【高等数学】第十章 重积分——第五节 含参变量的积分

发布于:2025-09-02 ⋅ 阅读:(22) ⋅ 点赞:(0)

上一节【高等数学】第十章 重积分——第四节 重积分的应用
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  • 含参变量的积分
    f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是矩形闭区域 R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R=[a,b]×[c,d]上的连续函数。
    [ a , b ] [a,b] [a,b]上任意取定一个 x x x的值, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是变量 y y y [ c , d ] [c,d] [c,d]上的一个一元连续函数,从而积分 ∫ c d f ( x , y ) d y \displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)\mathrm{d}y cdf(x,y)dy存在,这个积分的值依赖于取定的 x x x值,当 x x x的值改变时,一般说来这个积分的值也跟着改变。
    这个积分确定一个定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的 x x x的函数,把它记作 φ ( x ) \varphi(x) φ(x),即 φ ( x ) = ∫ c d f ( x , y ) d y ( a ⩽ x ⩽ b ) \varphi(x)=\int_{c}^{d}f(x,y)\mathrm{d}y\quad(a\leqslant x\leqslant b) φ(x)=cdf(x,y)dy(axb)这里变量 x x x在积分过程中是一个常量,通常称它为参变量,因此右端是一个含参变量 x x x的积分,这积分确定 x x x的一个函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x).
  • 连续性
    如果函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在矩形 R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R=[a,b]×[c,d]上连续,
    那么由积分 ∫ c d f ( x , y ) d y \displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)\mathrm{d}y cdf(x,y)dy确定的函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续。

    f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在闭区域 R R R连续,从而一致连续,即连续与参考点的选取无关
    ∣ Δ x ∣ < δ |\Delta x|<\delta ∣Δx<δ时, ∣ f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) ∣ < ε |f(x+\Delta x,y)-f(x,y)|<\varepsilon f(x+Δx,y)f(x,y)<ε
    ∣ φ ( x + Δ x ) − φ ( x ) ∣ = ∣ ∫ c d [ f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) ] d y ∣ < ε ( d − c ) \displaystyle|\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)|=|\int_c^d[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)]\mathrm{d}y|<\varepsilon(d-c) φ(x+Δx)φ(x)=cd[f(x+Δx,y)f(x,y)]dy<ε(dc)

  • 可交换的二次积分
    如果函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在矩形 R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R=[a,b]×[c,d]上连续,
    那么 ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y = ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x . \int_{a}^{b}\mathrm{d}x\int_{c}^{d}f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{c}^{d}\mathrm{d}y\int_{a}^{b}f(x,y)\mathrm{d}x. abdxcdf(x,y)dy=cddyabf(x,y)dx.
  • 含参变量积分的导数
    如果函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)及其偏导数 f x ( x , y ) f_{x}(x,y) fx(x,y)都在矩形 R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R=[a,b]×[c,d]上连续,
    那么由积分 ∫ c d f ( x , y ) d y \displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)\mathrm{d}y cdf(x,y)dy确定的函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上可微,并且 φ ′ ( x ) = d d x ∫ c d f ( x , y ) d y = ∫ c d f x ( x , y ) d y . \varphi'(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{c}^{d}f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{c}^{d}f_{x}(x,y)\mathrm{d}y. φ(x)=dxdcdf(x,y)dy=cdfx(x,y)dy.

    φ ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 φ ( x + Δ x ) − φ ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ c d f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x d y = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ c d f x ( x , y ) Δ x + o ( Δ x ) Δ x d y = ∫ c d f x ( x , y ) d y \displaystyle\varphi'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\varphi(x + \Delta x) - \varphi(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\int_{c}^{d}\dfrac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\mathrm{d}y=\lim_{\Delta x \to 0}\int_{c}^{d}\dfrac{f_x(x,y)\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}\mathrm{d}y=\int_{c}^{d}f_{x}(x,y)\mathrm{d}y φ(x)=Δx0limΔxφ(x+Δx)φ(x)=Δx0limcdΔxf(x+Δx,y)f(x,y)dy=Δx0limcdΔxfx(x,y)Δx+o(Δx)dy=cdfx(x,y)dy

  • 积分限中也含参的含参变量的积分的连续性
    如果函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在矩形 R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R=[a,b]×[c,d]上连续,函数 α ( x ) \alpha(x) α(x) β ( x ) \beta(x) β(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 c ⩽ α ( x ) ⩽ d , c ⩽ β ( x ) ⩽ d ( a ⩽ x ⩽ b ) c\leqslant\alpha(x)\leqslant d,c\leqslant\beta(x)\leqslant d(a\leqslant x\leqslant b) cα(x)dcβ(x)daxb那么由积分 ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x , y ) d y \displaystyle\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) \mathrm{d}y α(x)β(x)f(x,y)dy确定的函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上也连续。

    Φ ( x + Δ x ) − Φ ( x ) = ∫ α ( x + Δ x ) α ( x ) f ( x + Δ x , y ) d y + ∫ β ( x ) β ( x + Δ x ) f ( x + Δ x , y ) d y + ∫ α ( x ) β ( x ) [ f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) ] d y \displaystyle\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_{\alpha(x+\Delta x)}^{\alpha(x)}f(x+\Delta x,y)\mathrm{d}y+\int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)}f(x+\Delta x,y)\mathrm{d}y+\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)]\mathrm{d}y Φ(x+Δx)Φ(x)=α(x+Δx)α(x)f(x+Δx,y)dy+β(x)β(x+Δx)f(x+Δx,y)dy+α(x)β(x)[f(x+Δx,y)f(x,y)]dy
    Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx0 时, Φ ( x + Δ x ) − Φ ( x ) → 0 ( a ⩽ x ⩽ b ) \Phi(x + \Delta x) - \Phi(x) \to 0 \quad (a \leqslant x \leqslant b) Φ(x+Δx)Φ(x)0(axb)

  • 积分限中也含参的含参变量的积分的导数
    如果函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 及其偏导数 f y ( x , y ) f_{y}(x,y) fy(x,y) 都在矩形 R = [ a , b ] × [ c , d ] R=[a,b]\times[c,d] R=[a,b]×[c,d] 上连续,函数 α ( x ) \alpha(x) α(x) β ( x ) \beta(x) β(x) 都在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可微,且
    c ⩽ α ( x ) ⩽ d , c ⩽ β ( x ) ⩽ d ( a ⩽ x ⩽ b ) , c\leqslant\alpha(x)\leqslant d, \quad c\leqslant\beta(x)\leqslant d \quad (a\leqslant x\leqslant b), cα(x)d,cβ(x)d(axb),那么由积分 ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x , y ) d y \displaystyle\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) \mathrm{d}y α(x)β(x)f(x,y)dy确定的函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可微,且有莱布尼茨公式
    Φ ′ ( x ) = d d x ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x , y )   d y = ∫ α ( x ) β ( x ) f y ( x , y )   d y + f [ x , β ( x ) ] β ′ ( x ) − f [ x , α ( x ) ] α ′ ( x ) \begin{aligned} \Phi'(x)&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y)\,\mathrm{d}y\\ &=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f_{y}(x,y)\,\mathrm{d}y+f[x,\beta(x)]\beta'(x)-f[x,\alpha(x)]\alpha'(x) \end{aligned} Φ(x)=dxdα(x)β(x)f(x,y)dy=α(x)β(x)fy(x,y)dy+f[x,β(x)]β(x)f[x,α(x)]α(x)

    Φ ( x + Δ x ) − Φ ( x ) Δ x = ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x d y + 1 Δ x ∫ β ( x ) β ( x + Δ x ) f ( x + Δ x , y ) d y − 1 Δ x ∫ α ( x ) α ( x + Δ x ) f ( x + Δ x , y ) d y \begin{aligned} \frac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}= &\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} \mathrm{d}y +\\ &\frac{1}{\Delta x} \int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) \mathrm{d}y - \frac{1}{\Delta x} \int_{\alpha(x)}^{\alpha(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) \mathrm{d}y \end{aligned} ΔxΦ(x+Δx)Φ(x)=α(x)β(x)Δxf(x+Δx,y)f(x,y)dy+Δx1β(x)β(x+Δx)f(x+Δx,y)dyΔx1α(x)α(x+Δx)f(x+Δx,y)dy
    右端后面两项需要利用积分中值定理,即
    1 Δ x ∫ β ( x ) β ( x + Δ x ) f ( x + Δ x , y ) d y = β ′ ( x ) f [ x , β ( x ) ] \displaystyle\frac{1}{\Delta x} \int_{\beta(x)}^{\beta(x+\Delta x)} f(x+\Delta x,y) \mathrm{d}y=\beta'(x)f[x,\beta(x)] Δx1β(x)β(x+Δx)f(x+Δx,y)dy=β(x)f[x,β(x)]

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