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在现代电力电子和控制系统中，特别是用于三相交流系统（如电机控制、变流器控制、储能变流器PCS等）的控制算法中，坐标变换是一项极其关键的技术手段。常见的坐标系包括：
三相静止坐标系（abc）
两相静止坐标系（αβ）
两相旋转坐标系（dq）
掌握它们的概念和相互变换方法，是理解空间矢量控制（SVPWM）、电流解耦控制、矢量控制（FOC）的基础。
一、三相静止坐标系（abc）
定义：abc 坐标系是三相交流系统的自然表示方式，对应电网或电机的三个物理绕组（A、B、C）产生的电压或电流。
波形特性：三相电通常是对称的正弦波，满足：
相差 120°
三相电流/电压之和为零：a+b+c=0
二、两相静止坐标系（αβ）
定义：两相静止坐标系 αβ（也叫Clarke坐标系）是将三相对称交流系统（abc坐标系）转换为一个正交的二维坐标系。这种变换用于将三个变量（如电压、电流）压缩为两个变量，便于数学建模、分析与控制。
| 特点 | 说明 |
|---|---|
| 🎯二维正交坐标 | α轴与a相方向相同；β轴垂直于α轴，方向根据右手法则确定。 |
| 🧠 静止参考系 | 与电机转子无关，固定不动 |
| 💪信息不丢失 | abc → αβ 是线性无损变换，包含原始三相信息 |
| 🧩简化计算 | 把三相系统变为二维，便于使用控制算法（如 PI、预测控制） |
三、两相旋转坐标系（dq）
定义：两相旋转坐标系，又称为同步旋转坐标系、Park坐标系，是从三相静止坐标系（abc）或两相静止坐标系（αβ）变换而来的一个随电机磁场或电压矢量同步旋转的参考坐标系。
这个坐标系中，变量变为直流量（DC量），从而简化控制器设计，比如PI控制器可以直接用于调节正弦波物理量。
| 优势 | 说明 |
|---|---|
| 🎯 正弦量转直流 | 原本abc系统的正弦波量在dq坐标系中成为恒定直流量（在稳态下）。例如正弦波电流可以变成 i_d = 0, i_q = 恒值，控制方便。 |
| 🧠 简化控制算法 | 可以用PI控制器（对直流有效）代替PR或复杂控制器，控制目标更容易收敛。 |
| 💪 可实现解耦控制 | d轴控制励磁（电压/磁链），q轴控制输出功率（电流/转矩），便于分别控制。 |
| 🧩 广泛用于电机与变换器控制 | 适用于同步电机、异步电机控制、并网变流器、储能PCS等控制场景。 |
四、Clarke变换（abc->αβ）
以空间电压矢量 Ua、Ub、Uc 为例
加上假象的零轴分量
从而将变换矩阵修改为可逆矩阵，修正后的变换为：
对矩阵方程求逆，能够得到两相静止坐标系到三相静止坐标系的变换：
三相电压对称，不考虑不平衡分量时：
五、Park变换（αβ->dq）
以空间电压矢量 Uα、Uβ为例
对矩阵方程求逆，得到两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换：
六、三相静止坐标系到两相旋转坐标系（abc->dq）
首先不考虑不平衡分量，假设三相电压对称，利用坐标变换矩阵作三相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换：
考虑不平衡分量时，能够将系数矩阵增广为可逆矩阵：
对矩阵方程求逆，得到两相旋转坐标系到三相静止坐标系的变换：
三相电压对称，不考虑不平衡分量时：
思考：
1）三相交流电正弦波，合成到一个空间矢量，有什么物理意义？在什么情况下，不能够将三相正弦波合成空间矢量？
物理意义：
将三相正弦波合成为一个空间矢量（space vector），实质上是用一个复数或二维矢量来表示三相对称系统的瞬时信息，这个矢量的模表示幅值，角度表示相位。
空间矢量将三相电压/电流的时域正弦信号映射为一个旋转的矢量，简化控制设计，比如在SVPWM或矢量控制中，便于使用简单的恒值（如dc量）来控制本质上是交流的对象。
不能合成的情况：
不平衡系统：如果三相幅值不相等，或相位角不是120°，则不能准确合成一个恒定幅值的旋转矢量。
存在零序分量：空间矢量法默认系统无零序，若三相电中含零序分量（如中性点偏移），则不能唯一表示为二维空间矢量。
非正弦波/畸变波形：三相波形不是正弦波（如含大量谐波）时，空间矢量不能完整描述所有频率成分。
2）两相静止坐标系的幅值，是三相静止坐标系幅值，的3/2倍？
这指的是从三相静止坐标系（abc）到αβ坐标系变换的功率等效性缩放因子。
从abc → αβ变换后，为保持瞬时功率不变，需要引入√(2/3)的缩放因子。
所以在空间矢量变换中，αβ矢量的幅值相较于三相最大幅值，大约是3/2倍。
3）PI控制为什么不适用于正弦波，而试用于直流被控量？
✅ 因为PI控制器是为“恒定误差”设计的。
PI控制器基本结构：
适用于 恒值型目标（如直流电压、电流） 的调节。
🚫 问题出在正弦信号：
当控制目标是正弦波时，误差
e(t)也是正弦波，积分项会：
积分震荡；
产生相位延迟；
放大低频误差，导致系统震荡或稳态误差大。
所以PI控制器无法高精度控制周期性（正弦）目标。
