2023考研数一真题及答案

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1. 曲线$y=x\ln (e+\frac{1}{x-1})$的渐近线方程为（ ）
   (A)$y=x+e$
   (B)$y=x+\frac{1}{e}$
   ©$y=x$
   (D)$y=x-\frac{1}{e}$

2. 若微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$的解在$(-\infty ,+\infty )$上有界，则（ ）
   (A)$a<0,b>0$
   (B)$a>0,b>0$
   ©$a=0,b>0$
   (D)$a=0,b<0$

3. 设函数$y=f(x)$由$\{\begin{array}{l}x=2t+|t|\\ y=|t|\sin t\end{array}$确定，则（ ）
   (A)$f(x)$连续，$f^{\prime }(0)$不存在
   (B)$f^{\prime }(0)$存在，$f^{\prime }(x)$在$x=0$处不连续
   ©$f^{\prime }(x)$连续，$f^{\prime \prime }(0)$不存在
   (D)$f^{\prime \prime }(0)$存在，$f^{\prime \prime }(x)$在$x=0$处不连续

4. 已知$a_n<b_n(n=1,2,\dots )$，若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$与${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$均收敛，则“${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$绝对收敛”是“${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$绝对收敛的”（ ）
   (A) 充分必要条件
   (B) 充分不必要条件
   © 必要不充分条件
   (D) 既不充分也不必要条件

5. 已知$n$阶矩阵$A,B,C$满足$ABC=0$，$E$为$n$阶单位矩阵，记矩阵$\left(\begin{array}{cc}0& A\\ BC& E\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{cc}AB& C\\ 0& E\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{cc}E& AB\\ AB& 0\end{array}\right)$的秩分别为${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$，则（ ）
   (A)${\gamma }_1\le {\gamma }_2\le {\gamma }_3$
   (B)${\gamma }_1\le {\gamma }_3\le {\gamma }_2$
   ©${\gamma }_3\le {\gamma }_1\le {\gamma }_2$
   (D)${\gamma }_2\le {\gamma }_1\le {\gamma }_3$

6. 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（ ）
   (A)$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$
   (B)$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& 2& 0\\ a& 0& 3\end{array}\right)$
   ©$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$
   (D)$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

7. 已知向量${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$，${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 9\end{array}\right)$，${\beta }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，若$\gamma$既可由${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性表示，也可由${\beta }_1,{\beta }_2$线性表示，则$Y=$（ ）
   (A)$k\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right),k\in \mathbb{R}$
   (B)$k\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 10\end{array}\right),k\in \mathbb{R}$
   ©$k\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right),k\in \mathbb{R}$
   (D)$k\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right),k\in \mathbb{R}$

8. 设随机变量$X$服从参数为 1 的泊松分布，则$E(|X-EX|)=$（ ）
   (A)$\frac{1}{e}$
   (B)$\frac{1}{2}$
   ©$\frac{2}{e}$
   (D)$1$

9. 设$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自总体$N({\mu }_1,{\sigma }^2)$的简单随机样本，$Y_1,Y_2,\dots ,Y_m$为来自总体$N({\mu }_2,2{\sigma }^2)$的简单随机样本，且两样本相互独立，记$\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$，$\overline{Y}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{Y}_i$，$S_1^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$，$S_2^2=\frac{1}{m-1}{\sum }_{i=1}^m(Y_i-\overline{Y}{)}^2$，则（ ）
   (A)$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n,m)$
   (B)$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)$
   ©$\frac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n,m)$
   (D)$\frac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)$

10. 设$X_1,X_2$为来自总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单随机样本，其中$\sigma (\sigma >0)$是未知参数。若$\hat{\sigma }=a|X_1-X_2|$为$\sigma$的无偏估计，则$a=$（ ）
    (A)$\frac{\sqrt{\pi }}{2}$
    (B)$\frac{\sqrt{2\pi }}{2}$
    ©$\sqrt{\pi }$
    (D)$\sqrt{2\pi }$

11. 当$x\to 0$时，函数$f(x)=ax+b{x}^2+\ln (1+x)$与$g(x)=e^{x^2}-\cos x$是等价无穷小，则$ab=$$\underline{}$。

12. 曲面$z=x+2y+\ln (1+x^2+y^2)$在点$(0,0,0)$处的切平面方程为$\underline{}$。

13. 设$f(x)$为周期为 2 的周期函数，且$f(x)=1-x$，$x\in [0,1]$，若$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\pi x$，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{2n}=$$\underline{}$。

14. 设连续函数$f(x)$满足$f(x+2)-f(x)=x$，${\int }_0^{2}f(x)dx=0$，则${\int }_1^{3}f(x)dx=$$\underline{}$。

15. 已知向量${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$，${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$，$\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$，$\gamma =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3$，若${\gamma }^T{\alpha }_i={\beta }^T{\alpha }_i(i=1,2,3)$，则$k_1^2+k_2^2+k_3^2=$$\underline{}$。

16. 设随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X\sim B(1,\frac{1}{3})$，$Y\sim B(2,\frac{1}{2})$，则 P { X = Y } = P\{X = Y\} = P{X=Y}=$\underline{}$。

17. 设曲线$y=y(x)(x>0)$经过点$(1,2)$，该曲线上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处的切线在$y$轴上的截距。
    (i) 求$y(x)$；
    (ii) 求函数$f(x)={\int }_1^{x}y(t)dt$在$(0,+\infty )$上的最大值。

18. 求函数$f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3)$的极值。

19. 设空间有界区域$\Omega$由柱面$x^2+y^2=1$与平面$z=0$和$x+z=1$围成，$\Sigma$为$\Omega$边界的外侧，计算曲面积分
    $I={\iint }_{\Sigma }2xzdydz+xz\cos ydzdx+3yz\sin xdxdy.$

20. 设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有二阶连续导数，证明：
    (i) 若$f(0)=0$，则存在$\xi \in (-a,a)$，使得$f^{\prime \prime }(\xi )=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$；
    (ii) 若$f(x)$在$(-a,a)$内取得极值，则存在$\eta \in (-a,a)$使得 $|f^{\prime \prime }(\eta )|\ge \frac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|.$

21. 已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3$，$g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2y_2{y}_3$。
    (i) 求可逆变换$x=Py$，将$f(x_1,x_2,x_3)$化为$g(y_1,y_2,y_3)$；
    (ii) 是否存在正交变换$x=Qy$，将$f(x_1,x_2,x_3)$化为$g(y_1,y_2,y_3)$。

22. 设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi }(x^2+y^2),& x^2+y^2\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
    (i) 求$X$与$Y$的协方差；
    (ii) 判断$X$与$Y$是否相互独立；
    (iii) 求$Z=X^2+Y^2$的概率密度。