机器学习傅里叶变换作用及其变体

发布于：2025-06-09 ⋅ 阅读:(20) ⋅ 点赞:(0)

傅里叶分析是数学分析中的核心理论体系，其核心思想是将任意周期函数分解为一系列简谐振动（正弦/余弦波）的叠加。傅里叶分析体系不断演化发展，形成了多种强大的信号处理工具。

一 傅里叶分析基础理论

1.1 傅里叶级数（Fourier Series, FS）

适用对象：周期函数（满足狄利克雷条件），周期信号可以使用，最基础的。

$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)] $

$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$为基波角频率，用于描述周期性信号基本振荡频率。

$n$：谐波次数（n=1为基波，n=2为二次谐波等）

$a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos(n\omega_0 t)dt$将周期函数分解为不同频率的余弦分量

$b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\sin(n\omega_0 t)dt$将周期函数分解为不同频率的正弦分量

组成部分 数学表达 物理/数学意义
系数 $a_n$ 第n次谐波的余弦分量幅度
归一化因子 $\frac{2}{T}$​ 对结果进行归一化处理，确保系数具有正确的量纲
积分核 $f(t)\cos(n\omega_0 t)$ 原始信号与n次谐波的相关性测量
积分区间 $\int_{-T/2}^{T/2}$​ 在一个完整周期内的能量采集
基本元素 $\cos(n\omega_0 t)$ n次谐波的基波振荡形式

复数形式（更简洁）：

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \quad \quad c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)e^{-jn\omega_0 t}dt $

1.2 傅里叶变换（Fourier Transform, FT）

适用对象：非周期函数（信号）

$\Gamma\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt $

$\Gamma ^{-1}\{F(\omega)\} = f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega $（逆）

关键性质：

线性性：$\Gamma\{af(t)+bg(t)\} = aF(\omega)+bG(\omega)$

时移性：$\Gamma \{f(t-t_0)\} = F(\omega)e^{-j\omega t_0}$ 

微分性质：$\Gamma \{\frac{d^n f}{dt^n}\} = (j\omega)^n F(\omega)$

卷积定理：$\Gamma \{f(t)*g(t)\} = F(\omega) \cdot G(\omega)$

二、离散域傅里叶分析

2.1离散时间傅里叶变换（DTFT）

适用对象：离散非周期序列

$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n} $

$x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega $

特点：在$\omega$域连续，但具有周期性（周期$2\pi$）

2.2离散傅里叶变换（DFT）

适用对象：有限长离散序列

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,1,\cdots,N-1 $

$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n=0,1,\cdots,N-1 $

重要属性：

（1）时域/频域均为离散且周期性

（2）主值区间：0~N-1

（3）线性运算，满足循环卷积定理

 2.3 快速傅里叶变换（FFT）

本质：DFT的高效算法

# Python实现（递归Cooley-Tukey算法）
import numpy as np

def fft(x):
    N = len(x)
    if N <= 1: 
        return x
    even = fft(x[0::2])  # 偶部
    odd = fft(x[1::2])   # 奇部
    T = [np.exp(-2j*np.pi*k/N)*odd[k] for k in range(N//2)]
    return [even[k] + T[k] for k in range(N//2)] + \
           [even[k] - T[k] for k in range(N//2)]

三 傅里叶分析主要变体

3.1 短时傅里叶变换（STFT）

目的：解决时频分辨率矛盾（傅里叶变换的全局性问题）

$X(\tau,\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau)x(t)e^{-j\omega t}dt $

# Python实现STFT
import librosa
import matplotlib.pyplot as plt

y, sr = librosa.load('signal.wav')
S = librosa.stft(y, n_fft=2048, hop_length=512)
mag = np.abs(S)

plt.figure(figsize=(12,4))
librosa.display.specshow(librosa.amplitude_to_db(mag), 
                         sr=sr, x_axis='time', y_axis='log')

特点： 

（1）需选择窗口函数（Hanning/Gauss）

（2）海森堡不确定性原理：时频分辨率无法同时最优

3.2 小波变换（Wavelet Transform）

核心理念：使用可缩放、平移的母小波函数（时频局域化）

$W_\psi (a, b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \psi^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right) dt $

主要类型：

（1）连续小波变换（CWT）：参数连续变化

（2）离散小波变换（DWT）：二进缩放：$a = 2^j$，整数平移

3.3 分数阶傅里叶变换（FrFT）

概念：傅里叶变换的广义形式，相当于信号在时频平面旋转

$\mathcal{F}^a f(u) = \int_{-\infty}^{\infty} K_a(u,t) f(t) dt $

其中核函数：

$K_a(u,t) = C_a e^{j\pi (u^2 \cot \alpha - 2ut \csc \alpha + t^2 \cot \alpha)} $

应用领域：

（1）时变信号滤波

（2）非平稳信号检测

（3）雷达信号处理

3.4 离散余弦变换（DCT）

形式：仅使用余弦函数的实变换

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left[\frac{\pi}{N}\left(n+\frac{1}{2}\right)k\right] $

类型：

（1）DCT-I：对称边界条件

（2）DCT-II (JPEG压缩标准)：

$X_k = \sqrt{\frac{2}{N}} \epsilon_k \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left[\frac{(2n+1)k\pi}{2N}\right] $

（3）DCT-III：DCT-II的逆变换

3.5 希尔伯特-黄变换（HHT）

创新：结合经验模态分解(EMD)和希尔伯特变换

原始信号 → EMD 分解 → 本征模函数(IMF) → 希尔伯特变换 → 瞬时振幅/频率

3.6 S变换（Stockwell Transform）

特点：STFT与小波变换的折中方案

$S(\tau,f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \frac{\|f\|}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\tau-t)^2 f^2}{2}} e^{-i2\pi f t} dt $

优缺点：

（1）无窗函数选择困难

（2）分辨率随频率自适应变化

（3）计算复杂度高（O(N³)）

四、傅里叶分析变体性能对比

变换类型 适合信号类型 时频特性 计算复杂度 典型应用
FT 稳态信号 全局平均频谱 O(N log N) 频谱分析
STFT 缓变信号 固定分辨时频 O(N log N) 语谱图
WVD 瞬时频率 最优分辨率 O(N²) 雷达信号
CWT 非稳态信号 多分辨分析 O(N log N) 地震波
FrFT 线性调频 旋转时频面 O(N log N) LFM检测
DCT 相关信号 能量集中 O(N log N) 图像压缩
HHT 高度非稳态 完全自适应 O(N²) 生物信号

五 选择指南 

全局频谱分析 → 标准FT/FFT

平稳+时变特性分析 → STFT（如频谱图）

脉冲/突变信号 → 小波变换（如边缘检测）

压缩/去相关 → DCT/DWT（如JPEG/MP3）

线性调频信号 → FrFT（如雷达信号）

高度非平稳信号 → HHT/S变换（如地震波）

核心准则：根据信号的时频局部化特性和应用需求选择最合适的变换方法。当信号频率成分随时间剧烈变化时，应优先考虑小波变换或HHT；对缓变信号，STFT通常是最佳选择。

傅里叶分析体系是信号处理领域的基石，随着技术进步和理论深化，新的变换方法仍在不断被提出（如压缩感知中的随机傅里叶矩阵），但理解这些核心变换的特性和应用场景将是掌握现代信号处理的关键。 

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