【统计方法】基础分类器: logistic, knn, svm, lda

均方误差（MSE）理解与分解

在监督学习中，均方误差衡量的是预测值与实际值之间的平均平方差：

$$\text{MSE}=\mathbb{E}[(Y-\hat{f}(X){)}^2]$$

MSE 可以分解为三部分：

$$\text{MSE}={\text{Bias}}^2(\hat{f}(x_0))+\text{Var}(\hat{f}(x_0))+\text{Var}(\epsilon )$$

• Bias：预测值与真实值期望的偏离
• Variance：模型在不同训练集下预测结果的波动
• Irreducible error：不可消除的噪声

理解偏差-方差权衡有助于模型选择与调参。

模型复杂度与偏差-方差权衡

• 高复杂度模型（如深度树、低 k 的 kNN）：偏差小但方差大，容易过拟合。
• 低复杂度模型（如线性回归、大 k 的 kNN）：偏差大但方差小，容易欠拟合。

举例：

分类问题的基本框架

每个观测包含：

• 类别标签 $y$（如 0/1）
• 特征向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_p)$

模型目标是使用 $\mathbf{x}$ 来预测 $y$。

通常模型输出的是类别概率，例如某个样本属于类别 1 的概率为 0.85。需要通过设定阈值（如 0.5）将概率转化为具体类别。

分类 vs 聚类

• 分类：监督学习，训练集中有类别标签
• 聚类：无监督学习，无标签，需要自动识别分组结构

逻辑回归（Logistic Regression）

逻辑回归模型形式：

$$\log \left(\frac{p}{1-p}\right)={\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{\beta }$$

其中 $p=P(Y=1\mid \mathbf{x})$。

Sigmoid 函数将线性预测值映射到 $(0,1)$：

$$p=\frac{1}{1+\exp (-{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{\beta })}$$

我们通过最大化对数似然函数估计 $\mathbf{\beta }$：

$$\ell (\beta )=\sum _{i=1}^n\left[y_i\log (p_i)+(1-y_i)\log (1-p_i)\right]$$

决策边界

当 $p\ge 0.5$（即 ${\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{\beta }\ge 0$）时，预测为正类。

线性判别分析（LDA）

LDA 假设各类数据服从高斯分布，并具有相同协方差矩阵。利用贝叶斯公式：

$$P(Y=k\mid X=x)=\frac{{\pi }_k{f}_k(x)}{{\sum }_{\ell =1}^K{\pi }_{\ell }{f}_{\ell }(x)}$$

• ${\pi }_k$：第 $k$ 类的先验概率
• $f_k(x)$：特征在第 $k$ 类的密度（正态分布）

LDA 适用于小样本、高斯假设成立的情况。

k 最近邻（kNN）

kNN 是一种非参数方法，预测类别基于最近的 $k$ 个样本：

P ( Y = ℓ ∣ x ) = 1 k ∑ i ∈ N x k 1 { y i = ℓ } P(Y = \ell \mid x) = \frac{1}{k} \sum_{i \in N_x^k} \mathbb{1}_{\{y_i = \ell\}} P(Y=ℓ∣x)=k1​i∈Nxk​∑​1{yi​=ℓ}​

优点：

• 简单直观
• 适合非线性边界

缺点：

• 计算量大
• 对尺度敏感
• 不易解释变量重要性

kNN 与 LDA 和逻辑回归的比较

k 最近邻（kNN）是一种完全非参数方法，这意味着它不对决策边界的形状作任何假设。

优点

• 无需假设边界形状：kNN 自然适应数据的实际分布，能够捕捉复杂的、非线性的分类边界。
• 模型训练几乎为零成本：不需要显式拟合参数，直接对新样本进行“查找邻居”。
• 当决策边界高度非线性时，kNN 往往优于 LDA 与逻辑回归。

缺点

• 解释性差：kNN 不提供系数或变量重要性指标，因此难以解释哪些特征起到关键作用。
• 计算效率低：预测新样本时需要计算与所有训练样本的距离，尤其在数据量大时成本高。
• 对噪声敏感：由于是基于邻居投票，kNN 极易受到离群点影响。
• 需要特征标准化：不同量纲的特征会影响距离计算，标准化是必要预处理步骤。

k 的选择至关重要

选择合适的邻居数 $k$ 是模型性能的关键：

• $k$ 太小 → 模型过拟合，方差大，受噪声影响严重
• $k$ 太大 → 模型过于平滑，可能欠拟合，边界模糊

常用做法是通过交叉验证选择最优的 $k$。

总结：

支持向量机（Support Vector Machines, SVM）

支持向量机是一种强大的监督学习算法，其目标是寻找一个最优的决策边界（超平面），将不同类别的数据尽可能“间隔最大”地分开。

什么是超平面？

在 $p$ 维空间中，超平面是一个 $p-1$ 维的平坦空间，其一般形式为：

$${\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\cdots +{\beta }_p{X}_p=0$$

其中，向量 $({\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_p)$ 被称为法向量，它垂直于超平面的表面，定义了决策边界的方向。

在二维空间（$p=2$）中，这个超平面就是一条直线。

分隔超平面与最大间隔分类器（Maximal Margin Classifier）

假设我们将两类样本编码为：

• 良性（Benign）$y_i=-1$
• 恶性（Malignant）$y_i=+1$

若一个超平面 $f(x_i)={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+\cdots +{\beta }_p{x}_{ip}$ 满足对所有样本 $y_{i}f(x_i)>0$，则该超平面成功分隔了两类。

最大间隔分类器旨在最大化分类边界两侧距离最近样本的间隔 $M$：

$$\begin{gathered} \underset{{\beta }_0,{\beta }_1,...,{\beta }_p}{\max }M \\ \text{subject to }\sum _{j=1}^p{\beta }_j^2=1, \\ {y}_i({\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+\cdots +{\beta }_p{x}_{ip})\ge M,\forall i \end{gathered}$$

什么是支持向量？

支持向量是距离决策边界最近的训练样本，它们直接决定了超平面的最终位置。

非完美分隔与软间隔（Soft Margin）

现实中类别不可完全分离或存在噪声。此时我们引入软间隔支持向量分类器（Support Vector Classifier），允许部分样本违背间隔要求：

优化目标：

$$\begin{gathered} \underset{{\beta }_0,...,{\beta }_p,{\epsilon }_1,...,{\epsilon }_n}{\max }M \\ \text{subject to}\sum _{j=1}^p{\beta }_j^2=1 \\ {y}_i({\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+\cdots +{\beta }_p{x}_{ip})\ge M(1-{\epsilon }_i),{\epsilon }_i\ge 0 \\ \sum _{i=1}^n{\epsilon }_i\le C \end{gathered}$$

其中：

• ${\epsilon }_i$ 是松弛变量，表示样本违反边界规则的程度；
• $C$ 是超参数，控制对违反样本的容忍度。

解释：

• ${\epsilon }_i=0$：在正确侧并超出间隔；
• $0<{\epsilon }_i\le 1$：在正确侧但落入间隔；
• ${\epsilon }_i>1$：落入错误分类区域。

高维空间的扩展：非线性边界

有些问题的分类边界在原始特征空间中是非线性的。为处理此类问题，可以通过引入特征映射扩展空间，例如加入 $X_1^2$, $X_1{X}_2$, $X_2^2$ 等新特征，将二维空间变换为更高维空间。

在线性不可分的情况下，这种扩展使得在新空间中可以通过线性超平面完成分隔，在原始空间则呈现非线性边界。

示例决策函数：

$${\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_1^2+{\beta }_4{X}_2^2+{\beta }_5{X}_1{X}_2=0$$

使用核函数（Kernel Trick）

当维度高时显式构造新特征非常耗时，**核技巧（Kernel Trick）**提供了一种无需显式转换的方法：

内积形式

SVM 最终的分类函数可以表示为：

$$f(x)={\beta }_0+\sum _{j=1}^n{\alpha }_j⟨x,x_j⟩$$

只需计算训练样本之间的内积。

核函数

将内积 $⟨x_i,x_j⟩$ 替换为核函数 $K(x_i,x_j)$：

• 多项式核：$K(x_i,x_j)=(1+⟨x_i,x_j⟩{)}^d$
• 高斯径向基核（RBF）：$K(x_i,x_j)=\exp (-\gamma \Vert x_i-x_j{\Vert }^2)$

利用核函数可以构造非线性决策边界而无需显式构造新特征。

R 中的 SVM 实现示例：

svm.model <- svm(x = data.mat[,-3], y = data.mat[[3]],
                 kernel = "radial", type = "C-classification",
                 cost = 64, fitted = FALSE)

多分类扩展

标准 SVM 是为二分类设计的，处理多分类问题时常用以下两种方法：

1. 一对多（One-vs-All）：为每个类别训练一个分类器，与其他类别进行对比。
2. 一对一（One-vs-One）：每两个类别之间训练一个分类器，总共 $K(K-1)/2$ 个分类器。

推荐：

• 类别数 $K$ 较小时，用一对一；
• $K$ 较大时，用一对多以降低计算量。

总结与测验

哪几个模型是非参数分类模型？

• ✗ 逻辑回归（Logistic Regression） → 参数模型
• ✓ 支持向量机（SVM） → 部分非参数（核方法）
• ✓ kNN → 完全非参数
• ✗ 线性判别分析（LDA） → 参数模型

总结

本周我们学习了四种核心分类方法：

理解不同模型的假设和适用条件，有助于你在实践中做出更合理的模型选择。