常用期权定价模型

发布于:2025-07-03 ⋅ 阅读:(30) ⋅ 点赞:(0)

期权的定义及其分类

期权(Option)是一种金融衍生工具,赋予持有人在未来某一特定时间(或之前)以约定价格(行权价)买入或卖出标的资产的权利,但不承担必须执行的义务。期权买方需支付权利金(Premium)获得权利,卖方则收取权利金并承担履约义务。

期权的分类

1. 按权利性质分类

看涨期权(Call Option)

买方有权按行权价买入标的资产(预期资产价格上涨)。
示例:买入某股票看涨期权,行权价100元,若股价涨至120元,可行使权利以100元买入。

看跌期权(Put Option)

买方有权按行权价卖出标的资产(预期资产价格下跌)。
示例:买入某股票看跌期权,行权价100元,若股价跌至80元,可行使权利以100元卖出。

2. 按行权时间分类

欧式期权(European Option)

仅能在到期日当天行权(如沪深300股指期权)。

美式期权(American Option)

可在到期日前任意时间行权(如美股个股期权)。

3. 按标的资产分类

tip:具体计算主要找行权价和权利金

股票期权

(如腾讯股票期权)
买入 10 份(1000 股)行权价 380 港元、1 个月后到期的看跌期权,权利金为 8 港元 / 股,总成本 = 8×1000=8000 港元。

股价(港元) 行权决策 股票持仓盈亏 期权盈亏 总盈亏
350 行权(以 380 元卖出) (350-400)×1000=-50000 港元 (380-350-8)×1000=22000 港元 -50000+22000=-28000 港元
390 不行权(放弃权利) (390-400)×1000=-10000 港元 -8000 港元 -18000 港元
430 不行权(放弃权利) (430-400)×1000=30000 港元 -8000 港元 22000 港元

(获得权力的价格为每股八港元(权利金),这是必扣的)

股指期权

(如标普500指数期权)
持有价值 100 万美元的标普 500 指数成分股组合。
预计未来 1 个月市场可能因宏观经济数据不佳而下跌。
期权策略:买入标普 500 指数看跌期权(Put Option):
选择行权价:3800 点(当前指数为 4000 点),期权合约乘数为 100 美元(每点对应 100 美元),期权价格(权利金)为 50 点(即 5000 美元 / 手)。
买入数量:10 手(100 万美元 ÷ (4000 点 × 100 美元 / 点) ≈ 2.5 手,实际按合约单位调整为 10 手,覆盖约 40% 风险)。
tips:有关点数的定义:假设 500 家成分股的自由流通市值总和为 80 万亿美元,调整除数为 20 万,则指数点数 = 80 万亿 ÷20 万 = 4000 点;调整除数(Index Divisor)是由指数编制机构(如标普道琼斯指数公司)根据成分股结构变化、分红、拆股等事件定期或不定期调整,以确保指数点数的连续性和准确性。

商品期权

(如黄金、原油期权)

要素 内容说明
标的资产 黄金期货合约(如 AU2412)
合约单位 1000 克 / 手(对应黄金期货合约规模)
行权价格 以黄金期货当前价格为中心,设置一系列行权价(如每克 450 元、460 元、470 元等)
到期日 一般为标的期货合约交割月前一个月的某一日期(如期货交割月为 12 月,期权到期日为 11 月 20 日)
行权方式 美式期权(可在到期日前任意交易日行权)

某航空公司预计 6 个月后需采购 10 万桶原油,担心油价上涨。此时 WTI 原油价格为 70 美元 / 桶,买入 100 手(10 万桶)行权价 75 美元 / 桶的看涨期权,支付权利金 3 美元 / 桶(总权利金 30 万美元)。
若 6 个月后油价涨至 85 美元 / 桶,行权以 75 美元 / 桶买入原油,节省(85-75)×100000=100 万美元,扣除权利金后净盈利 70 万美元;
若油价下跌至 65 美元 / 桶,放弃行权,损失 30 万美元权利金,避免直接采购的更高成本。

外汇期权

(如美元兑人民币期权)

要素 具体内容
期权类型 美元看涨期权(人民币看跌期权)
行权价(K) 7.3000(1美元 = 7.3人民币)
到期日 2025年9月26日
权利金 1% of 合约金额(100万美元×1% = 1万美元)
合约金额 100万美元

情景 1:
USD/CNY = 7.5000(人民币贬值超预期)
进口商选择行权:以 7.3000 购汇 100 万美元,支付 730 万人民币。
若直接在市场购汇:需支付 750 万人民币。
净收益:750 万 - 730 万 - 1 万(权利金)= 19 万人民币(节省成本)。
情景 2:
USD/CNY = 7.2500(人民币小幅贬值)
进口商放弃行权:直接在市场以 7.2500 购汇,支付 725 万人民币。
总成本:725 万 + 1 万(权利金)= 726 万人民币,比行权(730 万)更划算。
情景 3:
USD/CNY = 7.1000(人民币升值)
进口商放弃行权:市场购汇成本 710 万人民币。
总成本:710 万 + 1 万 = 711 万人民币,仅损失权利金 1 万美元(约 7.1 万人民币)。

利率期权

(如国债期权)
假设当前时间为 2025 年 6 月 26 日,某投资者关注 10 年期国债的价格波动,决定通过国债期权进行风险管理或投机交易。以 10 年期国债期货期权为例(标的资产为 10 年期国债期货合约):
标的资产:10 年期国债期货(当前价格为 105 元,对应国债收益率约为 3%)。
期权类型:欧式看涨期权(买方有权在到期日以约定价格买入标的资产)。
行权价格:100 元(低于当前国债期货价格,为实值期权)。
期权费(权利金):2 元 / 份(买方支付给卖方的费用)。
到期日:2025 年 9 月 26 日(3 个月后)。
情景 1:
国债期货价格上涨至 110 元
买方决策:行权(以 100 元买入,按 110 元市场价格卖出)。
买方盈亏:
收益 = 市场价格 - 行权价格 - 期权费 = 110 - 100 - 2 = 8 元 / 份。
卖方盈亏:
亏损 = 买方收益 = -8 元 / 份(需按 100 元卖出,市场价格 110 元,损失 10 元,扣除期权费 2 元后净亏损 8 元)。
情景 2:
国债期货价格下跌至 95 元
买方决策:放弃行权(直接从市场以 95 元买入更划算)。
买方盈亏:
亏损 = 期权费 = -2 元 / 份(仅损失初始支付的权利金)。
卖方盈亏:
收益 = 期权费 = 2 元 / 份(无需履约,全额保留权利金)。
情景 3:
国债期货价格维持在 100 元
买方决策:行权与不行权无差异(以 100 元买入,市场价格相同)。
买方盈亏:
亏损 = 期权费 = -2 元 / 份(行权后无价格差,仅损失权利金)。
卖方盈亏:
收益 = 期权费 = 2 元 / 份(买方可能放弃行权,卖方保留权利金)。
盈亏平衡点计算
买方盈亏平衡价格 = 行权价格 + 期权费 = 100 + 2 = 102 元。
当国债期货价格≥102 元时,买方行权可盈利;价格 < 102 元时,买方亏损(最大亏损为期权费 2 元)。
卖方盈亏平衡价格 = 行权价格 + 期权费 = 102 元。
当国债期货价格≤102 元时,卖方盈利(最大盈利为期权费 2 元);价格 > 102 元时,卖方亏损(理论上亏损无上限)。

4. 按交易场所分类

场内期权(Exchange-Traded Options)

在交易所标准化交易,流动性高(如CBOE、上交所期权)。

场外期权(OTC Options)

非标准化合约,由交易双方协商条款(常见于机构定制需求)。

5. 按行权价与标的现价关系分类

实值期权(In-the-Money, ITM)

行权价优于当前市场价(如看涨期权行权价<现价,看跌期权行权价>现价)。

平值期权(At-the-Money, ATM)

行权价等于现价。

虚值期权(Out-of-the-Money, OTM)

行权价劣于当前市场价(如看涨期权行权价>现价,看跌期权行权价<现价)。

注意:综上所述总类只是从不同维度分类,分类可叠加

期权的作用

一、风险管理:对冲市场波动风险

价格保护

投资者可通过买入期权对冲标的资产价格波动风险。例如:
买入看跌期权:持有股票的投资者担心股价下跌,可买入看跌期权。若股价下跌,期权收益能弥补股票亏损;若股价上涨,仅损失期权费。
买入看涨期权:计划未来买入股票的投资者,担心股价上涨,可买入看涨期权锁定买入价格,避免踏空风险。

组合风险分散

期权与其他资产搭配,可构建更灵活的投资组合。例如,通过 “现货 + 期权” 组合,在控制下行风险的同时保留上行收益潜力。

二、投机获利:以小博大的交易工具

杠杆效应

期权只需支付少量期权费(而非标的资产全部价值),即可获得标的资产价格波动的收益。例如:
某股票现价 100 元,买入行权价 105 元的看涨期权,期权费 5 元。若股价涨至 115 元,期权收益为 115-105=10 元,收益率为(10-5)/5=100%,而直接买股票收益率为 15%。

多空双向交易

看涨时买入看涨期权或卖出看跌期权;
看跌时买入看跌期权或卖出看涨期权,灵活把握市场涨跌机会。

(大部分时候还是用来套期保值的,炒期货属于少数)

期权定价目的

期权定价的核心目的是确定期权的公允价值,为市场参与者提供公平交易基准和风险管理工具,促进市场效率促进,优化资本配置,为监管提供更好的合规支持(风险转移和收益稳定)

常见的期权定价模型

注意:以下模型的使用期权类型仅从欧式期权和美式期权来考虑

一、BS模型(Black-Scholes模型)

简介:
能力: 简洁
适用期权类型: 欧式期权
跳跃: 不支持
波动率: 恒定
推荐使用场景: 基线模型
BS模型是金融市场中用于定价欧式期权的经典模型,假设标的资产价格服从几何布朗运动,波动率恒定。

具体算法

1.模型假设
  • 标的资产价格服从几何布朗运动(GBM)
  • 无交易成本和税收
  • 无风险利率恒定
  • 无股息支付(可扩展至含股息情形)
  • 连续交易且允许卖空
  • 市场无套利机会
2. 核心公式
欧式看涨期权价格 C:

在这里插入图片描述
风险越高(波动率越高),看涨期权价格越高的现象:因为波动率越高,标的资产价格的不确定性越大,看涨期权的买方需要支付更高的价格来承担这种不确定性(卖方可能会支付更多的钱,这种风险是被卖方所厌恶的)。

欧式看跌期权价格 P:

在这里插入图片描述
其中:

  • S _0 :标的资产当前价格
  • K:行权价
  • r:无风险利率(年化)
  • T:到期时间(年)
  • σ:标的资产波动率(年化)
  • N(⋅):标准正态分布的累积分布函数(CDF)
3. 中间变量计算

在这里插入图片描述

  • d_1和d_2是标准正态分布的变量,用于计算期权的理论价格。
  • d_1表示从当前到到期日,标的资产价格达到行权价的对数收益率,经过标准化后的值。
  • d_2 表示从当前到到期日,标的资产价格达到行权价的对数收益率,经过标准化后的值,但考虑了无风险利率和时间价值的影响。
d1、d2的经济学意义

在计算期权价格时,d_1和d_2被用来确定标的资产价格在到期时高于或低于行权价的概率,这些概率通过标准正态分布的累积分布函数(CDF)来计算。具体来说:
对于看涨期权,N(d_1)表示标的资产价格在到期时高于行权价的概率,而N(d_2)表示在考虑了无风险利率和时间价值后,标的资产价格在到期时高于行权价的概率。
对于看跌期权,N(−d_1)和N(−d_2)分别表示标的资产价格在到期时低于行权价的概率。
因此,d_1和d_2是连接标的资产价格、行权价、无风险利率、波动率和到期时间等参数与期权价格之间的桥梁,是Black-Scholes模型中不可或缺的组成部分。

4. 算法步骤
1.输入参数:
  • S _0 :标的资产当前价格
  • K:行权价
  • r:无风险利率(年化)
  • T:到期时间(年)
  • σ:标的资产波动率(年化)
2.计算 d_1和d_2:

先计算分子:在这里插入图片描述
再除以分母:在这里插入图片描述

3.计算正态分布函数值:

使用数值方法(如误差函数近似或查表)计算 N(d_1) 和 N(d_2)

4. 代码示例(Python)
import math
from scipy.stats import norm

def black_scholes(S, K, T, r, sigma, option_type='call'):
    d1 = (math.log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T) / (sigma * math.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)
    
    if option_type == 'call':
        price = S * norm.cdf(d1) - K * math.exp(-r*T) * norm.cdf(d2)
    elif option_type == 'put':
        price = K * math.exp(-r*T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)
    else:
        raise ValueError("Invalid option type. Use 'call' or 'put'.")
    
    return price

# 示例参数
S = 100  # 当前价格
K = 105  # 行权价
T = 1    # 1年后到期
r = 0.05 # 无风险利率5%
sigma = 0.2 # 波动率20%

call_price = black_scholes(S, K, T, r, sigma, 'call')
put_price = black_scholes(S, K, T, r, sigma, 'put')
print(f"Call Price: {call_price:.4f}, Put Price: {put_price:.4f}")
5. tip:
  • . 若标的资产支付连续股息率 q要有额外修正

二、Binomial Tree(二叉树模型)

简介:
能力: 提前行权
适用期权类型: 美式期权
跳跃: 不支持
波动率: 恒定
推荐使用场景: 快速求解美式期权
二叉树模型通过构建标的资产价格的二叉树结构来定价期权,适用于美式期权,允许提前行权。

具体算法

1.模型假设:
  1. 市场是无摩擦的:没有交易成本、税收、或任何其他市场摩擦。
  2. 标的资产可以无限分割:可以交易任意数量的标的资产,包括分数。
  3. 标的资产的价格只能在两个方向上移动:在每个时间步长内,标的资产的价格只能上升或下降。
  4. 价格移动是独立的:每个时间步长内的价格移动是独立的,且遵循相同的概率分布。
  5. 风险中性世界:投资者是风险中性的,即他们对风险没有偏好,只关心期望收益。
  6. 无风险利率是恒定的:在整个期权的有效期内,无风险利率保持不变。
  7. 标的资产没有收益:标的资产在期权有效期内不支付任何收益,如股息或利息。
  8. 期权只能在到期日或之前行权:对于欧式期权,只能在到期日行权;对于美式期权,可以在到期日或之前任何时间行权。
2.定义参数:
  • S_0:标的资产的初始价格。
  • K:期权的行权价格。
  • r:无风险利率。
  • σ:标的资产的年化波动率。
  • T:期权的到期时间(以年为单位)。
  • n:二叉树的步数。
3.计算时间步长:

在这里插入图片描述

4.计算价格上升和下降的因子:

在这里插入图片描述
tips:
价格上升因子u:
这个因子表示在每个时间步长内,标的资产价格可能上升的幅度。它由标的资产的年化波动率 σ 和时间步长 Δt 决定。波动率越高,价格上升的幅度越大;时间步长越长,价格上升的幅度也越大。
价格下降因子 d:
这个因子表示在每个时间步长内,标的资产价格可能下降的幅度。它与价格上升因子 u 互为倒数,同样由标的资产的年化波动率 σ 和时间步长 Δt 决定。波动率越高,价格下降的幅度越大;时间步长越长,价格下降的幅度也越大。

5.计算风险中性概率:

在这里插入图片描述

对公式推导的详细解释:
1.风险中性定价原理:
在风险中性世界中,任何资产的期望收益率都等于无风险利率 r。因此,标的资产在每个时间步长内的期望价格变化应该等于无风险利率。
2.期望价格变化:
在二叉树模型中,标的资产的价格在每个时间步长内可能上升到 S⋅u 或下降到 S⋅d。因此,标的资产在每个时间步长内的期望价格变化可以表示为:
在这里插入图片描述
其中 p 和 q 分别是价格上升和下降的风险中性概率。
3.无风险利率:
根据风险中性定价原理,期望价格变化应该等于无风险利率,即
在这里插入图片描述
4.等式两边相等:
将期望价格变化的表达式与无风险利率的表达式相等,得到:
在这里插入图片描述
5.简化等式:
由于 S 是标的资产的当前价格,可以将其从等式两边约去,得到:
在这里插入图片描述
6.求解 p 和 q:
由于 q=1−p,可以将 q 代入等式中,得到:
在这里插入图片描述
展开并整理等式,得到:
在这里插入图片描述
最后,解出 p,得到:
在这里插入图片描述
由于 q=1−p,可以得到:
在这里插入图片描述
(这些风险中性概率 p 和 q 是二叉树模型中计算期权价值的关键,它们使得模型能够在风险中性世界中计算期权的期望价值,并通过贴现回溯得到期权的初始价值。)

6.构建价格树:

在第 i 步,标的资产的价格为 S_i。
在第 i+1 步,价格可以上升到 S_i+1(u)=S_i⋅u 或下降到 S_i+1(d)=S_i⋅d。

时间步 0:          S₀ = 100
                 /        \
时间步 1:     122.14      81.87
             /     \     /     \
时间步 2: 149.18  100   100   67.03
           /   \  / \  / \  / \
时间步 3:182.21 122.14 122.14 81.87 81.87 54.88
7.计算期权的终值:

对于看涨期权:
在这里插入图片描述
对于看跌期权:
在这里插入图片描述

8.回溯计算期权价值:

从第 n−1 步开始,逐步回溯到第 0 步。
在每一步,计算期权的期望值并进行贴现:
在这里插入图片描述

三、Heston模型

简介:
能力: 微笑拟合
适用期权类型: 欧式/美式(需要PIDE)
跳跃: 不支持
波动率: 随机波动率
推荐使用场景: 实证建模
Heston模型引入了随机波动率的概念,能够更好地拟合市场观察到的期权价格微笑现象。

具体算法

1. 模型设定

Heston模型假设资产价格 S_t和波动率 v_t服从以下随机微分方程(SDE):
在这里插入图片描述
其中:
μ:资产漂移率(通常设为无风险利率 r 用于风险中性定价)。
κ:波动率均值回归速度。
θ:长期平均波动率。
σ:波动率的波动率(vol of vol)。
dW_t1和 dW_t2是布朗运动,相关系数为 ρ(即 dW_t1,dW_t2=ρdt)。

经济学要素拆解

以金融资产价格的 SDE 为例(如几何布朗运动):
在这里插入图片描述
其经济含义可拆解为三部分:

1. 漂移项(Drift Term)—— 确定性趋势
数学形式:在这里插入图片描述经济含义:

  • μ表示资产的期望瞬时收益率,反映经济主体对资产的基础回报预期(如股息、资本利得的平均水平)。
  • 该项体现经济变量在 “无随机扰动” 下的确定性演化方向。

2. 扩散项(Diffusion Term)—— 随机性波动
数学形式:在这里插入图片描述
经济含义:

  • σ表示资产的波动率,刻画市场不确定性的强度,反映信息冲击、投资者情绪等随机因素的影响;
  • dW_t是标准维纳过程(布朗运动),代表市场中不可预测的 “白噪声”
    扰动,例如:突发新闻、政策变动等未被市场预期的事件,会通过扩散项导致资产价格瞬时波动;

3. 跳跃项(Jump Term)—— 极端事件冲击
扩展形式(如 Bates 模型):
在这里插入图片描述
经济含义:
dN_t是泊松过程,代表跳跃事件的发生频率(强度为λ);
J表示跳跃幅度,刻画突发极端事件(如金融危机、黑天鹅事件)对资产价格的离散冲击,弥补了布朗运动仅能描述连续波动的局限性。

2. 特征函数(Characteristic Function)

Heston模型的闭式解依赖于特征函数,其形式为:
在这里插入图片描述
其中 C(T,u) 和 D(T,u) 通过解Riccati方程得到:
在这里插入图片描述

3. 期权定价公式

欧式期权价格 C(S_0,v_0,T) 可通过特征函数的傅里叶逆变换计算:
在这里插入图片描述
其中:
P_1和 P_2是概率(类似于Black-Scholes中的 N(d_1) 和 N(d_2)),通过以下积分计算:在这里插入图片描述
对应不同的概率测度:
在这里插入图片描述

四、Merton模型

简介:
能力: 模拟跳跃
适用期权类型: 欧式期权
跳跃: 支持
波动率: 不支持
推荐使用场景: 突发冲击分析
Merton模型在Black-Scholes模型的基础上引入了跳跃过程,以模拟标的资产价格的突然变化,是信用风险量化领域的经典框架,用于评估公司违约概率(PD)和信用利差。其核心思想是将公司股权视为对公司资产的看涨期权(Black-Scholes-Merton框架),通过期权定价理论推导违约风险。

具体算法

1. 模型假设

公司资产价值 V 服从几何布朗运动:
在这里插入图片描述
其中 μ 为资产回报率,σ 为波动率,dW 为维纳过程。
公司负债为单一期限的零息债券,面值 D,到期时间 T。
违约发生在到期日 T 时资产价值 V_T<D。

2. 关键公式
(1) 违约概率(PD)

在风险中性测度下(假设无风险利率 r),资产价值 V_T服从对数正态分布:
在这里插入图片描述
其中:
在这里插入图片描述

  • V_0 :当前资产价值(需通过股权市场数据反推)
  • N(⋅):标准正态分布的累积分布函数(CDF)
(2) 信用利差(Credit Spread)

债券到期收益率与无风险利率的差值:
在这里插入图片描述
其中:
在这里插入图片描述

(3) 股权价值(E)

股权可视为对公司资产的看涨期权:
在这里插入图片描述

3. 参数校准步骤
1.估计资产价值 V_0和波动率 σ

通过股权市场数据(股价 S、波动率 σ_E)反解:
在这里插入图片描述
需数值求解(如牛顿迭代法)联立方程。

2.输入参数

无风险利率 r(通常用国债收益率)
负债面值 D(公司债务总额)
到期时间 T(债务期限)

五、Bates模型

简介:
能力: 综合拟合
适用期权类型: 欧式/美式(难)
跳跃: 支持
波动率: 下降
推荐使用场景: 原油、冲突期权研究
Bates模型结合了Heston随机波动率模型和Merton跳跃扩散模型的特点,能够同时捕捉资产价格的随机波动、波动率的均值回归特性以及价格的突发跳跃。

具体算法

1. 模型基本设定

Bates模型假设标的资产价格 S_t和波动率 v_t满足以下随机微分方程(SDE):
在这里插入图片描述
其中:
μ:标的资产的漂移率;
κ:波动率的均值回归速度;
θ:波动率的长期均值;
σ_v:波动率的波动率;
W_t1,W_t2:两个相关的布朗运动,相关系数为 ρ;
N_t:强度为 λ 的泊松过程,表示跳跃发生的次数;
Y_t:跳跃幅度的随机变量,通常假设服从正态分布 N(μ_J,σ_J^2)。

第一个式子在上面已经提及了,所以接下来就是有关dv_t = κ(θ - v_t) dt + σ√v_t dW_t^2式子的拆解:
波动率动态方程为:
在这里插入图片描述
该方程本质上是Heston 随机波动率模型的核心结构,在 Bates 模型中用于刻画资产价格波动率的动态演化,其经济含义可通过拆解方程的两大部分来理解。
漂移项:
在这里插入图片描述
均值回归特性的经济逻辑
θ代表波动率的长期均衡水平,反映市场在 “正常状态” 下的波动程度(如股票市场的历史平均波动率)。
κ是均值回归速率,衡量波动率向长期均值收敛的速度:若当前波动率v_>θ,漂移项为负,推动波动率向θ回落,体现市场波动的 “自我修正”—— 例如金融危机期间波动率(如 VIX 指数)飙升后,随着市场情绪平复,波动率会逐渐回归常态;若v_t<θ,漂移项为正,推动波动率上升,反映市场不可能长期维持极低波动(如低波动环境下,投资者风险偏好上升可能引发潜在波动)。
均值回归的市场微观解释
经济基本面的稳定性:企业盈利、宏观经济数据等基本面因素的波动具有周期性,决定了资产价格波动不会长期偏离基本面驱动的 “合理水平”;
投资者行为的调节作用:高波动时投资者倾向于避险,降低交易频率或对冲风险,使波动逐渐缓和;低波动时投资者可能增加杠杆或风险资产配置,积累潜在波动压力
扩散项:
在这里插入图片描述
波动率随机性的来源:
σ是波动率的波动率(Vol of Vol),刻画波动率自身的不确定性 —— 即 “波动的波动”,反映市场对信息冲击的反应不确定性:发新闻、政策变动等未预期事件会同时影响资产价格和波动率,且这种影响的强度本身难以预测(如同一事件对市场的冲击可能因投资者情绪差异而不同)
波动率随机性的市场影响:
解释 “波动率微笑” 现象:期权隐含波动率随行权价偏离程度的变化,本质上是市场对波动率随机性的定价 —— 投资者对极端行情(左尾下跌)的风险溢价更高,因此虚值看跌期权价格更贵,推高隐含波动率;
量化风险的时变性:波动率的随机性使风险度量(如 VaR)需要动态调整,无法用固定波动率简单刻画。

2. 模型特点

Bates模型通过引入跳跃成分,能够更好地捕捉金融市场中资产价格的“尖峰厚尾”现象(即价格分布的尖峰和厚尾特征),以及波动率的随机变化和跳跃风险。与Heston模型相比,Bates模型增加了跳跃成分,因此在定价复杂期权(如障碍期权、美式期权等)时表现更优。

3. 定价方法

Bates模型的期权定价通常采用特征函数法(Fourier变换法)。具体步骤如下:
特征函数推导:首先推导标的资产价格对数的特征函数 φ(u,t),该函数满足一定的偏微分方程(PDE)或偏积分微分方程(PIDE)。
Fourier反变换:利用特征函数,通过Fourier反变换得到期权价格的闭式解或半闭式解。例如,欧式期权的价格可以通过以下公式计算:在这里插入图片描述
其中,P_1和 P_2通过Fourier反变换从特征函数中计算得到。

4. 参数估计

Bates模型的参数估计通常采用极大似然估计(MLE)、广义矩估计(GMM)或马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)方法。在实际应用中,通常使用市场期权价格数据进行校准,以最小化模型价格与市场价格的误差。

5. 数值实现

在实际数值实现中,Bates模型可以通过以下方法求解:

  • 有限差分法(FDM):适用于美式期权和复杂路径依赖型期权的定价。
  • 蒙特卡洛模拟:适用于高维问题和路径依赖型期权,但计算效率较低。
  • 快速傅里叶变换(FFT):利用特征函数和FFT加速Fourier反变换的计算,适用于欧式期权。
6. 应用与优势

Bates模型广泛应用于:

  • 欧式期权定价:特别是具有跳跃风险和随机波动率的期权。
  • 障碍期权定价:能够更好地捕捉障碍期权的价格敏感性和跳跃风险。
  • 美式期权定价:通过结合随机波动率和跳跃成分,能够更准确地描述美式期权的早期行权决策。

六、LSMC(Least Squares Monte Carlo)

简介:
能力: 数值方法
适用期权类型: 美式期权
跳跃: 支持
波动率: 支持
推荐使用场景: 策略模拟、路径分析
LSMC是一种数值方法,通过蒙特卡罗模拟和最小二乘法来估计期权价格,适用于路径依赖期权的定价。

具体算法

1. 路径模拟(Monte Carlo Simulation)

在风险中性测度下,模拟标的资产价格路径,其中(i=1,…,N 为路径编号,M 为时间步数)
在这里插入图片描述
例如,几何布朗运动(GBM)模型:
在这里插入图片描述

2. 反向归纳(Backward Induction)

从到期日 t=M 开始,逐步倒推至 t=0
到期日(t=M):
每条路径的期权价值为到期收益:
在这里插入图片描述

3.回归估计条件期望(Least Squares Regression)

在每一步 t<M,对实值路径(即当前可执行收益为正的路径)进行回归:
回归变量:当前资产价格 S)_t^(i)。
回归目标:折现的未来期权价值 e−rΔtV_t+1(t+1)
使用基函数(如多项式)拟合条件期望:
在这里插入图片描述
其中 ϕ_j(x) 为基函数(如 1,x,x_2)

4. 决策规则(Exercise Strategy)

比较立即执行收益与回归估计的延续价值:在这里插入图片描述
若立即执行收益更大,则标记路径为执行,并记录收益;
否则,延续价值为折现的下一步期权价值。

5. 价格估计(Averaging)

最终期权价格为所有路径在 t=0 时的平均折现收益:
在这里插入图片描述


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