【数据结构】时间复杂度和空间复杂度

数据结构前言

1.什么是数据结构？

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的 数据元素的集合。

2.什么是算法？

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为 输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

3.数据结构和算法的重要性

现在公司对学生代码能力的要求是越来越高了，大厂笔试中几乎全是算法题而且难度 大，中小长的笔试中才会有算法题。算法不仅笔试中考察，面试中面试官基本都会让现场写代 码。而算法能力短期内无法快速提高了，至少需要持续半年以上算法训练积累，否则真正校招时 笔试会很艰难，因此算法要早早准备。

算法的时间复杂度和空间复杂度

1.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般
是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
**时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。**在计算
机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计
算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

1.3 复杂度在校招中的考察

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知
道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个
分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法
的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; ++ i)
   {
         for (int j = 0; j < N ; ++ j)
         {
              ++count;
         }
    }

    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }

    int M = 10;
    while (M--)
    {
         ++count;
    }
        printf("%d\n", count);
}

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3常见时间复杂度计算举例

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
     int count = 0;
     for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
            ++count;
    }

     int M = 10;
     while (M--)
     {
        ++count;
     }

     printf("%d\n", count);
}

F(N) = 2*N+10->O(N)

实例2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
	 ++count;
 }
 
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 	++count;
 }
 	printf("%d\n", count);
}

时间复杂度 O(M+N) O(max{M,N})

如果M远大于N->O(M)

如果N远大于M->O(N)

实例3:

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
   int count = 0;
   for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
   ++count;
 }
   p(rintf("%d\n", count);
}//O(1) 代表常数次

O(1) 不是代表一次 代表常数次

实例4:

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

while(*str)
{
	if(*str==character)
        return str;
    else
        ++str;
}

最好O(1) 最坏O(N)

实例5:冒泡排序

/ 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
     int exchange = 0;
     for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
	 if (a[i-1] > a[i])
	 {
 		Swap(&a[i-1], &a[i]);
 		exchange = 1;
 	}
 }
 
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

N-1+N-2+……+2+1 = N(N-1)/2–>O(N^2)*

实例6:二分查找

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
     int mid = begin + ((end-begin)>>1);
     if (a[mid] < x)
     begin = mid+1;
     else if (a[mid] > x)
     end = mid-1;
     else
     return mid;
 }
 
	 return -1;
}

二分查找 O(logN) 默认以2为底

实例7:

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

Fac(N)—>N次

Fac(N-1)–>N-1次

Fac(N-2)–>N-次

……

Fac(1)–>1次

递归时间复杂度:所有递归调用次数累加

等差数列求和 时间复杂度为O(N^2)

实例8:

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

等比数列求和 2^(N-1)-1

时间复杂度为O(2^n)

面试题1：消失的数字

消失的数字

思路一

先排序，再依次查找，如果下一个值不等于前一个+1，下一个值就是消失的数字

冒泡排序 O(N^2)

qsort O(N*logN)

思路二

先求0到N,再依次减去数组中值，剩下的那个值就是消失的数字

int missinNumber(int* nums,int numsSize)
{
    int N=numsSize;
    int ret-=N(N+1)/2;
    for(int i=0;i<numsSize;++i)
    {
        ret-=sums[i];
	}
}

N太大会存在溢出风险

思路三

异或(相同的值==0)

int missinNumber(int* nums,int numsSize)
{
    int N=numsSize;
    int x=0;
    for(int i=0;i<numsSize;++i)
    {
        x^=nums[i];
    }
    for(int j=0;j<=N;++j)
    {
        x^=j;
    }
}

面试题2：轮转数组

轮转数组

思路一

先看旋转一次

int tmp=nums[numsSize-1];
for(int i =numsSize-2;i>=0;i--)
{
    nums[i+1]=nums[i];
}
nums[0]=tmp;

真实的旋转次数 K%=N

时间复杂度:O(K*N)

最好的情况:k%N=0

最坏的情况:K%N=N-1–>O(N^2)

void rotate(int* nums,int numsSize,int k){
    k%=numsSize;
    while(k--)
    {   
        //旋转一次
        int tmp=nums[numsSize-1];
        for(int i =numsSize-2;i>=0;i--)
        {
            nums[i+1]=nums[i];
        }
        nums[0]=tmp;
    }
}

思路二

void reverse(int*a,int left,int right)
{
    while(left<right)
    {
        int tmp=a[left];
        a[left]=a[right];
        a[right]=tmp;
        ++left;
        --right;
    }
}
void rotate(int* nums;int sumsSize;intk){
    k%=sumsSize;
   reverse(nums,0,numsSize-k-1);
   reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);
   reverse(nums,0,numsSize-1);
    
}

3.空间复杂度

空间复杂度（Space Complexity）是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。它通常用大O表示法来表示，记作S(n)=O(f(n)) ，其中 n是问题的规模， f(n) 是算法所占存储空间的函数。空间复杂度的分析有助于了解算法在执行时所需的内存资源，从而评估算法的效率和可行性。

常见的空间复杂度：O(N^2) O(N) O(1)

实例

//计算阶乘递归Fac的空间复杂度
long long Fac(size_t N)
{
    if(N==0)
        return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

因为每次调用都占用一个空间 所以空间复杂度为O(N)