【线性代数】其他

上一节：【线性代数】线性方程组与矩阵——（3）线性方程组解的结构
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11. 向量的内积、长度及正交性

• 设有 $n$ 维向量 $\mathrm{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathrm{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$，令 $[\mathrm{x},\mathrm{y}]={\mathrm{x}}_1{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{x}}_2{\mathrm{y}}_2+\cdots +{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{y}$，则 $[\mathrm{x},\mathrm{y}]$ 称为向量 $\mathrm{x}$ 与 $\mathrm{y}$ 的内积。
• 内积的性质
  • $[\mathrm{x},\mathrm{y}]=[\mathrm{y},\mathrm{x}]$
  • $[\lambda \mathrm{x},\mathrm{y}]=\lambda [\mathrm{x},\mathrm{y}]$
  • $[\mathrm{x}+\mathrm{y},\mathrm{z}]=[\mathrm{x},\mathrm{z}]+[\mathrm{y},\mathrm{z}]$
  • $[\mathrm{x},\mathrm{x}]\ge 0$，且 $[\mathrm{x},\mathrm{x}]=0$ 当且仅当 $\mathrm{x}=0$。
• 施瓦茨不等式：$[\mathrm{x},\mathrm{y}{]}^2\le [\mathrm{x},\mathrm{x}][\mathrm{y},\mathrm{y}]$
• 令 $||x||=\sqrt{[\mathrm{x},\mathrm{x}]}$，则 $||x||$ 称为向量 $\mathrm{x}$ 的长度或范数。
• 向量长度的性质
  • 非负性：$||x||\ge 0$，且 $||x||=0$ 当且仅当 $\mathrm{x}=0$。
  • 齐次性：$||\lambda x||=|\lambda |||x||$
• 当 $||x||=1$ 时，称 $\mathrm{x}$ 为单位向量，若 $\mathrm{a}\ne 0$，取 $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{||a||}$，则 $\mathrm{x}$ 是一个单位向量，由向量 $\mathrm{a}$ 得到 $\mathrm{x}$ 的过程称为把向量 $\mathrm{a}$ 单位化。
• 由施瓦茨不等式，有 $-1\le \frac{[\mathrm{x},\mathrm{y}]}{||x||\cdot ||y||}\le 1$（当 $\Vert x\Vert \Vert y\Vert \ne 0$ 时）。当 $\mathrm{x}\ne 0,\mathrm{y}\ne 0$ 时，令 $\theta =\arccos \frac{[\mathrm{x},\mathrm{y}]}{||x||\cdot ||y||}$，则 $\theta$ 称为向量 $\mathrm{x}$ 与 $\mathrm{y}$ 的夹角。当 $[\mathrm{x},\mathrm{y}]=0$ 时，称 $\mathrm{x}$ 与 $\mathrm{y}$ 正交；若 $\mathrm{x}=0$，则 $\mathrm{x}$ 与任何向量都正交。
• 向量 $\mathrm{a}$ 与 ${\mathrm{b}}_1,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$ 正交，则 $\mathrm{a}$ 与 ${\mathrm{b}}_1,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$ 的线性组合也正交。
• 向量 $\mathrm{x}$ 在 $\mathrm{y}$ 方向上的投影向量为 $[\mathrm{x},\frac{\mathrm{y}}{\Vert y\Vert }]\frac{\mathrm{y}}{\Vert y\Vert }=\frac{[\mathrm{x},\mathrm{y}]}{[\mathrm{y},\mathrm{y}]}\mathrm{y}$。
• 若 $n$ 维向量 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 是一组两两正交的非零向量，则 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 线性无关。
  • 假设有 $k_1,k_2,\dots ,k_n$，使 $k_1{\mathrm{a}}_1+\cdots +k_n{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=0$
  • 将 ${\mathrm{a}}_1$ 与上式两端作内积，得 ${\mathrm{k}}_1[{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_1]=0$，即 ${\mathrm{k}}_1=0$，同理可得 ${\mathrm{k}}_2=\cdots ={\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}=0$，即 ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 线性无关。
• 设 $n$ 维向量 ${\mathrm{e}}_1,\dots ,{\mathrm{e}}_{\mathrm{r}}$ 是向量空间 $V\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 的一个基，若 ${\mathrm{e}}_1,\dots ,{\mathrm{e}}_{\mathrm{r}}$ 两两正交，且都是单位向量，则称 ${\mathrm{e}}_1,\dots ,{\mathrm{e}}_{\mathrm{r}}$ 是 $V$ 的一个标准正交基。$\mathrm{a}={\lambda }_1{\mathrm{e}}_1+\cdots +{\lambda }_{\mathrm{r}}{\mathrm{e}}_{\mathrm{r}}$，为求 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{\mathrm{r}}$，只需将 $\mathrm{a}$ 与 ${\mathrm{e}}_1,\dots ,{\mathrm{e}}_{\mathrm{r}}$ 分别作内积，即 ${\lambda }_i=[{\mathrm{e}}_{\mathrm{i}},\mathrm{a}]$。
• 设 ${\mathrm{a}}_1,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 是向量空间 $V$ 的一个基，要求 $V$ 的一个标准正交基，这个问题称为把基 ${\mathrm{a}}_1,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 标准正交化。
• 施密特正交化：
  • 取 ${\mathrm{b}}_1={\mathrm{a}}_1,{\mathrm{b}}_2={\mathrm{a}}_2-\frac{[{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{a}}_2]}{[{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_1]}{\mathrm{b}}_1,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}={\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}-\frac{[{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}]}{[{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_1]}{\mathrm{b}}_1-\frac{[{\mathrm{b}}_2,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}]}{[{\mathrm{b}}_2,{\mathrm{b}}_2]}{\mathrm{b}}_2-\cdots -\frac{[{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}-1},{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}]}{[{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}-1},{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}-1}]}{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}-1}$，容易验证 ${\mathrm{b}}_1,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}$ 两两正交，且 ${\mathrm{b}}_1,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}$ 与 ${\mathrm{a}}_1,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 等价。
  • 然后将 ${\mathrm{b}}_1,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}$ 单位化，得到标准正交基 ${\mathrm{e}}_1,\dots ,{\mathrm{e}}_{\mathrm{r}},{\mathrm{e}}_{\mathrm{i}}=\frac{{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}}{||{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}||}$。
  • 施密特正交化不仅满足 ${\mathrm{b}}_1,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}$ 与 ${\mathrm{a}}_1,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ 等价，还满足 ${\mathrm{b}}_1,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}$ 与 ${\mathrm{a}}_1,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}$ 等价，其中 $1\le \mathrm{k}\le \mathrm{r}$。
  • 施密特正交化的几何意义是将旧基迭代式地投影到正交基上。
• 如果 $n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}$ 满足 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}=\mathrm{E}$，则称 $\mathrm{A}$ 是正交矩阵。
  • 将 $\mathrm{A}$ 按列分块，${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}$ 按行分块，$\left(\begin{array}{c}{{\mathrm{a}}_1}^T\\ ⋮\\ {{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}^T\end{array}\right)({\mathrm{a}}_1,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}})=\mathrm{E}$，即 ${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}}=\{\begin{array}{l}1,当i=j\\ 0,当i\ne j\end{array}$
  • 方阵 $\mathrm{A}$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $\mathrm{A}$ 的列向量 ${\mathrm{a}}_1,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ 是一组标准正交基。
  • ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}=\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}=\mathrm{E}$，即行向量同理。
• 正交矩阵的性质
  • 若 $\mathrm{A}$ 是正交矩阵，则 ${\mathrm{A}}^{-1}={\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}$ 也是正交矩阵，且 $|\mathrm{A}|=1或-1$。
  • 若 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 是正交矩阵，则 $\mathrm{AB}$ 也是正交矩阵。
• 若 $\mathrm{P}$ 是正交矩阵，则线性变换 $\mathrm{y}=\mathrm{Px}$ 称为正交变换。$\Vert y\Vert =\Vert Px\Vert =\Vert x\Vert$，即正交变换不改变向量的长度。

12. 方阵的特征值与特征向量

• 设 $\mathrm{A}$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\mathrm{x}$，使得 $\mathrm{Ax}=\lambda \mathrm{x}$，则称 $\lambda$ 是方阵 $\mathrm{A}$ 的特征值，$\mathrm{x}$ 是对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。
• $(\mathrm{A}-\lambda \mathrm{E})\mathrm{x}=0$ 有非零解的充分必要条件是系数行列式 $|A-\lambda E|=0$，即 $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0$，该方程是以 $\lambda$ 为未知数的一元 $n$ 次方程，称为方阵 $\mathrm{A}$ 的特征方程，其左端是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，记作 $f(\lambda )$，称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的特征多项式。显然特征值是特征方程的解，根据代数学基本定理，特征方程在复数范围有 $n$ 个解，即 $\mathrm{A}$ 在复数范围内有 $n$ 个特征值。
• 特征值的性质
  • ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$
    • 特征多项式可写为 $f(\lambda )=({\lambda }_1-\lambda )({\lambda }_2-\lambda )\dots ({\lambda }_n-\lambda )$。
    • 分析特征多项式中 ${\lambda }^{n-1}$ 项的系数，可以发现其等于由选择 $n-1$ 项中的 $-\lambda$ 和 ${\lambda }_i$ 的乘积之和 $(-1{)}^{n-1}({\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n)$
    • 特征方程左端主对角线上乘积展开后 ${\lambda }^{n-1}$ 项的系数同理等于 $(-1{)}^{n-1}(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})$，行列式组成的其他项对 ${\lambda }^{n-1}$ 项的系数没有贡献。
  • ${\lambda }_1{\lambda }_2\dots {\lambda }_n=|\mathrm{A}|$
    • 令 $\lambda =0$
    • $\mathrm{A}$ 是可逆矩阵的充分必要条件是它的 $n$ 个特征值全都不为0
• 设 $\lambda ={\lambda }_i$ 是矩阵 $\mathrm{A}$ 的一个特征值，则由方程 $(\mathrm{A}-{\lambda }_{\mathrm{i}}\mathrm{E})\mathrm{x}=0$ 可求得非零解 $\mathrm{x}={\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$，称 ${\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$ 是 $\mathrm{A}$ 的对应于特征值 ${\lambda }_i$ 的特征向量。显然若 $p_i$ 是矩阵 $\mathrm{A}$ 对应于特征值 ${\lambda }_i$ 的特征向量，则 $k{p}_i(k\ne 0)$ 也是矩阵 $\mathrm{A}$ 对应于特征值 ${\lambda }_i$ 的特征向量。
• 设 $\lambda$ 是方阵 $\mathrm{A}$ 的特征值
  • 存在 $\mathrm{p}\ne 0$，使 $\mathrm{Ap}=\lambda \mathrm{p}$
  • ${\lambda }^2$ 是 ${\mathrm{A}}^2$ 的特征值
  • 当 $\mathrm{A}$ 可逆时，$\frac{1}{\lambda }$ 是 ${\mathrm{A}}^{-1}$ 的特征值
  • ${\lambda }^k$ 是 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{k}}$ 的特征值
  • $\phi (\lambda )$ 是 $\phi (\mathrm{A})$ 的特征值
• 设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 是方阵 $\mathrm{A}$ 的 $m$ 个特征值，${\mathrm{p}}_1,\dots ,{\mathrm{p}}_{\mathrm{m}}$ 依次是与之对应的特征向量，如果 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 各不相同，则 ${\mathrm{p}}_1,\dots ,{\mathrm{p}}_{\mathrm{m}}$ 线性无关。
• 设 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是方阵 $\mathrm{A}$ 的两个不同的特征值，${\xi }_1,\dots ,{\xi }_{\mathrm{s}}$ 和 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_{\mathrm{t}}$ 分别是与之对应的线性无关的特征向量，则 ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_{\mathrm{s}},{\eta }_1,\dots ,{\eta }_{\mathrm{t}}$ 线性无关。

13. 相似矩阵

• 设 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 是两个 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\mathrm{P}$，使得 $\mathrm{B}={\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{AP}$，则称矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 相似，对 $\mathrm{A}$ 进行运算 ${\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{AP}$ 称为对 $\mathrm{A}$ 进行相似变换，可逆矩阵 $\mathrm{P}$ 称为把 $\mathrm{A}$ 变成 $\mathrm{B}$ 的相似变换矩阵。
• 若 $n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 相似，则 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 的特征多项式相同，从而 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 的特征值也相同。
• 若 $n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}$ 与对角矩阵 $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ 相似，则 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $\mathrm{A}$ 的 $n$ 个特征值。
• 利用相似变换，可以把一个矩阵化为对角矩阵，由此可以方便地计算矩阵多项式，为此寻求相似变换矩阵 $\mathrm{P}$，使得矩阵 ${\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{AP}=\mathrm{\Lambda }$ 为对角矩阵，这称为把矩阵 $\mathrm{A}$ 对角化。
• 将相似变换矩阵 $\mathrm{P}$ 按列分块，由 ${\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{AP}=\mathrm{\Lambda }$，得 $\mathrm{AP}=\mathrm{P\Lambda }$，即 $\mathrm{A}({\mathrm{p}}_1,\dots ,{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}})=({\mathrm{p}}_1,\dots ,{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}})\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{\mathrm{n}})$，从而 $\mathrm{A}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}={\lambda }_{\mathrm{i}}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$，即 ${\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$ 是 $\mathrm{A}$ 的对应于特征值 ${\lambda }_i$ 的特征向量。
• $n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}$ 与对角矩阵相似（即 $\mathrm{A}$ 能对角化）的充分必要条件是 $\mathrm{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
  • 若 $\mathrm{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则相似变换矩阵是可逆矩阵
  • 如果 $n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $\mathrm{A}$ 能对角化。

14. 对称矩阵的对角化

• 一个 $n$ 阶矩阵具备什么条件才能对角化？这是一个复杂的问题，但对称矩阵可以很方便地证明其能对角化。
• 对称矩阵的特征值和特征向量的性质
  • 对称矩阵的特征值都是实数。特征向量可以取实向量。
  • 设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是对称矩阵 $\mathrm{A}$ 的两个特征值，${\mathrm{p}}_1,{\mathrm{p}}_2$ 是对应的特征向量，若 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 则 ${\mathrm{p}}_1,{\mathrm{p}}_2$ 正交。
• 设 $\mathrm{A}$ 为 $n$ 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 $\mathrm{P}$，使 ${\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{AP}={\mathrm{P}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AP}=\mathrm{\Lambda }$，其中 $\Lambda$ 是以 $\mathrm{A}$ 的 $n$ 个特征值为对角元的对角矩阵。
• 设 $\mathrm{A}$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$\lambda$ 是 $\mathrm{A}$ 特征方程的 $k$ 重根，则矩阵 $\mathrm{A}-\lambda \mathrm{E}$ 的秩为 $n-k$，从而对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量。
  • 对称矩阵 $\mathrm{A}$ 与对角矩阵 $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ 相似，即 $\mathrm{A}=\mathrm{P\Lambda }{\mathrm{P}}^{-1}$，则 $\mathrm{A}-\lambda \mathrm{E}$ 与 $\Lambda -\lambda E$ 相似，即 $\mathrm{A}-\lambda \mathrm{E}=\mathrm{P}(\mathrm{\Lambda }-\lambda \mathrm{E}){\mathrm{P}}^{-1}$，从而 $\mathrm{A}-\lambda \mathrm{E}$ 的秩等于 $\Lambda -\lambda E$ 的秩，即 $n-k$。
• 对称矩阵对角化的步骤：
  • 求出 $\mathrm{A}$ 的特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s$ 与其对应重数 $k_1,\dots ,k_s(k_1+\cdots +k_s=n)$。
  • 对每个 $k_i$ 重特征值 ${\lambda }_i$，求方程 $(\mathrm{A}-{\lambda }_{\mathrm{i}}\mathrm{E})x=0$ 的基础解系，得 $k_i$ 个线性无关的向量，再把它们正交化、单位化。
  • 然后将这些两两正交的单位特征向量按对角元顺序排成正交矩阵 $\mathrm{P}$，则 ${\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{AP}={\mathrm{P}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AP}=\mathrm{\Lambda }$

15. 二次型及其标准形

• 含有 $n$ 个变量的二次齐次函数 $f(x_1,\dots ,x_n)=a_{11}{x}_1^2+\cdots +a_{nn}{x}_n^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$ 称为二次型。
• 通过可逆的线性变换 $\mathrm{x}=\mathrm{Cy}$，二次型 $f(\mathrm{x})$ 可以变为只含平方项的标准形 $\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\lambda }_{\mathrm{i}}{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}^2$。如果标准形的系数只从 $1,-1,0$ 中取值，则称该二次型为规范形。当 $a_{ij}$ 为复数时，二次型 $f(\mathrm{x})$ 称为复二次型；当 $a_{ij}$ 为实数时，二次型 $f(\mathrm{x})$ 称为实二次型。
• 二次型 $f(\mathrm{x})={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}$，其中对称矩阵 $\mathrm{A}$ 称为二次型 $f$ 的矩阵，对称矩阵 $\mathrm{A}$ 的秩称为二次型 $f$ 的秩。
• 设 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $\mathrm{C}$，使得 $\mathrm{B}={\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AP}$，则称 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 合同。
  • 若 $\mathrm{A}$ 为对称矩阵，则 $\mathrm{B}$ 也为对称矩阵，且 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{B})$。
  • 经可逆变换 $\mathrm{x}=\mathrm{Cy}$ 后，二次型 $f$ 的矩阵 $\mathrm{A}$ 变为与 $\mathrm{A}$ 合同的矩阵 ${\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AC}$，且二次型的秩不变。
  • 要使二次型 $f$ 变为标准形，就是要使 ${\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AC}$ 成为对角矩阵，即对称矩阵 $\mathrm{A}$ 合同对角化。
• 任给二次型 $f$，总有正交变换 $\mathrm{x}=\mathrm{Py}$，使 $f$ 化为标准形 $\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\lambda }_{\mathrm{i}}{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}^2$，其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是二次型 $f$ 的矩阵 $\mathrm{A}$ 的特征值。
• 任给二次型 $f$，总有可逆变换 $\mathrm{x}=\mathrm{Cz}$，使 $f(\mathrm{Cz})$ 为规范形。
• 使用正交变换化二次型为标准形，具有保持几何形状不变的优点，如果不限于正交变换，那么还可以使用拉格朗日配方法。如果 $f$ 中含有平方项，可以尽可能进行配方，然后通过平方差换元消去交叉项，最后得到全为平方的式子，最后换元可以得到标准形或规范形。
• 设二次型 $f={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}$ 的秩为 $r$，且有两个可逆变换 $\mathrm{x}=\mathrm{Cy}$ 和 $\mathrm{y}=\mathrm{Pz}$，使 $f=\sum _{i=1}^r{k}_i{y}_i^2(k_i\ne 0)$ 和 $f=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{y}_i^2({\lambda }_i\ne 0)$，则 $k_1,\dots ,k_r$ 与 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ 中正数的个数相等，这个定理称为惯性定理。二次型的标准形中正系数的个数称为正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。
• 设二次型 $f(\mathrm{x})={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}$，如果对任何 $\mathrm{x}\ne 0$，都有 $f(\mathrm{x})>0$，则称 $f$ 为正定二次型，并称对称矩阵 $\mathrm{A}$ 是正定的；如果对任何 $\mathrm{x}\ne 0$，都有 $f(\mathrm{x})<0$，则称 $f$ 为负定二次型，并称对称矩阵 $\mathrm{A}$ 是负定的。
• $n$ 元二次型 $f(\mathrm{x})={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}$ 是正定的充分必要条件是它的标准形的 $n$ 个系数全为正，即它的规范形的 $n$ 个系数全为1，亦即它的正惯性指数为 $n$。
• 对称矩阵 $\mathrm{A}$ 是正定的充分必要条件是 $\mathrm{A}$ 的所有特征值都是正的。
• 对称矩阵 $\mathrm{A}$ 是正定的充分必要条件是 $\mathrm{A}$ 的各阶主子式都是正的，即 $a_{11}>0,\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|>0,\dots ,\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|>0$。对称矩阵 $\mathrm{A}$ 是负定的充分必要条件是 $\mathrm{A}$ 的奇数阶主子式都是负的，偶数阶主子式都是正的。这个定理称为赫尔维茨定理。

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