偏微分方程通解与初值问题求解

题目

(a) 求下列各方程的通解：

$$u_t+3u_x-2u_y=u;$$
$$u_t+x{u}_x+y{u}_y=u;$$
$$u_t+x{u}_x-y{u}_y=u;$$
$$u_t+y{u}_x+x{u}_y=u;$$
$$u_t+y{u}_x-x{u}_y=u;$$
$$u_t+3u_x-2u_y=xyu.$$

(b) 求解初值问题 $$u(x,y,0)=f(x,y)$$（即对每个方程求解给定初值条件的解）。

解题

以下将使用特征线法（method of characteristics）求解每个偏微分方程（PDE）。通解中的 $$\varphi$$ 表示任意可微函数。初值问题（IVP）的初始条件为 $$u(x,y,0)=f(x,y)$$，通过代入通解并应用初始条件得到特解。

(a) 求通解

1. 方程： $$u_t+3u_x-2u_y=u$$
   通解： $$u(x,y,t)=e^t\varphi (x-3t,y+2t)$$
   推导： 特征方程为 $$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{3}=\frac{dy}{-2}=\frac{du}{u}$$。解得特征线 $$\xi =x-3t$$、$$\eta =y+2t$$ 为常数，且 $$u=e^t\varphi (\xi ,\eta )$$。

2. 方程： $$u_t+x{u}_x+y{u}_y=u$$
   通解： $$u(x,y,t)=e^t\varphi (x{e}^{-t},y{e}^{-t})$$
   推导： 特征方程为 $$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{du}{u}$$。解得特征线 $$\xi =x{e}^{-t}$$、$$\eta =y{e}^{-t}$$ 为常数，且 $$u=e^t\varphi (\xi ,\eta )$$。

3. 方程： $$u_t+x{u}_x-y{u}_y=u$$
   通解： u ( x , y , t ) = e t ϕ ( x e − t , y e t ) u(x, y, t) = e^t \phi(x e^{-t}, y e^{t}) u(x,y,t)=e