第一章 人工智能基础
第四部分：数学建模基本方法
第四节：常见建模案例分析
一、数学建模概述
数学建模（Mathematical Modeling） 是指把现实世界中的复杂问题抽象成数学模型，通过数学方法分析与求解，从而指导实际决策和问题解决。
建模流程：问题描述 → 模型假设 → 模型建立 → 模型求解 → 模型验证 → 模型优化
二、常用数学建模方法
| 方法类型 | 简要说明 |
|---|---|
| 回归分析 | 建立因变量与自变量之间的函数关系 |
| 线性/非线性规划 | 求解最大化或最小化的目标函数问题 |
| 动态规划 | 将问题分解成子问题逐步求解 |
| 图论建模 | 适合解决网络流、路径规划等问题 |
| 排列组合与概率 | 处理不确定性与最优化问题 |
| 微分方程建模 | 表征连续时间或空间变化的问题 |
三、典型建模案例分析
案例 1：城市垃圾运输路径优化（图论建模）
问题背景： 某城市有多个垃圾收集点，需每天安排车辆从垃圾场出发，访问多个点后返回，路径需最短且不重复。
建模思路：
抽象为图的遍历问题，每个点为顶点，每条路为边。
求解方式：最短路径问题 或 旅行商问题（TSP）
模型方法：
邻接矩阵建图
采用 Dijkstra 或动态规划（或近似算法）求最短路径
案例 2：商品定价策略优化（线性规划）
问题背景： 某公司生产 A、B、C 三种产品，资源有限，目标是最大化利润。
建模过程：
设各产品数量为变量
利润函数为目标函数
原材料/人力资源等约束条件形成不等式
模型求解：
线性规划模型
用单纯形法或数学软件（如 MATLAB、Python scipy）求解
案例 3：流感传播预测模型（微分方程建模）
问题描述： 某地出现流感疫情，希望预测未来一段时间的感染人数变化。
建模过程：
建立 SIR 模型：易感（S）、感染（I）、恢复（R）
使用微分方程：
dS/dt = -βSI
dI/dt = βSI - γI
dR/dt = γI
模型应用：
输入初始人口状态
利用数值方法（如 Euler 法）进行仿真预测
案例 4：仓储调度问题（整数规划 + 贪心）
问题描述： 仓库中有若干商品订单，要求在有限时间内调度货车完成配送，优化运输总成本。
建模方法：
使用二元变量表示是否选择某路径
成本为目标函数
时间和运力为约束条件
贪心或启发式算法用于优化调度次序
四、数学建模注意事项
问题抽象是否合理（变量、约束与目标是否准确表达）
数据是否真实有效（合理预处理数据）
模型是否可解释与验证
结果是否具备现实意义与实用性
建模方法是否与问题结构匹配
五、小结
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 建模流程 | 问题 → 假设 → 建模 → 求解 → 验证 → 优化 |
| 常用方法 | 回归、规划、图论、概率、动态规划、微分建模等 |
| 工具建议 | Excel, Python（Numpy, Pandas, Scipy, Matplotlib）, MATLAB |
| 实战建议 | 选题贴近实际、控制复杂度、关注数据质量、重视模型检验 |