Numpy7——数学2（矩阵基础，线性方程基础）

矩阵

一、数学中的矩阵

1、矩阵的基本定义和各种矩阵

• 矩阵（Matrix）是由数字、符号或表达式按行（Row）和列（Column） 排列成的矩形阵列。
  • 矩阵一般由大写字母表示，例如A，B，M等
  • 矩阵中的元素由用小写字母加行列下标表示，如
    a ij 表示第 i 行第 j 列的元素。
• 行矩阵（Row Matrix）：只有一行（如 1×n）。
• 列矩阵（Column Matrix）：只有一列（如 n×1）
• 方阵（Square Matrix）：行数等于列数（如 n×n）
• 单位矩阵：对角线上全是1，其余全是0，可写作I。
• 对角矩阵（Diagonal Matrix）：非对角线元素全为 0。
• 对称矩阵（Symmetric Matrix）：沿着左上到右下的对角线对折，两边元素相等。
• 正交矩阵（Orthogonal Matrix）：A的转置×A=I（单位向量），A就是正交矩阵

2、矩阵的运算

• 矩阵加法、减法： A 和 B 必须都是 m × n 矩阵。
  两个相同维度的矩阵 A和 B可以相加、相减，返回一个矩阵。
  例如：C = A + B ， 其中

• 矩阵数乘（标量乘法）：一个矩阵A乘以一个标量k，得到一个矩阵。
  例如：B = kA ， 其中

• 矩阵乘法： 返回的是矩阵或标量
  矩阵乘法C = A × B 的定义：
  

  • 条件：
    • A 是 m × n 矩阵， B 是 n × p 矩阵。
    • 结果 C 是 m × p 矩阵。
    • 不满足交换律（即，一般情况下 AB ≠ BA ）；满足结合律(矩阵顺序不变，仅计算顺序改变) 和 分配律。

• 矩阵转置（Transpose）：将矩阵的行、列互换，返回一个矩阵。

3、矩阵的逆（Inverse）：返回一个矩阵。

对于一个方阵 A，如果存在 A^-1 使得：A* A^-1 = I(单位矩阵)，则 A^-1是 A 的逆矩阵。
若 A* A^-1 ＝ A^-1 * A = I （其中 I 是单位矩阵），则称 A 是可逆矩阵（Invertible Matrix）。

• 注意：
  不是所有的矩阵都有逆矩阵，仅方阵可能有逆矩阵。
  矩阵可逆的条件：行列式 det(A) ≠ 0（也就是满秩）；且矩阵是方形矩阵。
• 矩阵的逆的性质
  • A的逆的逆是A本身
  • AB的逆 是B的逆乘A的逆
  • A的逆的转置是A的转置的逆

4、矩阵的行列式 （返回一个标量）

• 对于一个 n阶方阵 A（即 n×n 的矩阵），其行列式记作 det(A) 或 ∣A∣，行列式是一个标量值。
• 行列式的计算
  
  则n阶矩阵的行列式的计算公式为
  
• 行列式的性质：
  • 单位矩阵的行列式为1
  • 矩阵的行列式与其转置矩阵的行列式相同 ：丨A丨 = 丨A.T丨
  • A@B的行列式 = A的行列式*B的行列式 : 丨A@B丨 = 丨A丨丨B丨
  • A^-1 的行列式 = 1/A的行列式 ：丨A^-1丨 = 丨1/A丨
  • 行列式与初等行变换：
    • 交换两行：行列式变号。
    • 某行乘以标量 k：行列式乘以 k。
    • 某行加上另一行的倍数：行列式不变。

二、numpy中的基础矩阵

1、创建矩阵（二维数组）

• 使用np.matrix
• 使用np.ndarray转换
• 使用zeros、ones、eye\identit 创建0矩阵、全是1的矩阵、单位矩阵

import numpy as np

# 从列表或嵌套列表创建
A = np.matrix([[1, 2], [3, 4]])  # 2x2 矩阵
B = np.matrix("1 2; 3 4")        # 使用 MATLAB 风格字符串（分号分隔行）

arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
M = np.matrix(arr)  # 将 ndarray 转为 matrix
# 输出：
# [[1, 2],
#  [3, 4]]
print(np.eye(2))
# [[1. 0.]
#  [0. 1.]]
print(np.ones((2,2)))
# [[1. 1.]
#  [1. 1.]]
print(np.zeros((2,2)))
# [[0. 0.]
#  [0. 0.]]

2、矩阵的运算

• 元素级运算 ： +, -, *, /, ** 等操作符执行元素级运算（逐个元素进行运算）。

  A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
  B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
  
  # 元素级加法
  print(A + B)  # [[6 8], [10 12]]
  
  # 元素级乘法
  print(A * B)  # [[5 12], [21 32]]
  

• 矩阵的转置：使用 .T 属性或 np.transpose()。(A+B)^T = A^T+B^T

• 逆矩阵：调用 np.linalg.inv() （ inv(ABC) = inv©@inv(B)@inv(A)）

• 矩阵的行列式：使用np.linalg.det() 计算矩阵的行列式，得到一个标量。

• 矩阵的迹（trace): 矩阵对角线元素的和，使用 np.trace。

• 对角矩阵：np.diag() 获取对角线元素或者创建对角矩阵。

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

print(A.T)  # 转置后：[[1 3], [2 4]]
print(np.linalg.inv(A)) # A的逆矩阵：[[-2.   1. ], [ 1.5 -0.5]]
print(np.linalg.det(A))  # 输出：-2.0000

• 矩阵乘法(np.matmul)：A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，C=AB是m×p的矩阵，其中每个元素的计算方式为：
  
  计算示例：

矩阵乘法满足结合律（(AB)C = A(BC)）、分配律（A(B+C) = AB+AC），不满足交换律（AB≠BA）
np.matmul(A.T, A) 一定是对称矩阵
np.matmul(单位矩阵, 任何矩阵)，np.matmul(任何矩阵, 单位矩阵)的结果都是任何矩阵它自己

3、矩阵的四种看待方式

• 原始定义 ： 结果矩阵的第 i 行第 j 列是左矩阵的第 i 行与右矩阵的第 j 列的点积。
  

• 外积：左矩阵列向量与右矩阵的行向量的外积之和。（适用于低秩分解（如SVD）、并行计算优化）
  

• 列向量的组合：右矩阵的每一列是左矩阵的列向量的线性组合。（适用于计算机图形学、线性变换可视化）。矩阵A对向量b进行线性变换。

• 行向量的组合：左矩阵的每一行是右矩阵的行向量的线性组合。（适用于优化问题、行空间分析）
  

4、矩阵的秩、空间和线性方程

• 线性相关性：

  • 线性相关：两个向量A,B存在两个系数c1，c2（c1,c2不全为0），使得c1A + c2B = 0，则AB是线性相关的
  • 线性无关：只有在c1c2全为0的时候，c1A + c2B 才等于0

• 矩阵的秩 numpy.linalg.matrix_rank：矩阵的秩是其行（或列）向量中线性无关的最大数目，记为rank(A)

  • A和A.T的秩相等
  • 秩 <= 最小维度，即rank(A(m行n列)) <= min(m,n)
  • 满秩矩阵：rank(A(m行n列)) = min(m,n)，则A为满秩矩阵（当且仅当A为方阵的时候，A为可逆矩阵）
  • rank(AB) ≤ min(rank(A),rank(B)) ：A@B的秩 小于等于 A的秩和B的秩之间的最小值
  • rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) ： A+B的秩 小于等于 A的秩 + B的秩
  • 秩的计算方法
    • 线性无关的列数和行数
    • 使用numpy.linalg.matrix_rank函数
    • 使用消元法（通过初等行变换，）将矩阵化为行最简形阶梯形矩阵，从而数出非零行，即为秩，

import numpy as np
A = np.array([[2, 1, 3], [1, 2, 1], [3, 2, 2]])
rank = np.linalg.matrix_rank(A)  # 输出: 3

• 矩阵的空间

• 线性方程
  方程组 Ax = b 的解取决于秩的关系：

  情况	解的性质	条件
  唯一解	存在且唯一	rank(A) = rank(A丨b) = n
  无穷多解	解空间 = 特解 + 零空间基	rank(A) = rank(A丨b) < n
  无解	方程组矛盾	rank(A) < rank(A丨b)

  • 求解方法：
    • 当A矩阵有唯一解的时候：使用np.linalg.solve(A, b)（解N元一次方程组AX = b，如果方程组中有 没有意义 的方程组，那么程序就会报错；方程组中的所有方程都有用则解是唯一的），或者使用A^-1 Ax = A^-1b => x = np.linalg.inv(A) @ b
    • 最小二乘解（无解时）：np.linalg.lstsq(A, b)。
    • 零空间基：scipy.linalg.null_space(A)。