摘要——本文研究了一种基于多输入多输出（MIMO）5G新无线电（NR）波形的联合传感与通信（JSC）多波束系统。特别地，我们考虑一个基站（BS）作为单站传感器，利用一小部分发射功率通过波束扫描来估计多个目标的距离、速度和到达方向（DoA）。然后通过距离和 DoA 估计获得目标位置。我们推导了在视距（LOS）条件下，目标位置和速度估计的检测概率和均方根误差（RMSE）方面的传感性能。此外，当存在多个目标时，我们使用最优子模式分配（OSPA）度量来评估系统性能。最后，我们深入研究了影响传感性能的主导因素，包括为传感保留的功率分数。
索引术语——联合传感与通信，5G 新无线电，多天线，波束成形，多目标检测，均方根误差，定位误差，最优子模式分配度量。
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B. Received Signal
考虑到 L L L 个点目标反射，信道矩阵可以写为
H k ( m ) = ∑ l = 1 L α l e j 2 π m T s f D , l e − j 2 π k Δ f τ l ⏟ ≜ β l a R ( θ l ) a T T ( θ l ) (8) \mathbf{H}_k^{(m)} = \sum_{l=1}^{L} \underbrace{\alpha_l e^{j2\pi m T_s f_{D,l}} e^{-j2\pi k \Delta f \tau_l}}_{\triangleq \beta_l} \mathbf{a}_R(\theta_l) \mathbf{a}_T^T(\theta_l) \tag{8} Hk(m)=l=1∑L≜βl αlej2πmTsfD,le−j2πkΔfτlaR(θl)aTT(θl)(8)
其中 τ l \tau_l τl， f D , l f_{D,l} fD,l 和 θ l \theta_l θl 分别是第 l l l 个目标的往返延迟、多普勒频移和到达方向（DoA）。项 α l = ∣ α l ∣ e j ϕ l \alpha_l = |\alpha_l| e^{j\phi_l} αl=∣αl∣ejϕl 是复振幅，包含了第 l l l 条传播路径上的相移和衰减。用于传感的接收机阵列响应向量在 (8) 式中用 a R ( θ l ) \mathbf{a}_R(\theta_l) aR(θl) 表示。为了简化 DoA 估计方法的表述，(8) 式可以重写为更紧凑的形式
H k ( m ) = A R ( θ ) Σ A T T ( θ ) (9) \mathbf{H}_k^{(m)} = \mathbf{A}_R(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{A}_T^T(\boldsymbol{\theta}) \tag{9} Hk(m)=AR(θ)ΣATT(θ)(9)
其中 A R ( θ ) = [ a R ( θ 1 ) , … , a R ( θ L ) ] ∈ C N R × L \mathbf{A}_R(\boldsymbol{\theta}) = [\mathbf{a}_R(\theta_1), \dots, \mathbf{a}_R(\theta_L)] \in \mathbb{C}^{N_R \times L} AR(θ)=[aR(θ1),…,aR(θL)]∈CNR×L 和 A T ( θ ) = [ a T ( θ 1 ) , … , a T ( θ L ) ] ∈ C N T × L \mathbf{A}_T(\boldsymbol{\theta}) = [\mathbf{a}_T(\theta_1), \dots, \mathbf{a}_T(\theta_L)] \in \mathbb{C}^{N_T \times L} AT(θ)=[aT(θ1),…,aT(θL)]∈CNT×L 是目标方向 θ = [ θ 1 , θ 2 , … , θ L ] \boldsymbol{\theta} = [\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_L] θ=[θ1,θ2,…,θL] 的导向矩阵，而 Σ = diag ( β 1 , β 2 , … , β L ) ∈ C L × L \boldsymbol{\Sigma} = \text{diag}(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_L) \in \mathbb{C}^{L \times L} Σ=diag(β1,β2,…,βL)∈CL×L 是信道系数的对角矩阵。
从 (7) 式出发，通过接收波束成形（BF）向量 w R = a R c ( θ R , s ) \mathbf{w}_R = \mathbf{a}_R^c(\theta_{R,s}) wR=aRc(θR,s) 进行空间合并，我们得到接收符号 y k ( m ) = w R T y ~ k ( m ) y_k^{(m)} = \mathbf{w}_R^T \tilde{\mathbf{y}}_k^{(m)} yk(m)=wRTy~k(m)，利用 (9) 式，该符号可以表示为
y k ( m ) = w R T A R ( θ ) Σ A T T ( θ ) x ~ k ( m ) + w R T ν ~ k ( m ) + w R T n ~ k . (11) y_k^{(m)} = \mathbf{w}_R^T \mathbf{A}_R(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{A}_T^T(\boldsymbol{\theta}) \tilde{\mathbf{x}}_k^{(m)} + \mathbf{w}_R^T \tilde{\boldsymbol{\nu}}_k^{(m)} + \mathbf{w}_R^T \tilde{\mathbf{n}}_k. \tag{11} yk(m)=wRTAR(θ)ΣATT(θ)x~k(m)+wRTν~k(m)+wRTn~k.(11)
C. Beam-Scanning
如上所述，所考虑的系统是一种多波束 JSC 方案，其中一个波束指向用户设备（UE），另一个波束依次指向不同方向以感知环境。
参考图 1，在一次扫描期间，用于传感的离开方向（DoD）和到达方向（DoA）是相同的。具体来说，我们有
θ T , s = θ R , s = θ 0 + i Δ θ s i = 0 , … , N dir − 1 (12) \theta_{T,s} = \theta_{R,s} = \theta_0 + i \Delta \theta_s \quad i = 0, \dots, N_{\text{dir}} - 1 \tag{12} θT,s=θR,s=θ0+iΔθsi=0,…,Ndir−1(12)
其中 θ 0 \theta_0 θ0 是起始扫描方向， Δ θ s \Delta\theta_s Δθs 是扫描角度步长， i i i 是用于更新方向的索引，而 N dir N_{\text{dir}} Ndir 是在 − θ 0 -\theta_0 −θ0 到 θ 0 \theta_0 θ0 范围内执行一次完整扫描所探索的方向数量。对于每个传感方向，接收机系统会采集数量为 M s < M M_s < M Ms<M 的 OFDM 符号。因此，由于一个包含 M M M 个符号的 5G NR 帧持续时间为 T f = 10 T_f = 10 Tf=10 ms，通过固定 N dir N_{\text{dir}} Ndir，可以确定完成一次扫描所需的帧数和时间，如下所示：
N f = ⌈ M s N dir M ⌉ , T scan = T f N f . (13) N_f = \left\lceil \frac{M_s N_{\text{dir}}}{M} \right\rceil, \quad T_{\text{scan}} = T_f N_f. \tag{13} Nf=⌈MMsNdir⌉,Tscan=TfNf.(13)
在每个方向上收集的 OFDM 符号用于估计目标的距离、多普勒和 DoA。
D. Sensor-Target-Sensor Path
在视距（LOS）传播条件下，传感波束照射下，给定阵列天线单元从第 l l l 条路径接收到的功率与 ∣ α l ∣ 2 |\alpha_l|^2 ∣αl∣2 成正比，并由 [36] 给出
P R , l = ρ ⋅ P T G T a G R c 2 σ RCS , l ( 4 π ) 3 f c 2 d l 4 ⋅ γ l (14) P_{R,l} = \rho \cdot \frac{P_T G_T^a G_R c^2 \sigma_{\text{RCS},l}}{(4\pi)^3 f_c^2 d_l^4} \cdot \gamma_l \tag{14} PR,l=ρ⋅(4π)3fc2dl4PTGTaGRc2σRCS,l⋅γl(14)
其中 σ RCS , l \sigma_{\text{RCS},l} σRCS,l 是点目标 l l l 的雷达截面积（RCS）， d l d_l dl 是第 l l l 个目标与基站（BS）之间的距离， G R G_R GR 是接收端（RX）的单个天线单元增益，且 γ l = ∣ AF ( θ T , s − θ l ) ∣ 2 ∈ [ 0 , 1 ] \gamma_l = |\text{AF}(\theta_{T,s} - \theta_l)|^2 \in [0, 1] γl=∣AF(θT,s−θl)∣2∈[0,1]，其中 AF ( θ ) \text{AF}(\theta) AF(θ) 是发射端（Tx）的归一化阵列因子，它考虑了目标 DoA 和传感方向之间的非完美对准 [40]；当 θ l = θ T , s \theta_l = \theta_{T,s} θl=θT,s 时，则 γ l = 1 \gamma_l = 1 γl=1。与第 l l l 个目标相关的单个接收天线单元的信噪比（SNR）定义为
SNR l = P R , l N 0 K Δ f (15) \text{SNR}_l = \frac{P_{R,l}}{N_0 K \Delta f} \tag{15} SNRl=N0KΔfPR,l(15)
其中，第 l l l 条路径的接收功率 P R , l P_{R,l} PR,l 在 (14) 中给出， N 0 N_0 N0 是每个天线单元的单边噪声功率谱密度（PSD）。为方便起见，通过将 OFDM 接收机中 FFT 后的接收符号归一化为 E { ∣ y ~ n , k ( m ) ∣ 2 } = 1 \text{E}\{|\tilde{y}_{n,k}^{(m)}|^2\} = 1 E{∣y~n,k(m)∣2}=1，则 (15) 可简化为 SNR l = 1 / σ N 2 \text{SNR}_l = 1/\sigma_N^2 SNRl=1/σN2。
III. ESTIMATION OF TARGET PARAMETERS AND DETECTION
本节介绍用于 DoA 估计的多重信号分类（MUSIC）算法和用于距离和速度评估的基于周期图的频率估计算法。这些估计方法在每个传感波束步中执行，其中会收集 M s M_s Ms 个 OFDM 符号。为简化符号表示，我们省略扫描索引 i i i。
A. Estimation of the Number of Targets and DoAs
DoA 估计是通过 MUSIC 算法执行的，该算法需要噪声子空间的知识，而这又需要已知目标的数量。噪声子空间可以通过接收向量 (7) 的协方差矩阵 R = E { y k ( m ) ( y k ( m ) ) † } ∈ C N R × N R \mathbf{R} = \text{E}\{\mathbf{y}_k^{(m)}(\mathbf{y}_k^{(m)})^\dagger\} \in \mathbb{C}^{N_R \times N_R} R=E{yk(m)(yk(m))†}∈CNR×NR 来识别。事实上，由于噪声是零均值且独立于目标回波，因此 R \mathbf{R} R 的 N R − L N_R - L NR−L 个最小特征值都等于噪声功率 σ N 2 \sigma_N^2 σN2，并且对应的特征向量确定了噪声子空间。由于协方差矩阵不是先验已知的，因此可以使用样本协方差矩阵（sample covariance matrix，SCM）替代 [32]。它由下式给出
R ^ = 1 K M s ∑ m = 0 M s − 1 ∑ k = 0 K − 1 y k ( m ) ( y k ( m ) ) † . (16) \hat{\mathbf{R}} = \frac{1}{K M_s} \sum_{m=0}^{M_s-1} \sum_{k=0}^{K-1} \mathbf{y}_k^{(m)} (\mathbf{y}_k^{(m)})^\dagger. \tag{16} R^=KMs1m=0∑Ms−1k=0∑K−1yk(m)(yk(m))†.(16)
信源数量（在我们的场景中为目标回波）可以通过基于信息论准则的模型阶数选择来估计 [41], [42]。该方法首先对观测向量的 SCM 执行特征值分解，即 R ^ = U Λ U † \hat{\mathbf{R}} = \mathbf{U}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U}^\dagger R^=UΛU†，其中 U ∈ C N R × N R \mathbf{U} \in \mathbb{C}^{N_R \times N_R} U∈CNR×NR 的列是特征向量， Λ = diag ( λ 1 , … , λ N R ) \mathbf{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_{N_R}) Λ=diag(λ1,…,λNR) 是一个对角矩阵，其特征值按降序排列，即 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ N R \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_{N_R} λ1≥λ2≥⋯≥λNR。使用最小描述长度（MDL）准则，估计的目标数量（考虑到我们仅照射第 i i i 个方向上传感波束内的目标）为
L m = arg min s ∈ { 0 , … , N R − 1 } { MDL ( s ) } (17) L_m = \arg \min_{s \in \{0, \dots, N_R-1\}} \{\text{MDL}(s)\} \tag{17} Lm=args∈{0,…,NR−1}min{MDL(s)}(17)
其中
MDL ( s ) = − ln ( ( ∏ i = s + 1 N R λ i ) 1 / ( N R − s ) 1 N R − s ∑ i = s + 1 N R λ i ) ( N R − s ) K M s + 1 2 s ( 2 N R − s ) ln ( K M s ) (18) \text{MDL}(s) = -\ln \left( \frac{(\prod_{i=s+1}^{N_R} \lambda_i)^{1/(N_R-s)}}{\frac{1}{N_R-s} \sum_{i=s+1}^{N_R} \lambda_i} \right)^{(N_R-s)KM_s} + \frac{1}{2}s(2N_R-s)\ln(KM_s) \tag{18} MDL(s)=−ln(NR−s1∑i=s+1NRλi(∏i=s+1NRλi)1/(NR−s))(NR−s)KMs+21s(2NR−s)ln(KMs)(18)
MUSIC 算法接着从 U ~ ∈ C N R × ( N R − L m ) \tilde{\mathbf{U}} \in \mathbb{C}^{N_R \times (N_R-L_m)} U~∈CNR×(NR−Lm) 开始，该子矩阵包含与最小特征值 λ L m + 1 , … , λ N R \lambda_{L_m+1}, \dots, \lambda_{N_R} λLm+1,…,λNR 对应的 N R − L m N_R - L_m NR−Lm 个特征向量，这些特征向量很好地近似了噪声子空间。接下来，可以根据 [43] 获得伪谱函数，其峰值揭示了输入信号的存在。
f m ( θ ) = 1 ∥ U ~ † a ( θ ) ∥ 2 2 . (19) f_m(\theta) = \frac{1}{\|\tilde{\mathbf{U}}^\dagger \mathbf{a}(\theta)\|_2^2}. \tag{19} fm(θ)=∥U~†a(θ)∥221.(19)
f m ( θ ) f_m(\theta) fm(θ) 中的峰值位置即为 DoA 估计值 θ ^ \hat{\theta} θ^。然而，正如将在第五节中更详细解释的，在每个传感方向上，我们在一个有限的角度范围 [ θ min , θ max ] [\theta_{\min}, \theta_{\max}] [θmin,θmax] 内搜索 (19) 的局部最大值，该范围取决于阵列响应的波束宽度。因此，每个方向上的 DoA 估计由下式给出
θ ^ = arg max θ ∈ [ θ min , θ max ] { f m ( θ ) } . (20) \hat{\theta} = \arg \max_{\theta \in [\theta_{\min}, \theta_{\max}]} \{f_m(\theta)\}. \tag{20} θ^=argθ∈[θmin,θmax]max{fm(θ)}.(20)
³根据 MUSIC 的要求，我们考虑 L < N R L < N_R L<NR，即目标数量小于传感阵列天线单元的数量。
B. Detection and Range-Doppler Estimation
为了进行距离-多普勒剖面评估，我们从接收符号 (11) 出发，通过展开矩阵乘法，我们得到
y k ( m ) = ( ∑ l = 1 L β l Υ ( θ T , s , θ R , s , θ l ) ) x k ( m ) + n k (21) y_k^{(m)} = \left(\sum_{l=1}^{L} \beta_l \Upsilon(\theta_{T,s}, \theta_{R,s}, \theta_l)\right) x_k^{(m)} + n_k \tag{21} yk(m)=(l=1∑LβlΥ(θT,s,θR,s,θl))xk(m)+nk(21)
其中 n k = w R T n ~ k n_k = \mathbf{w}_R^T \tilde{\mathbf{n}}_k nk=wRTn~k 并且 Υ ( θ T , s , θ R , s , θ l ) ∈ C \Upsilon(\theta_{T,s}, \theta_{R,s}, \theta_l) \in \mathbb{C} Υ(θT,s,θR,s,θl)∈C 是一个因子，它包含了发射端（Tx）和接收端（Rx）的阵列响应向量以及目标 DoA 所带来的增益。由于目标的距离和速度信息嵌入在 β l \beta_l βl 中，首先执行一次除法以移除无关的数据符号 [44]，即 g k ( m ) = y k ( m ) / x k ( m ) g_k^{(m)} = y_k^{(m)} / x_k^{(m)} gk(m)=yk(m)/xk(m)，这可以得到
g k ( m ) = ∑ l = 1 L α l e j 2 π m T s f D , l e − j 2 π k Δ f τ l Υ ( θ T , s , θ R , s , θ l ) + ν k (22) g_k^{(m)} = \sum_{l=1}^{L} \alpha_l e^{j2\pi m T_s f_{D,l}} e^{-j2\pi k \Delta f \tau_l} \Upsilon(\theta_{T,s}, \theta_{R,s}, \theta_l) + \nu_k \tag{22} gk(m)=l=1∑Lαlej2πmTsfD,le−j2πkΔfτlΥ(θT,s,θR,s,θl)+νk(22)
其中 ν k = n k / x k ( m ) \nu_k = n_k / x_k^{(m)} νk=nk/xk(m)。值得注意的是，(22) 式对于每个目标都包含两个复正弦信号，其频率分别与 f D , l f_{D,l} fD,l 和 τ l \tau_l τl 相关，而 α l \alpha_l αl 和 Υ ( θ T , s , θ R , s , θ l ) \Upsilon(\theta_{T,s}, \theta_{R,s}, \theta_l) Υ(θT,s,θR,s,θl) 是常数项。从 (22) 式出发，可以计算周期图以估计目标的距离和速度，如 [6], [44], [45] 所示：
P ( q , p ) = ∣ ∑ k = 0 K p − 1 ( ∑ m = 0 M p − 1 g k ( m ) e − j 2 π m p M p ) e j 2 π k q K p ∣ 2 (23) \mathcal{P}(q,p) = \left| \sum_{k=0}^{K_p-1} \left( \sum_{m=0}^{M_p-1} g_k^{(m)} e^{-j2\pi \frac{mp}{M_p}} \right) e^{j2\pi \frac{kq}{K_p}} \right|^2 \tag{23} P(q,p)= k=0∑Kp−1 m=0∑Mp−1gk(m)e−j2πMpmp ej2πKpkq 2(23)
C. Pruning Redundant Target Points
如上所述，所考虑的 JSC 系统在每个传感方向上搜索伪谱 (19) 和周期图 (23) 中的峰值，并根据测试 (24) 选择假设 H 1 H_1 H1。当在特定方向上检测到目标时，由于波束旁瓣的影响，当周期图 P \mathcal{P} P 高于阈值时，也可能在一些相邻方向上检测到该目标。这些检测到的点源于同一目标，其特点是 DoA 估计不准确。正如将在第五节中更详细地量化，这种效应是由于选择在有限范围内搜索 MUSIC 伪谱的最大值（如 (20) 所示），这降低了搜索的计算成本，但可能导致每个目标产生多个检测点。为了保持局部搜索的优势，我们提出了一种行之有效的方法来筛选冗余的目标点（下文也称为重复目标）。
首先，将所有收集到的峰值和估计值组织成一个矩阵 Z \mathbf{Z} Z，其行是向量
z i = [ r ^ i , v ^ i , P ( r ^ i , v ^ i ) , θ ^ i , f m ( θ ^ i ) ] i = 1 , … , N max (28) \mathbf{z}_i = [\hat{r}_i, \hat{v}_i, \mathcal{P}(\hat{r}_i, \hat{v}_i), \hat{\theta}_i, f_m(\hat{\theta}_i)] \quad i = 1, \dots, N_{\max} \tag{28} zi=[r^i,v^i,P(r^i,v^i),θ^i,fm(θ^i)]i=1,…,Nmax(28)
其中 N max ≤ N dir N_{\max} \le N_{\text{dir}} Nmax≤Ndir 是测试 (24) 拒绝原假设的传感方向数量。随后，这些行根据 P ( r ^ i , v ^ i ) \mathcal{P}(\hat{r}_i, \hat{v}_i) P(r^i,v^i) 的值按降序排序，形成一个新的矩阵 Z sort \mathbf{Z}_{\text{sort}} Zsort。最后，对 Z sort \mathbf{Z}_{\text{sort}} Zsort 的元素进行检查，以移除冗余的目标点，即那些距离和径向速度估计值非常相似的点（在给定的不确定性范围内）。这将产生一个新矩阵 Z prun \mathbf{Z}_{\text{prun}} Zprun，其行数为 L ^ ≤ N max \hat{L} \le N_{\max} L^≤Nmax。⁴ 排序操作确保在重复点之间只保留与周期图最大值相关的距离和速度对。整个过程在算法 1 中有详细描述。
可以看出，冗余目标点的定义与两个参数 ϵ r \epsilon_r ϵr 和 ϵ v \epsilon_v ϵv 的选择有关，这两个参数用于解释测量不确定性。特别地，在算法中，如果索引为 i i i 的目标的估计距离 r ^ i \hat{r}_i r^i 和速度 v ^ i \hat{v}_i v^i 分别满足条件 r ^ j − ϵ r ≤ r ^ i ≤ r ^ j + ϵ r \hat{r}_j - \epsilon_r \le \hat{r}_i \le \hat{r}_j + \epsilon_r r^j−ϵr≤r^i≤r^j+ϵr 和 v ^ j − ϵ v ≤ v ^ i ≤ v ^ j + ϵ v \hat{v}_j - \epsilon_v \le \hat{v}_i \le \hat{v}_j + \epsilon_v v^j−ϵv≤v^i≤v^j+ϵv，则该目标被认为是已检测到的目标 j j j 的重复。参数 ϵ r \epsilon_r ϵr 和 ϵ v \epsilon_v ϵv 的选择将在第五节中讨论。
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⁴请注意， L ^ \hat{L} L^ 是我们方法中给定的估计目标数量。这可能与 (17) 给出的 L m L_m Lm 不同，因为通过 MUSIC 检测到的目标数量取决于所考虑的传感方向。毕竟，发射端波束成形会执行空间滤波，主要照射波束宽度内的目标。
⁵从现在开始，为不失一般性，单站传感器被视为位于笛卡尔坐标系的原点。
V. PERFORMANCE EVALUATION IN THE PRESENCE OF MULTIPLE TARGETS
本节介绍用于解决多目标系统中“脱靶距离”或误差概念的性能度量。特别地，在考虑多目标系统时，一个一致的度量不仅应捕获两组向量（真实值和估计值）在定位误差方面的差异，还应捕获其在基数误差方面的差异。因此，本文采用 OSPA 度量 [46], [47] 来研究多目标场景下所考虑的 JSC 系统的性能。
OSPA 度量是一种脱靶距离（miss-distance）指标，它以独特的度量方式概括了目标数量和位置两方面的估计精度。更准确地说，给定 L L L 个目标的真实位置 P = [ p 1 , … , p L ] \mathbf{P} = [\mathbf{p}_1, \dots, \mathbf{p}_L] P=[p1,…,pL]（其中 p l = ( x l , y l ) = ( r l cos θ l , r l sin θ l ) \mathbf{p}_l = (x_l, y_l) = (r_l \cos \theta_l, r_l \sin \theta_l) pl=(xl,yl)=(rlcosθl,rlsinθl)⁵）和 L ^ \hat{L} L^ 个估计位置 P ^ = [ p ^ 1 , … , p ^ L ^ ] \hat{\mathbf{P}} = [\hat{\mathbf{p}}_1, \dots, \hat{\mathbf{p}}_{\hat{L}}] P^=[p^1,…,p^L^]⁴，任意一对估计位置与真实位置之间的距离（在 c ˉ > 0 \bar{c} > 0 cˉ>0 处截断）根据 [46] 定义为
d ( c ˉ ) ( p , p ^ ) = min { c ˉ , d ( p , p ^ ) } (29) d^{(\bar{c})}(\mathbf{p}, \hat{\mathbf{p}}) = \min \{\bar{c}, d(\mathbf{p}, \hat{\mathbf{p}})\} \tag{29} d(cˉ)(p,p^)=min{cˉ,d(p,p^)}(29)
其中 d ( p , p ^ ) = ∥ p − p ^ ∥ 2 d(\mathbf{p}, \hat{\mathbf{p}}) = \|\mathbf{p} - \hat{\mathbf{p}}\|_2 d(p,p^)=∥p−p^∥2 是估计位置与真实位置之间的欧几里得距离， c ˉ \bar{c} cˉ 是一个截止参数，它决定了该度量如何来惩罚基数误差。对于任意 k ∈ N k \in \mathbb{N} k∈N，用 Π k \Pi_k Πk 表示 { 1 , 2 , … , k } \{1, 2, \dots, k\} {1,2,…,k} 上的排列集合，对于 1 ≤ q ≤ ∞ 1 \le q \le \infty 1≤q≤∞ 和 c ˉ > 0 \bar{c} > 0 cˉ>0，阶数为 q q q 且截止参数为 c ˉ \bar{c} cˉ 的 OSPA 度量根据 [46] 定义为
d ˉ q ( c ˉ ) ( P , P ^ ) = ( 1 L ^ ( min π ∈ Π L ∑ l = 1 L ( d ( c ˉ ) ( p l , p ^ π ( l ) ) ) q + c ˉ q ( L ^ − L ) ) ) 1 / q (30) \bar{d}_q^{(\bar{c})}(\mathbf{P}, \hat{\mathbf{P}}) = \left(\frac{1}{\hat{L}} \left( \min_{\pi \in \Pi_L} \sum_{l=1}^L (d^{(\bar{c})}(\mathbf{p}_l, \hat{\mathbf{p}}_{\pi(l)}))^q + \bar{c}^q(\hat{L}-L) \right) \right)^{1/q} \tag{30} dˉq(cˉ)(P,P^)=(L^1(π∈ΠLminl=1∑L(d(cˉ)(pl,p^π(l)))q+cˉq(L^−L)))1/q(30)
（如果 L ≤ L ^ L \le \hat{L} L≤L^），并且如果 L > L ^ L > \hat{L} L>L^，则 d ˉ q ( c ˉ ) ( P , P ^ ) = d ˉ q ( c ˉ ) ( P ^ , P ) \bar{d}_q^{(\bar{c})}(\mathbf{P}, \hat{\mathbf{P}}) = \bar{d}_q^{(\bar{c})}(\hat{\mathbf{P}}, \mathbf{P}) dˉq(cˉ)(P,P^)=dˉq(cˉ)(P^,P)。
本质上，对于 L ≤ L ^ L \le \hat{L} L≤L^ 的情况，OSPA 距离可以通过以下步骤获得：
- 找到 P ^ \hat{\mathbf{P}} P^ 中与 P \mathbf{P} P 距离最短的 L L L 元素子集，这对应于最优子集分配；
- 如果点 p ^ n ∈ P ^ \hat{\mathbf{p}}_n \in \hat{\mathbf{P}} p^n∈P^ 未与 P \mathbf{P} P 中的任何点配对，则令 d n = c ˉ d_n = \bar{c} dn=cˉ；否则， d n d_n dn 是 c ˉ \bar{c} cˉ 与配对中两点之间距离的最小值；
- OSPA 距离由 d ˉ q ( c ˉ ) ( P , P ^ ) = ( ( ∑ l = 1 L d n q ) / L ^ ) 1 / q \bar{d}_q^{(\bar{c})}(\mathbf{P}, \hat{\mathbf{P}}) = \left( (\sum_{l=1}^L d_n^q) / \hat{L} \right)^{1/q} dˉq(cˉ)(P,P^)=((∑l=1Ldnq)/L^)1/q 给出。
OSPA 距离可以解释为多目标场景下的 q q q 阶“单目标平均”误差。该度量可以分解为两个分量，一个用于表示定位误差，另一个用于表示基数误差。特别地，对于 q < ∞ q < \infty q<∞ 的情况，这些分量由 [46] 给出：
e ˉ q , loc ( c ˉ ) ( P , P ^ ) = ( 1 L min π ∈ Π L ∑ l = 1 L ( d ( c ˉ ) ( p l , p ^ π ( l ) ) ) q ) 1 / q , e ˉ q , card ( c ˉ ) ( P , P ^ ) = ( c ˉ q ( L ^ − L ) L ^ ) 1 / q (31) \begin{aligned} \bar{e}_{q, \text{loc}}^{(\bar{c})}(\mathbf{P}, \hat{\mathbf{P}}) &= \left( \frac{1}{L} \min_{\pi \in \Pi_L} \sum_{l=1}^L (d^{(\bar{c})}(\mathbf{p}_l, \hat{\mathbf{p}}_{\pi(l)}))^q \right)^{1/q}, \\ \bar{e}_{q, \text{card}}^{(\bar{c})}(\mathbf{P}, \hat{\mathbf{P}}) &= \left( \frac{\bar{c}^q(\hat{L}-L)}{\hat{L}} \right)^{1/q} \end{aligned} \tag{31} eˉq,loc(cˉ)(P,P^)eˉq,card(cˉ)(P,P^)=(L1π∈ΠLminl=1∑L(d(cˉ)(pl,p^π(l)))q)1/q,=(L^cˉq(L^−L))1/q(31)
（如果 L ≤ L ^ L \le \hat{L} L≤L^），并且如果 L > L ^ L > \hat{L} L>L^，则 e ˉ q , loc ( c ˉ ) ( P , P ^ ) = e ˉ q , loc ( c ˉ ) ( P ^ , P ) \bar{e}_{q,\text{loc}}^{(\bar{c})}(\mathbf{P}, \hat{\mathbf{P}}) = \bar{e}_{q,\text{loc}}^{(\bar{c})}(\hat{\mathbf{P}}, \mathbf{P}) eˉq,loc(cˉ)(P,P^)=eˉq,loc(cˉ)(P^,P)， e ˉ q , card ( c ˉ ) ( P , P ^ ) = e ˉ q , card ( c ˉ ) ( P ^ , P ) \bar{e}_{q,\text{card}}^{(\bar{c})}(\mathbf{P}, \hat{\mathbf{P}}) = \bar{e}_{q,\text{card}}^{(\bar{c})}(\hat{\mathbf{P}}, \mathbf{P}) eˉq,card(cˉ)(P,P^)=eˉq,card(cˉ)(P^,P)。
在该度量中， q q q 的值决定了 d ˉ q ( c ˉ ) \bar{d}_q^{(\bar{c})} dˉq(cˉ) 对离群估计值的敏感度，而作为总误差的一部分， c ˉ \bar{c} cˉ 则平衡了基数误差分量与定位误差分量。当 c ˉ \bar{c} cˉ 减小时，与基数误差相比，定位误差变得占主导地位；而较大的 c ˉ \bar{c} cˉ 值则会更侧重基数误差。为了在两个分量之间保持平衡， c ˉ \bar{c} cˉ 的最佳选择是任何一个远大于典型定位误差，但又远小于目标之间最大距离的值。
