偏微分方程通解求解2

题目

求下列方程的通解：
$$\{\begin{array}{l}{u}_{xy}=u_x{u}_y{u}^{-1};\\ u_{xy}=u_x{u}_y;\\ u_{xy}=\frac{u_x{u}_{y}u}{u^2+1};\end{array}$$

解答

下面分别求解每个方程。

方程 1：$$u_{xy}=u_x{u}_y{u}^{-1}$$

该方程可改写为 $$u_{xy}=\frac{u_x{u}_y}{u}$$。
设 $$v=\ln u$$，则：
$$v_x=\frac{u_x}{u},v_y=\frac{u_y}{u},v_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_x}{u}\right)=\frac{u_{xy}u-u_x{u}_y}{u^2}.$$
代入原方程 $$u_{xy}=\frac{u_x{u}_y}{u}$$，得：
$$v_{xy}=\frac{\left(\frac{u_x{u}_y}{u}\right)u-u_x{u}_y}{u^2}=\frac{u_x{u}_y-u_x{u}_y}{u^2}=0.$$
因此，$$v_{xy}=0$$，其通解为 $$v(x,y)=f(x)+g(y)$$，其中 $$f(x)$$ 和 $$g(y)$$ 为任意可微函数。
还原变量，$$\ln u=f(x)+g(y)$$，即：
$$u(x,y)=e^{f(x)+g(y)}=a(x)b(y),$$
其中 $$a(x)=e^{f(x)}$$，$$b(y)=e^{g(y)}$$ 为任意可微函数。
验证：若 $$u=a(x)b(y)$$，则 $$u_x=a^{\prime }b$$，$$u_y=a{b}^{\prime }$$，$$u_{xy}=a^{\prime }{b}^{\prime }$$，而右边 u x u y u = ( a ′ b ) ( a b ′ ) a b = a ′ b ′ \frac{u_x u_y}{u} = \frac{(a' b)(a b')}{a b} = a' b'