线性回归（Linear Regression）详解
一. 什么是线性回归？
线性回归是机器学习中最基础的监督学习算法之一，用于预测连续型目标变量。其核心思想是：找到自变量（特征）与因变量（目标）之间的线性关系，通过这条关系线来预测未知数据。
例如：
- 用房屋面积（自变量）预测房价（因变量）
- 用学习时长（自变量）预测考试分数（因变量）
- 用多个特征（如面积、卧室数量、位置）预测房价（多元线性回归）
二. 数学原理
2.1 假设函数
线性回归假设自变量与因变量的关系可表示为：
简单线性回归（单特征）：
y=wx+b
其中，x 是自变量，y 是预测值，w 是权重（斜率），b 是偏置（截距）。多元线性回归（多特征）：
y=w1x1+w2x2+...+wnxn+b
可简化为矩阵形式：y=WTX+b（W 是权重向量，X 是特征矩阵）。
2.2 损失函数
目标是找到最优的 w 和 b，使预测值与真实值的误差最小。常用均方误差（MSE） 作为损失函数：
Loss=n1∑i=1n(yi−y^i)2
其中，yi 是真实值，y^i 是预测值，n 是样本数量。
2.3 求解参数
通过最小化损失函数求解 w 和 b，常用方法：
- 正规方程：直接通过数学公式求解（适用于小数据集）。
- 梯度下降：通过迭代优化，逐步调整参数以降低损失（适用于大数据集）。
三. 线性回归的假设
线性回归的有效性依赖于以下假设：
- 自变量与因变量存在线性关系；
- 误差项（y−y^）之间相互独立；
- 误差项具有同方差性（方差恒定）；
- 误差项服从正态分布。
四. 线性回归的优缺点
- 优点：
- 原理简单，解释性强（权重可直接反映特征影响）。
- 训练速度快，适合大规模数据。
- 缺点：
- 只能捕捉线性关系，无法处理非线性数据（需手动特征工程，如多项式转换）。
- 对异常值敏感，可能影响拟合效果。
五.scikit-learn的linear_model.LinearRegression方法
scikit-learn（简称 sklearn）是 Python 中最常用的机器学习库之一，其linear_model.LinearRegression类提供了高效、易用的线性回归实现。下面详细介绍其核心功能、参数、方法及使用要点。
1. LinearRegression 核心功能
LinearRegression实现了普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS） 线性回归，用于：
- 建模特征与连续目标变量的线性关系
- 支持单特征（简单线性回归）和多特征（多元线性回归）
- 通过最小化预测值与真实值的残差平方和求解参数
2. 核心参数详解
初始化LinearRegression时可配置的关键参数：
| 参数 | 类型 | 默认值 | 说明 |
|---|---|---|---|
fit_intercept |
bool | True | 是否计算模型的偏置项（截距b）。- True：模型包含截距（推荐，除非特征已中心化）- False：假设数据已中心化，不计算截距 |
normalize |
bool | False | 是否在拟合前对特征进行归一化（已过时，建议用StandardScaler替代）。- True：对特征进行归一化（均值为 0，方差为 1） |
copy_X |
bool | True | 是否复制特征数据（避免修改原始数据） |
n_jobs |
int | None | 并行计算的线程数（用于大规模数据）。 - -1：使用所有可用 CPU 核心 |
positive |
bool | False | 是否强制权重系数为非负数（适用于物理意义上权重不能为负的场景，如销量预测） |
3. 主要方法
LinearRegression对象的核心方法：
| 方法 | 功能 |
|---|---|
fit(X, y) |
训练模型，求解权重coef_和截距intercept_。- X：特征矩阵（形状(n_samples, n_features)）- y：目标变量（形状(n_samples,)） |
predict(X) |
用训练好的模型预测新数据。 - 返回预测值（形状 (n_samples,)） |
score(X, y) |
计算模型在X和y上的R2分数（决定系数），衡量模型拟合优度。- 范围：(−∞,1]，越接近 1 拟合越好 |
get_params(deep=True) |
获取模型当前参数配置 |
set_params(**params) |
修改模型参数（如model.set_params(fit_intercept=False)） |
4. 重要属性
训练后可访问的模型属性
| 属性 | 说明 |
|---|---|
coef_ |
特征权重数组（形状(n_features,)），对应公式中的w1,w2,...,wn |
intercept_ |
截距（标量），对应公式中的b |
rank_ |
特征矩阵的秩（用于判断多重共线性） |
singular_ |
特征矩阵的奇异值（用于诊断数据问题） |
5. 关键注意事项
数据预处理：
- 特征量纲差异大时，需先标准化（
StandardScaler）或归一化，避免量纲影响权重 - 缺失值需先处理（如用
SimpleImputer填充），否则模型会报错 - 异常值对线性回归影响大，可通过箱线图检测并处理
- 特征量纲差异大时，需先标准化（
多重共线性：
- 当特征间高度相关（如 "面积" 和 "房间数"），会导致权重不稳定
- 可通过方差膨胀因子（VIF）检测，或使用正则化方法（如 Ridge 回归）缓解
适用场景：
- 适合特征与目标存在线性关系的数据
- 不适合非线性关系（此时需用多项式回归或树模型）
与其他线性模型的区别：
LinearRegression（OLS）无正则化，可能过拟合Ridge：加入 L2 正则化，缓解过拟合Lasso：加入 L1 正则化，可实现特征选择（部分权重为 0）