【问题】
三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，▲PAB和▲ABC均为边长为2的正三角形，问三棱锥P-ABC外接球的半径是多少？
【解一】
找PC中点E，连DE，球心F必在DE上。
设FE=x，外接球半径为r，有
FP=FC=r=FB=FA(上图蓝线)
FP=FB=r
FP*FP=FB*FB
PE^2+EF^2=DF^2+DB^2
(根号6/2)^2+x^2=(根号6/2+x)^2+1
得到x=-1/根号6
r^2=EF^2+EP^2=(-1/根号6)^2+(根号6/2)^2=1/6+6/4=5/3
所以，r=(根号15)/3
最终的实际图像：
【解法二】
找到▲PAC的重心o1,▲ABC的重心o2,过o1做▲PAC的垂线，过o2做▲ABC的垂线，外接球的球心必在两垂线焦点上，设为o3.
DO1=DO2=根号3/3
Do3=根号2*根号3/3=根号6/3
r^2=DO3^2+DB^2=6/9+1=5/3
所以，r=(根号15)/3
【结论】
两种解法结果可互为印证，第二种更巧妙，更省时。
【绘制图像的Canvas代码】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
<title>两正三角形形成的三棱锥求外接球半径 Draft4</title>
<style type="text/css">
.centerlize{
margin:0 auto;
width:1200px;
}
</style>
</head>
<body οnlοad="init();">
<div class="centerlize">
<canvas id="myCanvas" width="12px" height="12px" style="border:1px dotted black;">
如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
</canvas>
</div>
</body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，
* 另存为.html文件，再用chrome浏览器打开，就能看到实现效果。
******************************************************************/
// canvas的绘图环境
var ctx;
// 高宽
const WIDTH=512;
const HEIGHT=512;
// 舞台对象
var stage;
//-------------------------------
// 初始化
//-------------------------------
function init(){
// 获得canvas对象
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
canvas.width=WIDTH;
canvas.height=HEIGHT;
// 初始化canvas的绘图环境
ctx=canvas.getContext('2d');
ctx.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);// 原点平移
// 准备
stage=new Stage();
stage.init();
// 开幕
animate();
}
// 播放动画
function animate(){
stage.update();
stage.paintBg(ctx);
stage.paintFg(ctx);
// 循环
if(true){
//sleep(100);
window.requestAnimationFrame(animate);
}
}
// 舞台类
function Stage(){
// 初始化
this.init=function(){
}
// 更新
this.update=function(){
}
// 画背景
this.paintBg=function(ctx){
ctx.clearRect(-WIDTH/2,-HEIGHT/2,WIDTH,HEIGHT);// 清屏
}
// 画前景
this.paintFg=function(ctx){
// 底色
ctx.save();
ctx.fillStyle = "white";
ctx.fillRect(-WIDTH/2,-HEIGHT/2,WIDTH,HEIGHT);
ctx.restore();
const R=210;//基准尺寸
// #1
ctx.save();
var r=R*1.00;
var a=createPt(-r,0);
var d=createPt2(a.x,a.y,r/Math.sqrt(2),Math.PI/4);
var p=createPt2(d.x,d.y,r/Math.sqrt(2)*Math.sqrt(3),-Math.PI/2);
var b=createPt2(a.x,a.y,r/Math.sqrt(2)*2,Math.PI/4);
var c=createPt(r,0);
var ratio=1/3;
var o1=createPt(d.x+(p.x-d.x)*ratio,d.y+(p.y-d.y)*ratio);
var o2=createPt(d.x+(c.x-d.x)*ratio,d.y+(c.y-d.y)*ratio);
var e=createPt(c.x/2+p.x/2,c.y/2+p.y/2);
var ratio=1.5;
var o3=createPt(d.x+(e.x-d.x)/ratio,d.y+(e.y-d.y)/ratio);
ctx.save();// PAB
ctx.strokeStyle="black";
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(a.x,a.y);
ctx.lineTo(b.x,b.y);
ctx.lineTo(p.x,p.y);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
ctx.restore();
ctx.save();// PCB
ctx.strokeStyle="black";
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(p.x,p.y);
ctx.lineTo(c.x,c.y);
ctx.lineTo(b.x,b.y);
ctx.stroke();
ctx.restore();
ctx.save();// AC
ctx.strokeStyle="black";
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(a.x,a.y);
ctx.lineTo(c.x,c.y);
ctx.stroke();
ctx.restore();
ctx.save();// PD
ctx.strokeStyle="black";
//ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(d.x,d.y);
ctx.lineTo(p.x,p.y);
ctx.stroke();
ctx.restore();
ctx.save();// dc
ctx.strokeStyle="black";
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(d.x,d.y);
ctx.lineTo(c.x,c.y);
ctx.stroke();
ctx.restore();
ctx.save();// o1o3
ctx.strokeStyle="black";
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(o1.x,o1.y);
ctx.lineTo(o3.x,o3.y);
ctx.stroke();
ctx.restore();
ctx.save();// o2o3
ctx.strokeStyle="black";
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(o2.x,o2.y);
ctx.lineTo(o3.x,o3.y);
ctx.stroke();
ctx.restore();
ctx.save();// a o3
ctx.strokeStyle="blue";
//ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(a.x,a.y);
ctx.lineTo(o3.x,o3.y);
ctx.stroke();
ctx.restore();
ctx.save();// B o3
ctx.strokeStyle="blue";
//ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(b.x,b.y);
ctx.lineTo(o3.x,o3.y);
ctx.stroke();
ctx.restore();
// 标注点
writeText(ctx,a.x,a.y,"A",r*0.1+"px consolas","black");
writeText(ctx,b.x,b.y,"B",r*0.1+"px consolas","black");
writeText(ctx,c.x,c.y,"C",r*0.1+"px consolas","black");
writeText(ctx,d.x,d.y,"D",r*0.1+"px consolas","black");
writeText(ctx,p.x,p.y,"P",r*0.1+"px consolas","black");
writeText(ctx,o1.x,o1.y,"o1",r*0.1+"px consolas","black");
writeText(ctx,o2.x,o2.y,"o2",r*0.1+"px consolas","black");
writeText(ctx,o3.x,o3.y,"o3",r*0.1+"px consolas","black");
ctx.restore();
writeText(ctx,WIDTH/2-30,HEIGHT/2-5,"逆火制图","8px consolas","lightgrey");// 版权
}
}
/*----------------------------------------------------------
函数:用于绘制矩形
ctx:绘图上下文
x:矩形中心横坐标
y:矩形中心纵坐标
width:矩形宽
height:矩形高
----------------------------------------------------------*/
function drawRect(ctx,x,y,width,height){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x-width/2,y-height/2);
ctx.lineTo(x+width/2,y-height/2);
ctx.lineTo(x+width/2,y+height/2);
ctx.lineTo(x-width/2,y+height/2);
ctx.closePath();
}
/*----------------------------------------------------------
函数:用于绘制实心圆
ctx:绘图上下文
x:矩形中心横坐标
y:矩形中心纵坐标
r:圆半径
style:填充圆的方案
----------------------------------------------------------*/
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,style){
ctx.fillStyle=style;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x,y,r,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.fill();
}
/*----------------------------------------------------------
函数:创建一个二维坐标点
baseX:基准点横坐标
baseY:基准点纵坐标
radius:当前点到基准点的距离
theta:当前点到基准点的角度
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt2(baseX,baseY,radius,theta){
var retval={};
retval.x=baseX+radius*Math.cos(theta);
retval.y=baseY+radius*Math.sin(theta);
return retval;
}
/*----------------------------------------------------------
函数:创建一个二维坐标点
x:横坐标
y:纵坐标
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt(x,y){
var retval={};
retval.x=x;
retval.y=y;
return retval;
}
/*----------------------------------------------------------
函数:延时若干毫秒
milliseconds:毫秒数
----------------------------------------------------------*/
function sleep(milliSeconds) {
const date = Date.now();
let currDate = null;
while (currDate - date < milliSeconds) {
currDate = Date.now();
}
}
/*----------------------------------------------------------
函数:书写文字
ctx:绘图上下文
x:横坐标
y:纵坐标
text:文字
font:字体
color:颜色
----------------------------------------------------------*/
function writeText(ctx,x,y,text,font,color){
ctx.save();
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.font = font;
ctx.fillStyle=color;
ctx.fillText(text,x,y);
ctx.restore();
}
/*-------------------------------------------------------------
当你真的可以靠交易为生，那种状态其实不是兴奋，而是平静。
你不着急证明什么，也不会被行情牵着鼻子走。
你知道自己在做什么，知道什么时候该出手，什么时候该等。
你不再幻想“暴富”，也不再追逐“一单成神”，
而是像个老农一样，播种、等待、收割......
一切按节奏来。
--------------------------------------------------------------*/
//-->
</script>