基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的三维热传导方程求解器MATLAB

代码实现了一个基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的三维热传导方程求解器。以下是详细分析：

🧠 一、主要功能

main.m：

• 构建一个全连接神经网络用于近似三维热传导方程的解 ( u(x, y, z, t) )。
• 使用自动微分计算PDE残差，并结合初始条件与边界条件构造损失函数。
• 使用Adam优化器训练网络。
• 在训练后对特定时间切片（t=0.5）进行预测，并与解析解比较，可视化结果和误差。

modelLoss.m：

• 定义损失函数，包括：
  • PDE残差损失（物理一致性）
  • 初始条件损失
  • 边界条件损失
• 使用自动微分计算一阶和二阶偏导数，用于构建PDE残差。

🔗 二、逻辑关联

• main.m 调用 modelLoss.m 来计算损失和梯度。
• modelLoss.m 中使用 dlgradient 进行自动微分，计算偏导数并构造PDE残差。
• 两个文件共同实现PINN的训练过程，将物理方程嵌入神经网络的训练中。

📦 三、算法步骤

main.m：

1. 定义神经网络结构（4输入，3隐藏层，1输出）；
2. 生成训练数据：内部点、初始条件点、边界条件点；
3. 使用 dlarray 封装数据；
4. 使用Adam优化器进行训练；
5. 在训练后对特定时间进行预测并可视化。

modelLoss.m：

1. 前向传播得到预测值 ( U )；
2. 计算 ( U ) 对输入 ( (x, y, z, t) ) 的一阶导数；
3. 计算二阶空间偏导数 ( \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} )；
4. 构造PDE残差；
5. 计算PDE损失、初始条件损失、边界条件损失；
6. 返回总损失和梯度。

🧪 四、技术路线

• 神经网络架构：全连接网络 + tanh激活函数；
• 优化方法：Adam优化器；
• 自动微分：使用 dlgradient 计算偏导数；
• 损失函数：PDE残差 + 初始条件 + 边界条件；
• 可视化：切片图、误差分析、时间衰减曲线。

📐 五、公式原理

⚙️ 六、参数设定

💻 七、运行环境

• MATLAB（建议 R2024 或更高版本）
• 需安装 Deep Learning Toolbox
• 需支持自动微分（dlgradient）

✅ 总结

代码实现了一个完整的三维热传导方程PINN求解器，结合了神经网络与物理方程约束，通过自动微分计算偏导数，实现了无网格、基于数据的PDE求解。训练后的网络能较好地逼近解析解，适用于复杂几何或高维PDE问题。

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