【图论 DFS搜索树】P10298 [CCC 2024 S4] Painting Roads|普及+

发布于：2025-06-20 ⋅ 阅读:(11) ⋅ 点赞:(0)

本文涉及知识点

C++图论
C++DFS

P10298 [CCC 2024 S4] Painting Roads

题目描述

Kitchener 市的市长 Alanna 成功地改进了该市的道路规划。然而，来自 RedBlue 市的一位售货员仍然抱怨道路的颜色不够丰富。Alanna 的下一个任务就是粉刷一些道路。

Kitchener 市的道路规划可以表示为 N N N 个十字路口和 M M M 条道路，第 i i i 条道路连接第 u i u_i ui​ 个十字路口和第 v i v_i vi​ 个十字路口。一开始所有道路都是灰色的。Alanna 想要把一些道路染成红色或者蓝色，满足以下条件：

  • 对于每一条灰色道路，假设其连接十字路口 u i u_i ui​ 和十字路口 v i v_i vi​，一定存在一条从十字路口 u i u_i ui​ 到十字路口 v i v_i vi​ 的路径，满足路径上的道路颜色红色和蓝色交替出现，任何道路都不是灰色的。

为了降低城市的支出，Alanna 希望尽可能少地对道路进行染色。请帮助 Alanna 设计一个符合要求的染色方案。

输入格式

输入的第一行包含两个整数 N N N 和 M M M（ 1 ≤ N , M ≤ 2 × 10 5 1\leq N, M \leq 2 \times 10^5 1≤N,M≤2×105）。

接下来 M M M 行中的第 i i i 行包含两个整数 u i u_i ui​ 和 v i v_i vi​ 表示存在一条连接十字路口 u i u_i ui​ 和十字路口 v i v_i vi​ 的道路（ 1 ≤ u i , v i ≤ N 1 \leq u_i, v_i \leq N 1≤ui​,vi​≤N， u i ≠ v i u_i \neq v_i ui​=vi​）。

任意两个十字路口之间至多存在一条道路。

输出格式

输出一个长度为 M M M 的字符串，表示染色的方案。第 i i i 个字符表示第 i i i 条道路的颜色，R 表示红色，B 表示蓝色，G 表示灰色（未染色）。

注意你必须在满足条件的情况下最小化染色的道路数目。如果存在多个这样的染色方案，输出任意一个。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 7
1 2
2 4
5 2
4 5
4 3
1 3
1 4

输出 #1

BRGBBGG

输入输出样例 #2

输入 #2

4 2
1 2
3 4

输出 #2

BB

说明/提示

【样例 1 解释】

十字路口以及有效的道路的示意图如下所示，该方案最小化了染色道路的数量。请注意，每条道路上的颜色显示为 R（红色）、B（蓝色）或 G（灰色）。

所有为染色的道路都满足条件：

  • 第二条路标记为 G 2 G_2 G2​ 连接了十字路口 2 2 2 和 4 4 4，路径 2 , 1 , 4 2, 1, 4 2,1,4 上的道路被染上红色、蓝色。
  • 第三条路标记为 G 3 G_3 G3​ 连接了十字路口 5 5 5 和 2 2 2，路径 5 , 4 , 1 , 2 5, 4, 1, 2 5,4,1,2 上的道路被染上红色、蓝色、红色。
  • 第五条路标记为 G 5 G_5 G5​ 连接了十字路口 4 4 4 和 3 3 3，路径 4 , 1 , 3 4, 1, 3 4,1,3 上的道路被染上蓝色、红色。

【样例 2 解释】

请注意 Kitchener 的道路可能不是连通的。

【数据范围】

本题采用捆绑测试。

对于所有数据，保证 1 ≤ N , M ≤ 2 × 10 5 1\leq N, M \leq 2 \times 10^5 1≤N,M≤2×105， 1 ≤ u i , v i ≤ N 1 \leq u_i, v_i \leq N 1≤ui​,vi​≤N， u i ≠ v i u_i \neq v_i ui​=vi​。

下面的表格显示了 15 15 15 分的分配方案：

分值 附加条件
2 2 2 对任意 1 ≤ i < N 1 \leq i < N 1≤i<N 存在一条连接 i i i 和 i + 1 i + 1 i+1 的道路（还可能存在其他道路）
3 3 3 图连通并且 N = M N = M N=M
3 3 3 任何道路都不同时属于至少两个简单环（见下文定义）
7 7 7 无

定义：若用 u ↔ v u \leftrightarrow v u↔v 表示一条连接 u u u 和 v v v 的道路，则称 k ≥ 3 k \geq 3 k≥3 且所有 w i w_i wi​ 互不相同是序列 w 1 ↔ w 2 ↔ ⋯ ↔ w k ↔ w 1 w_1 \leftrightarrow w_2 \leftrightarrow \cdots \leftrightarrow w_k \leftrightarrow w_1 w1​↔w2​↔⋯↔wk​↔w1​ 为简单环。

图论 DFS搜索树

对每个连通区域，分别处理。
性质一:如果一个连通区域没有环（树)则所有的边都必须涂色。某联通区域n个点，m条边，删除所有灰色边后，如果边数少于n-1，则不再连通。令删除前
有边uv相连，则uv没有交替路径。结论：n个连通区域的彩色边数至少n-1。
性质二：无向图DFS搜索树，图上的边要么是树边，要么是回边（返祖边)，没有横叉边。如果cur的层次是偶数，它指向父节点的边红色，否则绿色。任何树边
彩色；任意回边，都有树边组成的路径。红绿互换也可以。
性质三：DSF(cur)访问完所有直接间接能访问且没访问的边才结束。n1访问n2，且n2已经开始处理。且n2没处理完边 n 1 ↔ n 2 n1 \leftrightarrow n2 n1↔n2，即dfs(n2)未结束。
即n2是n1祖先。
注意：可能不连通。
DFS出各节点的父节点和层次。

代码

核心代码


#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class CNeiBo
{
public:
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& [i1, i2] : edges)
		{
			vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& [u, v, w] : edges)
		{
			vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
	{
		vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
		for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
			{
				if (neiBoMat[i][j])
				{
					neiBo[i].emplace_back(j);
					neiBo[j].emplace_back(i);
				}
			}
		}
		return neiBo;
	}
};
class Solution {
		public:
			string Ans(const int N, vector<pair<int,int>>& edge) {
				for (auto& [u, v] : edge) { u--, v--; }
				auto neiBo = CNeiBo::Two(N, edge, false, 0);
				vector<int> pars(N, -1), leves(N,-1);
				function<void(int, int,int)> DFS= [&](int cur, int par,int leve) {
					if (-1 != leves[cur]) { return; }
					leves[cur] = leve;
					pars[cur] = par;
					for (const auto& next : neiBo[cur]) {
						if (next == par) { continue; }
						DFS(next, cur, leve + 1);
					}
				};
				for (int i = 0; i < N; i++) {
					DFS(i, -1, 0);
				}
				string str;
				for ( auto [u, v] : edge) {
					if (leves[u] < leves[v]){ swap(u, v); }
					if (leves[u] != 1 + leves[v]) { str += "G"; continue; }
					str += ((leves[u] & 1)? "B" : "R");
				}
				return str;
			}
		};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	int N, M;
	cin >> N >> M;
	auto edge = Read<pair<int,int>>(M);
#ifdef _DEBUG	
		printf("N=%d", N);
		Out(edge, ",edge=");
		//Out(que, ",que=");
		//Out(str2, ",str2=");
		//Out(que, ",ope=");
#endif // DEBUG		
		auto res = Solution().Ans(N,edge);
		cout << res;
	return 0;
};

单元测试

int N;
		vector<pair<int, int>> edge;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			N = 5, edge = { {1,2},{2,4},{5,2},{4,5},{4,3},{1,3},{1,4} };
			auto res = Solution().Ans(N,edge);
			AssertEx("BRGBBGG", res.c_str());
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			N = 4, edge = { {1,2},{3,4} };
			auto res = Solution().Ans(N, edge);
			AssertEx("BB", res.c_str());
		}

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https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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