【近世代数】同态与同构

同态与同构是抽象代数中的重要概念，它们用于描述两个代数结构之间的关系，下文从定义、性质、示例等方面详细介绍。

1.同态

1）定义
设 $(G,\cdot )$ 和 $(H,\ast )$ 是两个群（或其他代数结构），$\cdot$和$\ast$分别是G和H上的二元运算，若存在映射 $f:G\to H$ 满足对于任意 $a,b\in G$，有： $$f(a\cdot b)=f(a)\ast f(b)$$ ，则称 $f$ 为从 $G$ 到 $H$ 的同态。
2）性质

保持运算结构：同态映射保持代数结构中的运算关系，即对于运算 $\ast$ 和 $\cdot$，若 $f:G\to H$ 是同态，则 $f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)$。

核和像的性质：同态的核 $\ker (f)$ 是 $G$ 的正规子群，反映了同态映射将哪些元素映射到了 $H$ 的单位元。像 $\mathrm{im}(f)$ 是 $H$ 的子群，$f$可以看做是从$(G,\cdot )$ 到 $(f(G),\ast )$ 的满同态。

传递性：若 $f:G\to H$ 和 $g:H\to K$ 是同态，则 $g\circ f:G\to K$ 也是同态。

单位元映射：同态将单位元映射到单位元，即 $f(e_G)=e_H$。

逆元映射：同态保持逆元，即 $f(a^{-1})=(f(a){)}^{-1}$。

3）例子

①考虑整数加法群 ($\mathbb{Z}$,+) 和模 n 剩余类加法群
($\mathbb{Z}$ n ,+_n )，定义映射 φ:$\mathbb{Z}$→$\mathbb{Z}$ n 为
φ(k)=[k] n，其中 [k] n表示k 所在的模 n 剩余类。对于任意a,b∈$\mathbb{Z}$，有
φ(a+b)=[a+b] n =[a] n +_n [b] n =φ(a) +_n φ(b)，所以 φ 是从($\mathbb{Z}$,+) 到 ($\mathbb{Z}$ n ,+_n) 的一个同态映射。

②设 $G=(\mathbb{R},+)$，$H=({\mathbb{R}}^{+},\times )$，定义 $f:G\to H$ 为 $f(x)=e^x$。对于任意 $a,b\in \mathbb{R}$，有 $f(a+b)=e^{a+b}=e^a\times e^b=f(a)\times f(b)$，因此 $f$ 是同态。

2.同构

1）定义
同构是指两个代数结构之间保持运算的双射（一一对应且满射）映射。若 $f:G\to H$ 是同态且是双射，则称 $f$ 为同构映射。此时称 $G$ 和 $H$ 是同构的，记作 $G\cong H$。

2）性质
双射性：同构是同态中的双射（既单射又满射），因此具有逆映射，且逆映射也是同构。

结构完全一致：两个同构的群在代数结构本质上完全相同，仅元素符号或表示方式可能不同。它们具有相同的运算性质、相同的子结构、相同的单位元、相同的逆元等。

保持所有运算关系：同构不仅保持运算，还保持所有代数关系，如子群、正规子群、中心等结构对应。

自同构群：一个群 $G$ 的所有自同构（$G$ 到自身的同构）构成群 $\mathrm{Aut}(G)$，称为自同构群。

传递性：若 $G\cong H$ 且 $H\cong K$，则 $G\cong K$。

对称性：若 $G\cong H$，则 $H\cong G$。

3）例子
①反函数也是同构：如果 φ:A→B 是一个同构映射，那么它的反函数
φ−1:B→A也是一个同构映射。

②设 $G=(\mathbb{Z},+)$，$H=(2\mathbb{Z},+)$，定义 $f:G\to H$ 为 $f(n)=2n$。可见$f$ 是双射且满足 $f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)$，因此 $G\cong H$。