【空中计算】关于OAC用于边缘推理的总结

1-On the View-and-Channel Aggregation Gain in Integrated Sensing and Edge AI
2-Progressive Feature Transmission for Split Classification at the Wireless Edge
3-Over-the-Air Multi-View Pooling for Distributed Sensing
4-Energy-Efficient Edge Inference in Integrated Sensing, Communication, and Computation Networks
5-Over-the-Air Edge Inference for Low-Altitude Airspace: Generative AI-Aided Multi-Task Batching and Beamforming Design

1-基本问题

详细推导接收端迫零beamformer ${\mathbf{b}}_k=\mathbf{H}({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}{)}^{-1}{\mathbf{e}}_k$

这里假设不同用户信道正交 $\Rightarrow$ 用户之间的信道相互独立（或可区分）
$\mathbf{Y}={\sum }_{k=1}^K{\rho }_k{\mathbf{h}}_k{\mathbf{x}}_k+\mathbf{Z}=\mathbf{H}\mathbf{\rho }\mathbf{X}+\mathbf{Z}$

• $\mathbf{H}=[{\mathbf{h}}_1,\cdots ,{\mathbf{h}}_K]\in {\mathbb{C}}^{M\times K}$：信道矩阵；
• $\mathbf{\rho }=\mathrm{diag}({\rho }_1,\cdots ,{\rho }_K)$：功率控制矩阵；
• $\mathbf{X}=[{\mathbf{x}}_1^{\top },\cdots ,{\mathbf{x}}_K^{\top }{]}^{\top }\in {\mathbb{C}}^{K\times T}$：各用户的发射信号

${\mathbf{b}}_k$的目标满足 ${\mathbf{H}}^H{\mathbf{b}}_k={\mathbf{e}}_k$，即${\mathbf{b}}_k^H{\mathbf{h}}_i=0$并且${\mathbf{b}}_k^H{\mathbf{h}}_k=1$
最小二乘求解 ${\mathbf{b}}_k=\arg {\min }_{\mathbf{b}}{\Vert {\mathbf{H}}^H\mathbf{b}-{\mathbf{e}}_k\Vert }_2^2$

$\boxed{{\mathbf{b}}_k={\left({\mathbf{H}}^H\right)}^{†}{\mathbf{e}}_k={\left({\mathbf{H}}^H\right)}^{+}{\mathbf{e}}_k}$
${\left({\mathbf{H}}^H\right)}^{+}=\mathbf{H}({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}{)}^{-1}$（当 $M\ge K$ 且 $\mathbf{H}$ 满秩时）

总结：

1-该逆矩阵用于在接收端解耦用户信号，实现了对第 k 个用户的线性投影滤波器
2-本质上是 MIMO 检测问题中的一类线性检测器方案（线性检测器）

$\mathbf{g}$ 的含义

$\mathbf{g}$ 表示当前物体在理想条件下提取到的完整、高质量的“真实特征”，即所有视角下整合后的全局特征表达，是当前物体所属类别在特征空间中的理想表达。
建模：$\mathrm{Pr}\left(\mathbf{g}={\mathbf{\mu }}_{\ell }\right)=\frac{1}{L},\forall \ell$

只能用概率建模，离散随机变量是所有可能的类别，这里有均匀的先验

为什么最优的线性分类器是 ${\ell }^{\star }=\arg {\min }_{\ell }{\left(\bar{\mathbf{f}}-\bar{\mathbf{P}}\mathbf{\ell }\right)}^{\top }{\mathbf{C}}^{-1}\left(\bar{\mathbf{f}}-\bar{\mathbf{P}}\mathbf{\ell }\right).$

下面证明高斯分布的最大值点等价于马氏距离（Mahalanobis distance）最小

$\bar{\mathbf{f}}\sim \frac{1}{L}{\sum }_{\ell =1}^L\mathcal{N}(\bar{\mathbf{P}}{\mathbf{\mu }}_{\ell },\frac{1}{K}\mathbf{C})$
$\mathrm{Pr}(\bar{\mathbf{f}}|{\mathbf{\mu }}_{\ell })=\frac{1}{(2\pi {)}^{M/2}|\frac{1}{K}\mathbf{C}{|}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}(\bar{\mathbf{f}}-\bar{\mathbf{P}}{\mathbf{\mu }}_{\ell }{)}^{\top }{\left(\frac{1}{K}\mathbf{C}\right)}^{-1}(\bar{\mathbf{f}}-\bar{\mathbf{P}}{\mathbf{\mu }}_{\ell })\right)$
$\log \mathrm{Pr}(\bar{\mathbf{f}}|{\mathbf{\mu }}_{\ell })=-\frac{K}{2}(\bar{\mathbf{f}}-\bar{\mathbf{P}}{\mathbf{\mu }}_{\ell }{)}^{\top }{\mathbf{C}}^{-1}(\bar{\mathbf{f}}-\bar{\mathbf{P}}{\mathbf{\mu }}_{\ell })+\text{const}$

各类分布为高斯，且协方差相同，则最优线性分类器是马氏距离最小化
Linear Discriminant Analysis (LDA)

voxel的含义

Voxel 是 Volumetric Pixel 的缩写，意为“体素”；
是三维空间中的基本单位格子，类似于二维图像中的像素（Pixel），但用于三维环境建模
我的理解：感知的区域是立体的，每个传感器感知到部分voxel，然后将部分voxel映射到subcarrier传输

关于感知不确定度的上下界

$H={\mathsf{E}}_{\tilde{\mathbf{f}}}\left[-{\sum }_{\ell =1}^L\mathrm{Pr}\left({\mathbf{\mu }}_{\ell }|\tilde{\mathbf{f}}\right)\log \mathrm{Pr}\left({\mathbf{\mu }}_{\ell }|\tilde{\mathbf{f}}\right)\right].$

去期望变为积分形式：$H=-{\sum }_{\ell =1}^L\int \mathrm{Pr}\left({\mathbf{\mu }}_{\ell }|\bar{\mathbf{f}}\right)\log \mathrm{Pr}\left({\mathbf{\mu }}_{\ell }|\bar{\mathbf{f}}\right)p(\bar{\mathbf{f}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{f}}.$

基于贝叶斯公式改写
H = − ∑ ℓ = 1 L ∫ P r ( μ ℓ ∣ f ˉ ) log ⁡ P r ( μ ℓ ∣ f ˉ ) p ( f ˉ ) d f ˉ = − ∑ ℓ = 1 L ∫ p ( f ˉ ∣ P ˉ μ ℓ ) p ( P ˉ μ ℓ ) log ⁡ p ( f ˉ ∣ P ˉ μ ℓ ) p ( P ˉ μ ℓ ) p ( f ˉ ) d f ˉ = − ∑ ℓ = 1 L p ( P ˉ μ ℓ ) ∫ p ( f ˉ ∣ P ˉ μ ℓ ) log ⁡ p ( f ˉ ∣ P ˉ μ ℓ ) p ( P ˉ μ ℓ ) ∑ ℓ ′ p ( f ˉ ∣ P ˉ μ ℓ ′ ) p ( P ˉ μ ℓ ′ ) d f ˉ = − ∑ ℓ = 1 L p ( P ˉ μ ℓ ) ∫ p ( f ˉ ∣ P ˉ μ ℓ ) log ⁡ p ( f ˉ ∣ P ˉ μ