第一章 空间解析几何与向量代数 ~ 空间直角坐标系

第一节 空间直角坐标系

空间卦限的划分图

课后练习

2. 研究在各个坐标面和坐标轴上的点的坐标各有什么特征，指出下列各点在哪个坐标面或坐标轴上：
   A（3,4,0），B（0,4,3），C（3,0,0），D（0，-1,0），E（0,0,7）。

解析：

空间直角坐标系中点P（x,y,z）（x,y,z至少有一个为0）的坐标特征如下：
在x轴上，y、z必为0，在Oyz平面上，x必为0；

在y轴上，x、z必为0，在Oxz平面上，y必为0；

在z轴上，x、y必为0，在Oxy平面上，z必为0.

因此, 点A（3，4,0）在Oxy平面上，点B（0,4,3）在Oyz平面上，点C（3,0,0）在x轴上，点D（0，-1,0）在y轴上，点E（0,0,7）在z轴上。

3. 点（a,b,c）关于各坐标面、各坐标轴、坐标原点的对称点的坐标是什么？

解析：

1. 关于坐标面的对称点
   • 关于(xOy)平面（z = 0）对称
     • 对称点的坐标为(a,b,-c)。在(xOy)平面上，x轴和y轴坐标不变，z轴坐标变为原来的相反数。
     • 例如，点(1,2,3)关于(xOy)平面的对称点是（1,2,-3)。
   • 关于(yOz)平面（x = 0）对称
     • 对称点的坐标为（-a,b,c)。此时y轴和z轴坐标不变，x轴坐标变为原来的相反数。
     • 比如，点（1,2,3)关于(yOz)平面的对称点是（-1,2,3)。
   • 关于(xOz)平面（y = 0）对称
     • 对称点的坐标为（a,-b,c)。这里x轴和z轴坐标不变，y轴坐标变为原来的相反数。
     • 例如，点（1,2,3)关于(xOz)平面的对称点是（1,-2,3)。
2. 关于坐标轴的对称点
   • 关于x轴对称
     • 对称点的坐标为（a,-b,-c)。x轴坐标不变，y轴和z轴坐标变为原来的相反数。
     • 比如，点（1,2,3)关于x轴的对称点是（1,-2,-3)。
   • 关于y轴对称
     • 对称点的坐标为（-a,b,-c)。y轴坐标不变，x轴和z轴坐标变为原来的相反数。
     • 例如，点（1,2,3)关于y轴的对称点是（-1,2,-3)。
   • 关于z轴对称
     • 对称点的坐标为（-a,-b,c)。z轴坐标不变，x轴和y轴坐标变为原来的相反数。
     • 比如，点(1,2,3)关于z轴的对称点是(-1,-2,3)。
3. 关于坐标原点对称
   • 对称点的坐标为(-a,-b,-c)。
   • x轴、y轴和z轴坐标都变为原来的相反数。
   • 例如，点(1,2,3)关于坐标原点的对称点是(-1,-2,-3)。

4. 对于空间中的点M，如果经过M向某条直线做垂线，则称垂足为点M在直线上的投影点；

如果经过M向某个平面做垂线，则称垂足为点M在该平面上的投影点。

求点（a,b,c）在各个坐标面及各个坐标轴上的投影点的坐标.

5. 求顶点为A（2,5,0），B（11，3,8），C（5,1,11）的三角形各边的长度。

6. 求点A（4，-3, 5）到各个坐标轴的距离，即求点A与其在各个坐标轴上投影点的距离。

点A(4,-3,5)到x轴的距离

1. 找到点A在x轴上的投影点$A_x$;
   在空间直角坐标系中，点(A)在x轴上的投影点$A_x$的坐标为（4,0,0)。这是因为x轴上所有点的y坐标和z坐标都为0。

点A(4,-3,5)到y轴的距离

1. 确定点A在y轴上的投影点$A_y$;
   点A在y轴上的投影点$A_y$的坐标是（0,-3,0)，因为y轴上的点其x坐标和z坐标都为0。

1. 找出点(A)在z轴上的投影点(A_z)：
   点(A)在z轴上的投影点(A_z)坐标为（0,0,5)，由于z轴上点的x坐标和y坐标都为(0)。