i <= m; ++i) {
           dp[i][0] = 0;
       }
       // 初始化：当S为空串且T非空时，无法包含，设为无穷大（这里用m+1代替，因为最大修改次数不会超过m）
       for (int j = 1; j <= n; ++j) {
           dp[0][j] = m + 1; // 表示不可达
       }
       
       for (int i = 1; i <= m; ++i) {
           for (int j = 1; j <= n; ++j) {
               if (S[i - 1] == T[j - 1]) {
                   dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
               } else {
                   dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i - 1][j]);
               }
           }
       }
       
       // 在S的所有可能位置中寻找最小的修改次数
       int result = m + 1;
       for (int i = n; i <= m; ++i) {
           result = min(result, dp[i][n]);
       }
       
       cout << result << endl;
       
       return 0;
   }

   代码解释

5. 输入处理： 读取两个字符串S和T。

6. 初始化动态规划数组： dp[i][j]用于存储状态，初始时处理边界条件（空字符串的情况）。

7. 状态转移： 遍历S和T的每个字符，根据字符是否匹配更新状态。若字符匹配，则直接继承之前的状态；否则，选择修改当前字符或跳过当前字符中的较小值。

8. 结果提取： 在所有可能的结束位置中查找最小的修改次数，确保T是S的子序列。

9. 输出结果： 打印最少需要修改的字符数目。