在传统相机模拟中，地面通常被建模为一个平面（Plane），这在低空场景下是合理的。但在更大视场范围或远距观察时，地球的曲率不可忽视。因此，我们需要将地面模型从平面升级为球体，并基于球面与光线的几何关系判断每个像素是否看到地面或天空，并进行地面贴图映射。
本文将介绍完整的数学推导与 C++ 实现逻辑，适用于任何高度、视角和分辨率的相机建模。
一、模型定义
1.1 地球模型
我们将地球建模为一个完美球体：
地球半径（单位：米）：
R=6371000地球球心坐标（世界坐标系原点）：
O=(0,0,0)地面贴图采用等距圆柱投影（Equirectangular projection）
1.2 相机定义
相机位置在球心正上方，高度为H：
相机方向向量（单位向量）：
水平方向X、垂直方向Y、视轴方向Z构成相机坐标系：
相机分辨率为 (W, H)，视场角为fov。
二、光线生成与交点判断
2.1 像素对应的光线生成
对于每个像素 (i, j)，我们将其映射为归一化视场坐标：
水平范围 [-1, 1]，垂直范围 [-1, 1]
假设视场角为fov，焦距为：
则该像素对应的相机坐标为：
再通过相机基向量转换为世界方向：
得到从相机发出的世界坐标系下的光线：
2.2 光线与球体求交
地球表面满足球面方程：
将光线代入球面方程，得到一元二次方程：
展开并整理为：
若
：光线未击中地球，像素显示天空若
：光线击中地球，交点为：
（若 
则交点在背后，也认为看向天空）
三、纹理映射（球坐标转二维纹理）
3.1 世界坐标 → 球坐标
交点为：
转换为球坐标（经纬度）：
经度（longitude）：
纬度（latitude）：
3.2 球坐标 → 贴图坐标 (u, v)
将经纬度映射为贴图坐标（归一化到[0, 1]）：
四、C++ 实现核心逻辑
cv::Vec3b tracePixelRay(int px, int py, int W, int H, double fov,
const cv::Vec3d& camPos,
const cv::Vec3d& X,
const cv::Vec3d& Y,
const cv::Vec3d& Z,
const cv::Mat& texture)
{
double aspect = double(W) / H;
double fx = (W / 2.0) / tan(fov / 2.0);
double fy = fx;
double x = (px - W / 2.0) / fx;
double y = (H / 2.0 - py) / fy;
cv::Vec3d dir_cam = cv::normalize(cv::Vec3d(x, y, -1));
cv::Vec3d dir_world = cv::normalize(X * dir_cam[0] + Y * dir_cam[1] + Z * dir_cam[2]);
// 光线-球面求交
double R = 6371000.0;
double a = 1.0;
double b = 2.0 * camPos.dot(dir_world);
double c = camPos.dot(camPos) - R * R;
double delta = b * b - 4 * a * c;
if (delta < 0) return cv::Vec3b(0, 0, 0); // 天空
double t = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a);
if (t <= 0) return cv::Vec3b(0, 0, 0); // 相机后方
// 计算交点
cv::Vec3d P = camPos + t * dir_world;
double theta = atan2(P[1], P[0]);
double phi = acos(P[2] / R);
double u = (theta + CV_PI) / (2 * CV_PI);
double v = phi / CV_PI;
int tex_u = u * texture.cols;
int tex_v = v * texture.rows;
tex_u = std::clamp(tex_u, 0, texture.cols - 1);
tex_v = std::clamp(tex_v, 0, texture.rows - 1);
return texture.at<cv::Vec3b>(tex_v, tex_u);
}
五、主循环调用
cv::Mat render(int W, int H, double fov_rad, double height,
const cv::Vec3d& D_view, const cv::Mat& texture)
{
double R = 6371000.0;
cv::Vec3d camPos = cv::Vec3d(0, 0, R + height);
cv::Vec3d up = cv::Vec3d(0, 1, 0);
cv::Vec3d Z = -cv::normalize(D_view);
cv::Vec3d X = cv::normalize(up.cross(Z));
cv::Vec3d Y = Z.cross(X);
cv::Mat img(H, W, CV_8UC3);
for (int j = 0; j < H; ++j)
{
for (int i = 0; i < W; ++i)
{
img.at<cv::Vec3b>(j, i) = tracePixelRay(i, j, W, H, fov_rad, camPos, X, Y, Z, texture);
}
}
return img;
}
总结
通过将地面建模为球体并结合光线-球面交点分析，我们能够精确判断每一条视线是否击中地球，实现真实地面与天空的分界。同时，利用等距圆柱投影将地球纹理映射到图像，完成完整可视化。这种方法可广泛应用于卫星成像模拟、导引头视场渲染、地球可视仿真等场景。