统计学（第8版）——统计抽样学习笔记（考试用）

一、统计抽样的核心内容与问题

研究内容

1. 从总体中科学抽取样本的方法
2. 利用样本数据推断总体特征（均值、比率、总量）
3. 控制抽样误差与非抽样误差

解决的核心问题

• 在成本约束下，用少量样本准确推断总体特征
• 量化估计结果的可靠性（置信区间）

二、基本概念（7.1节）

关键提示：抽样框必须完整覆盖抽样总体，否则会引入覆盖误差

三、抽样调查方法与误差（7.2-7.3节）

调查方法

• 邮寄调查
• 电话调查
• 个人采访调查

误差分类

• 非抽样误差
  • 测量误差
  • 采访者误差
  • 数据处理误差
• 抽样误差
  • 因未调查全部单位产生的误差

控制策略

• 非抽样误差：问卷预测试、调查员培训、自动化数据处理
• 抽样误差：增加样本量或改进抽样设计

四、抽样方法详解

1. 简单随机抽样（SRS）（7.4节）

定义

每个容量为$n$的样本被抽中的概率相同，样本独立无关联

抽样步骤

1. 建立抽样框（总体所有个体名册）
2. 使用随机数表抽取样本

参数估计公式

• 总体均值$\mu$
  $\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{1-\frac{n}{N}}$
  使用条件：

  • $n\ge 30$（中心极限定理）
  • $n/N>5\%$时必须使用有限总体修正系数

• 总体比率$p$
  $\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\sqrt{1-\frac{n}{N}}$
  使用条件：$n\hat{p}\ge 5$ 且 $n(1-\hat{p})\ge 5$

样本容量确定

• 估计均值：
  $n=\frac{N\cdot z_{\alpha /2}^2\cdot s^2}{(N-1)B^2+z_{\alpha /2}^2{s}^2}$
• 估计比率：
  $n=\frac{N\cdot z_{\alpha /2}^2\cdot p(1-p)}{(N-1)B^2+z_{\alpha /2}^{2}p(1-p)}$
  关键参数：
  • $B$：允许误差（置信区间半宽）
  • $s^2$或$p$：需预先估计（历史数据/预抽样）
  • $p$未知时用$p=0.5$保守估计

案例示范

• 例7.1（杂志订户收入估计）：
  $N=8000,n=484,\bar{x}=30500,s=7040$
  $95\%CI:30500\pm 1.96\times \frac{7040}{\sqrt{484}}\times \sqrt{1-\frac{484}{8000}}\to [29880,31120]$

• 例7.3（毕业生收入调查样本量）：
  要求：$B=500,N=5000,s=3000$
  $n=\frac{5000\times 1.96^2\times 3000^2}{4999\times 500^2+1.96^2\times 3000^2}\approx 139$

2. 分层简单随机抽样（7.5节）

适用场景

总体存在异质子群（如不同专业、地区），层内差异小、层间差异大

抽样步骤

1. 将总体划分为$H$层
2. 每层独立抽取简单随机样本
3. 按层权加权合并结果

参数估计

• 总体均值：
  ${\bar{x}}_{str}={\sum }_{h=1}^H\left(\frac{N_h}{N}\right){\bar{x}}_h$
  标准误：
  $s_{{\bar{x}}_{str}}=\sqrt{{\sum }_{h=1}^H{\left(\frac{N_h}{N}\right)}^2\frac{s_h^2}{n_h}\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)}$
  置信区间：${\bar{x}}_{str}\pm 1.96s_{{\bar{x}}_{str}}$

• 总体比率：
  ${\hat{p}}_{str}={\sum }_{h=1}^H\left(\frac{N_h}{N}\right){\hat{p}}_h$
  标准误：
  $s_{{\hat{p}}_{str}}=\sqrt{{\sum }_{h=1}^H{\left(\frac{N_h}{N}\right)}^2\frac{{\hat{p}}_h(1-{\hat{p}}_h)}{n_h}\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)}$

样本分配

• 比例分配：$n_h=n\times \frac{N_h}{N}$
• 最优分配（Neyman）（各层成本相同时）：
  $n_h=n\cdot \frac{N_h{s}_h}{{\sum }_{h=1}^H{N}_h{s}_h}$

案例示范

• 例7.4（管理学院毕业生收入分层估计）：
  结果：${\bar{x}}_{str}=29350,s_{{\bar{x}}_{str}}=281.6\to 95\%CI[29074,29626]$
• 例7.5（年薪≥36000元比率估计）：
  ${\hat{p}}_{str}=0.0981\to 95\%CI[0.0575,0.1387]$

3. 整群抽样（7.6节）

适用场景

总体天然分群（如学校、村庄），群内差异大、群间差异小

参数估计

• 总体均值：
  ${\bar{x}}_{cls}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{M}_i}$（$x_i$：第$i$群观测值总和）
  标准误：
  $s_{{\bar{x}}_{cls}}=\sqrt{\frac{1}{{\bar{M}}^2}\cdot \frac{s_r^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)}$
  其中：
  $s_r^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-{\bar{x}}_{cls}{M}_i{)}^2}{n-1},\bar{M}=\frac{\sum M_i}{n}$

• 总体比率：
  ${\hat{p}}_{cls}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{{\sum }_{i=1}^n{M}_i}$（$a_i$：第$i$群具有特征的数量）

案例示范（例7.6）

• 注册会计师年薪估计：
  ${\bar{x}}_{cls}=42531\text{元},s_{{\bar{x}}_{cls}}=1.730\to 95\%CI[39071,45991]$
• 女性比率估计：
  ${\hat{p}}_{cls}=0.2734\to 95\%CI[0.2052,0.3416]$

4. 系统抽样（7.7节）

方法

固定间隔$k$抽样（首个单位随机起点）

使用条件

抽样框随机排列（否则有周期性偏差风险）

优缺点

五、样本容量确定通法

1. 规定精度$B$和置信水平
2. 选择抽样方法
3. 若有历史数据，用其估计方差$s^2$或$p$
4. 若无历史数据，进行预抽样估计方差
5. 代入公式计算$n$
6. 验证实际精度

特殊情形处理：

• 分层抽样：先分配样本再计算总样本量
• 整群抽样：需预先估计群间方差$s_r^2$

六、解题步骤模板

1. 简单随机抽样（均值估计）

1. 确认抽样框和$N$
2. 抽取$n\ge 30$的样本
3. 计算$\bar{x}$和$s$
4. 计算标准误：$se=\frac{s}{\sqrt{n}}\times \sqrt{1-\frac{n}{N}}$
5. 确定$z$值（95%CI取1.96）
6. 计算CI：$\bar{x}\pm z\cdot se$

2. 分层抽样（比率估计）

1. 按特征分层
2. 确定各层权$W_h=N_h/N$
3. 按比例分配样本$n_h$
4. 各层计算${\hat{p}}_h$
5. 计算加权估计${\hat{p}}_{str}=\sum W_h{\hat{p}}_h$
6. 计算标准误$s_{{\hat{p}}_{str}}$
7. 构造CI：${\hat{p}}_{str}\pm 1.96\cdot s_{{\hat{p}}_{str}}$

3. 样本量计算题

1. 读取$N,B,$置信水平
2. 选择参数类型（均值/比率）
3. 若估计均值，查找$s^2$历史值
4. 若估计比率，采用$p=0.5$或历史值
5. 代入公式求解$n$
6. 若$n/N>5\%$，使用有限总体修正

七、易错点警示

1. 抽样框陷阱

   • 目标总体 ≠ 抽样总体 → 推断结论有偏差
   • 例：用电话簿抽样框调查网民会遗漏无固话群体

2. 中心极限定理误用

   • $n<30$时不可直接使用$z$值（需查$t$分布表）
   • 偏态总体需$n\ge 50$才近似正态

3. 有限总体修正遗漏

   • 当$n/N>5\%$时未使用修正系数 → 标准误高估

4. 整群抽样加权缺失

   • 群大小不等时未用加权均值 → 估计有偏
   • 例7.6必须用总年薪/总人数而非群均值的平均

5. 分层抽样分配误区

   • 最优分配需已知层标准差$s_h$ → 若无数据应先比例分配